唐老师课件第四章第一节

1、第四章随量的特征函数为什么要引入特征函数？+数学期望的L S积分表示：E( ) = xdF (x)积分的逆运算是微分（或求导），而求导运算要比积分运算简单得多，因此是否可将求数学期望的积分问题简化为求导问题？+ ， , 相互独立，则：f (y) =f(x ) f(x ) = 11212122用分布函数求独立随量和的分布需要用卷积，是否可将卷积运算简化为乘积运算？2013/11/41第一节随量的特征函数一、随量的特征函数定义4.1.1 设是(,F,P )上的随称t的函数：量，分布函数是F (x)，+ t= Ee) = eitxdF ( x )()(4.1.1)it为的特征函数。由|E (eit)

2、| E(1) = 1, 知特征函数的定义有意义。2013/11/42若为离散型随量，其分布律为： a1a2an ppp12n则的特征函数为：(it ) = ( ) =()itaktE eepk4.1.2k =1若为连续型随征函数为： (t ) = E (eit ) =2013/11/4量，分布函数为f(x)，则的特+ eitxf (x )dx(4.1.3)3服从两点分布，求的特征函数例1 10(其中p + q = 1) pqE (e it ) = eit 1 p + e it 0解： (t ) =+peit B(n,p)，求的特征函数例2p= C k pkqnk，(k = 0,1,2,n)kn

3、(it )n( )= e解：t= E eitkpkk = 0+ peit )nn= k =0eitk C k pkn2013/11/44= k ( ) ( )，pkk! e0 ，求的特征函数例3解： t E it keit 1eit eeitkeeeek!k 0 U (a h,a + h)，求的特征函数例4a h x AhxdF (x ) + 2 dF (x ) 2 sin2 Ax A对 0 ， 取充分大的A，使得 dF (x) A 0 ，当 ,对一切hx24则对t一致地有 (t + h) (t ) 2013/11/48（2） (t )非负定，即对任意的正 R(1)整数n及任意tknn()(

4、tk )l k 0和复数= 1,2, nkt，均有：kll =1 k =1 +nnn证明： (tl =1 k =1 t ) dF (x) ei (tl tk )x =lklklkl ,k =1 +nnn dF (x) = dF (x)k =1 it x it=xit xit xeeeelklklklk l ,k =1l =1+2 +nnn()dF (x) 0l =1l =1l =1 dF e=itxit x=it xeexllllll2013/11/49（3）设的特征函数为 (t )， 则 = a + b的特征函数为： (t ) = eitb (at )证明： (t ) = E (eit )

5、= Eeit(a + b ) = eitb (at ) t 2()( )而：标准正态分布 N0 ,1 ，有： t= e2若正态分布 N (a,根据性质(3)得： (2013/11/42 )，有 = + a (t ) = eitae 2t 2210量1，n相互独立，其特征函数（4）若随n分别为 (t )， (t )，令 = ，则的特征1n kk =1函数为 (t ) = k (t )nk =1证明：当n = 2时证明结论成立 (t ) = E(eit ) = Eeit(1 +2 ) = E(eit1 eit2= E(eit1 ) E(eit2 ) = (t ) (t )12一般情况可用数学归纳法

6、证明，略2013/11/4)11量的n阶绝对矩E (n ) +，则有：（5）若随E ( ) = ( i ) (0)(k )k1 k kn，+证明： (t ) = E (eit ) = eitxdF (x)+)+ k+kd k( ) edF (x =edF (x) = i x edF (x)(k ) t kt=itxitxkitxdt k+x dF (x ) = i E ()则： (k )(0) = i kkkk，即得结论。P 84 85。说明：本性质较严格的证明见例4.1.5和4.1.6请大家。2013/11/412设1，2独立且同为二项分布， 即：例6P(P(k )k )Cpkqnk (k

7、= 0,1,2,n)=k1nCpkqmk (k = 0,1,2,m)k2m求1+ 2的特征函数解：由特征函数的性质 (4)，有：(t ) = (t ) (t )12 +12= (q +2013/11/4pe it )n (q +pe it )m= (q +)m + npe it13三、逆转公式由定义知：随分数的F-S变换，即随量的特征函数被表示为分布量函数的分布。那么，如何根据特征函数去求分布函数？2013/11/414量的分布函数和特征定理4.1.1（逆转公式） 设随函数分别为F (x)和 (t )，则对任意的x ，x R(1)，有：12F (x2+ 0) + F (x 0) F (x +

8、0) + F (x211 0)（1）2l2e itx1 e itx2= 1 ( )liml t dt2it l（2） 若x ，x 是F (x)的连续点，有：12e itx1 e itx21(x2 ) (x1 ) = ( )lFFliml t dt2it l2013/11/415证明：因涉及到 Fubini定理等知识，因此略由逆转公式，在 F (x )的连续点上（令当x1沿F (x )的连续点 ，有：x=x），2le itx1 itx1eF (x ) ( )lim =limx1 t dt2itl l2013/11/416设F (x )，F (x )是两个分布函数， (t )，定理4.1.2121

