十光的偏振和晶体光学

1、第十四章光的偏振和晶体光学1.一束自然光以30度角入射到玻璃-空气界面，玻璃的折射率n1.54，试计算（1）反射光的偏振度；（2）玻璃-空气界面的布儒斯特角；（3）以布儒斯特角入射时透射光的偏振度。解：光由玻璃到空气，n11.54,n21,130o,2sin1n1sinn2150.354rssin12sin120.3528,rptan12tan120.06305rPImaxImaxIminIminr2s2srprp2293.800Btan1n2n11tan133o1.541B时，290B570,rp0,rssin12sin120.4067Ts1r2s0.8364,Tp110.8364P9010

2、.83640注：若n2cosncos121,Tst,Ts2ptp2ImaxTI,Ip0minTIs0t故Ptptp22t2s2sTs或cos2(Tp12)2.自然光以布儒斯特角入射到由10片玻璃片叠成的玻片堆上，试计算透射光的偏振度。解：每片玻璃两次反射，故10片玻璃透射率Ts1r2s200.8364200.028而Tp1，令Imin，则pImax1Imax1ImaxIminImin10.0268910.026890.94761/173.选用折射率为2.38的硫化锌和折射率为1.38的氟化镁作镀膜材料，制作用于氟氖激光（632.8nm）的偏振分光镜。试问（1）分光镜的折射率应为多少？（2）膜层

3、的厚度应为多少？解：（1）nsin45nsin322n221tg2n3ntg1（起偏要求）2221nsin2ntg2222n3n3n3n245n12n2n1n211n1n2212nnn222n121.6883n22nsin45（2）满足干涉加强2则h2ncos22222nhcos2276.84nm22n3，sin130.10652而190259.8934，h122ncos11228.54nm4.线偏振光垂直入射到一块光轴平行于界面的方解石晶体上，若光矢量的方向与警惕主截面成（1）30度（2）45度（3）60度的夹角，求o光和e光从晶体透射出来后的强度比？解：垂直入射s123，S波与p波分阶r2

4、r2prsrpncos1ncos1ncos2ncos21111ncos2ncos2ncos1ncos12222n1n1n2n2n2n2n1n11no光此时对应s波r01n0，T001r2024n01n0222/17e光此时对应p波renene11，Te1re224ne1ne22I0IeE2Ts0E2Tpe2sinT0cos2Tetg2n0ne21ne1n04取n01.6584，ne1.4864则I0Ietg20.9526I（1）30,0Ie130.95260.3175I（2）45,0IeI（3）60,0Ie0.952630.95262.85785.方解石晶片的厚度d0.013mm，晶片的光轴与

5、表面成60度角，当波长632.8nm的氦氖激光垂直入射晶片时（见图14-64），求（1）晶片内o、e光线的夹角；（2）o光和e光的振动方向；（3）o、e光通过晶片后的相位差。d60光轴6030光轴eo图14-64习题5图解：垂直入射，o光、e光波失都延法线方向，而e光光线方向第五题解图tgen2on2etg0.7187取n01.6584，ne1.4864（适合589.3nm）35.7ee光折射角ee305.7542，此即与o光分离角3/17n2cos2e光折射率nnen0ee2n2sin1.60990nne0d21.994632.8nm时，n01.6557,ne1.4852则e35.66,n1

6、.6076e1.9756.一束汞绿光以600角入射到KDP晶体表面，晶体的n01.512，ne1.470，若光轴与晶体表面平行切垂直于入射面，试求晶体中o光与e光的夹角。解：先求波矢方向0sin1sin60n034.9460eksin1sin60ne36.10oe由于光轴与入射面垂直，故与波矢垂直，所以光线与波矢同向，即o光与e光的夹角36.1034.941.16197.如图14-65所示，一块单轴晶片的光轴垂直于表面，晶片的两个主折射率分别为n和n。证明当平面波以角入射到晶片时，晶体中非常光线的折射角0e1由下式给出e可nsintgenensin012e1解：因光轴平行于界面法线，所以波矢折

7、射角等于波矢与光轴夹角，1由波矢折射定律n11n2sin2n2cos2sinsin1nsinsine10enn0e光轴ke或1ke0esin111112ctg211n2n2sin2ctge0n2n2e01图14-65习题7图sinn22ctgn21101e14/17光轴n2n4ctgn4n2n2sin而tge2n2n41n41n2sin0tg，故tg200eeeee0e112n2sin012n2n2sinee1tgen0nesin12n2sine18.方解石晶体的光轴与晶面成300角且在入射面内，当钠黄光以600入射角（即入射光正对着晶体光轴方向（如图14-66所示）入射到晶体时，求晶体内e光

8、线的折射角？在晶体内发生双折射吗？解：设e光波矢折射角1与光轴夹角60e60nsin11nsineennsin0ee2nn2sin2cos20e1230光轴图14-66习题8图2即n2sin112n2sin0n2cos2e2n2n2sin600e222n2sin1131n2tg2n2n2n2tg0e0e20.25n2n2n2n2sin2tg23240e0e100e1e32n2n2tgn2n2n2n2sin10n24n0.252n233n21sintg2tg1212e02sin10将n11,160,n01.6584,ne1.4864代入0.089461tg20.86603tg0.477300tg

9、120.08946127.684.40舍去20.866030.8660340.0894610.477300.522910.2034光线方向tgn2on2etg0.6507833.556030e光折射角e6026.9452656e光轴图14-66习题8图9.一块负单轴晶体制成的晶体棱镜如图14-67所示，自然光从左方正入射到棱镜。试证明e光线在棱镜斜面上反射后与光轴夹角5/17e由下式决定：nntg0e2n222ee证明：设在斜面反射时e光波失方向与光轴有夹角，则光轴nsin45ennsin450e22n2sinn2cos0e1245o图14-67习题9图因sin4522cossin2故n2si

10、n0n2cos2en02cossin2n2tgn0e2n021tg2n212tgn20etgn2n2e02n20光线与光轴夹角tgn2n2n2otge0n22n2ee.N.10图14-68所示是偏振光度计的光路图。从光源S和S射出的光都被渥12拉斯顿棱镜W分为两束线偏振光，经光阑后，其中一束被挡住，只有一束进入视场。来自S的这束光的振动在图面内，来自S的这束光的振动垂直于图面。12转动检偏器N，直到视场两半的亮度相等。设这是检偏器的透光轴与图面的夹角为，试证明光源S与S的强度比为tg2。12WS1S2.图14-68习题10图22证明：视场两半亮度相等，则EcosEsin12IIS与S的光强比1

11、1222E2sin12E2cos2tg211图14-69中并列放有两组偏振片，偏振片A透光轴沿铅直方向，偏振片B6/17透光轴与铅直方向成450方向。（1）若垂直偏振光从左边入射，求输出光强I；（2）若垂直偏振光从右边入射，I又为多少？设入射光强为I0ABAB0I0I图14-69习题11图解：（1）左边入射，入射光偏光方向与A光透光轴相