9、 (t )是其相应的特征函数， 则：2F (x ) = F (x ) (t ) = (t )1212证明：“ ”设F (x ) = F (x )，则有：12+ (t ) =edF (x ) =(x ) = (t )itxeitx dF1122“”设 (t ) = (t )，则有：12F (x+ 0) + F (x 0)F (x + 0) + F (x 0)1212111120) 20) (x(x0)(x (x 0)+ + + + F F F F =22222121222013/11/417若x ，x 是F (x )，F (x )的连续点，则：1212F (x) F (x )F (x) F (x

10、)12112221lim F (x) F (x )则：F (x) =121211x1 lim F (x) F (x ) = F (x)222122x 1*，使得若x 是F (x )，F (x )的连续点，则：n12F (x ) =F (x+ 0) = lim F (x) = lim F (x)*111n2nnnF (x+ 0) = F (x )，即：F (x) F (x)*=2013/11/4221218若 (t )是特征函数，则有唯一 的分布函数 F (x )推论存在，使得 (t )是F (x )的特征函数。布函数F (x )1 1 (t )，因此对综上所述，知道分分布函数的研究可以转化为对

11、特征函数的研究。2013/11/419+若 (t )是一特征函数，且 (t )dt + ，定理4.1.3则由 (t )所决定的分布函数F (x )是一连续型的分布函数，且 F (x )在R (1 )上处处存在、有界且连续，并有：+ e 12 ()( ) itx=Fxt dt（F S变换与逆变换的关系，证明如下）2013/11/420证明：令：G(x) = 1 F (x) + F (x 0)2+ e12（1） 首先证明 G (x )存在，且 G (x ) = ( ) itxt dt+12先证G + (x )存在，且 G + (x ) =G(x + 2x) G(x) e itx (t )dt2x=

12、 F (x + 2x) + F (x + 2x 0) F (x) + F (x 0)2 2x()+ l e itx+ l e itx + 2xx ( ) 1 1 it ( x +x ) s ( )=lim 2t dt =lim e2t dt2itxtxl ll l+ ex ( )1 it ( x +x ) s=t dt2tx2013/11/421G (x + 2x ) G (x )+ ex ( ) 12 it ( x + x ) s=t dt由上页：2xtx根据控制收敛定理，有：G(x + 2x) G(x)2xG + (x) =limx0+ ex ( )12it (x +x ) s12( )=

13、t dt = itxlim e+t dttxx0+12同理可证：G- ( x ) = e itx (t ) dt+ e1+ (x) = G () (x) = ( )i tx则：Gx ，则Gt dt22013/11/422证明G ( x)连续并且有界（2） x R (1 )，有：e itx (t ) (t )+ e+11 ()( )( )= itxdt +而 Gxt dtt22则G (x )有界。因此对 x0 R (1)，有：+1212eitx0 (t )dt = G (x)lim G ( x) =x x0lim eitx (t )dt =0 x x0则G (x)在R(1)是连续的。2013/1

14、1/423（3） 再证F (x) G(x)事实上，由 G (x ) = 1 F (x ) + F (x 0)，知：2对F (x )的连续点，有： F (x ) = G(x )；对F (x )的不连续点*，则：F (x* ) = lim F (x) = lim G(x ) = G(x* )nnnn定理证毕2013/11/424量，P = k =+设为只取整数的随pk，定理4.1.4k = 0, 1, 2,，特征函数 (t ) = e itk k =p ，则：k 1 ( )2 e itkpk=t dt 证明：对任意的整数+s，有： ( ) it (s k ) its=+t eepkpsk = k

15、s= 0(s k )，则：而 e it (s k )dt e psdt = 2ps + ( ) it (s k ) e itst dt =pk dt +k = k s 11eits (t )dt2 e itk (t )dt即：p=则：p=sk2 2013/11/425设1， 2的联合概率密度为：例7 1 1 + xy(x 2 y 2 ) 1, 1xyf (x,y) = 4其它0以i (t )表i的特征函数，i = 1,2，且 = 1 + 2的特征函数为 (t )，证明： (t ) = 1 (t )2 (t )，但1， 2 不独立。该例子说明特征函数的性质（4）的逆不成立。2013/11/426

16、证明：1，2的边沿分布密度为： 11 + xy(x2 y2 )dy =0112 1x()= 1 4f1x其它 11 + xy(x y2 )dy =12f(y) = 1y2141其它20即 ， 均在 1,1均匀分布，但：12f(x) f(y) = 1 f (x,y)，则 ， 不独立12013/11/4212427下面说明 (t ) = (t ) (t )12显然 = 1 + 2的分布密度函数为：+f (z) =f (x,z x)dx()z，()中的积分由于f (x,y )在 x 1，y 1外为零，则对固定的 1和 z z 1同时满足时非零，即：xx只有当(+ z ) z ) 2 z 00 2z02013/11/428f (z )属于三角分布的密度函数。1 dz+= e02 ( )f ( )()dz + ()4 z dz =2 + z e2 z eitzitzitzt 2021 2 e 2it e 2 it s= = 4 t 2stt： 1 (t ) = 2 (t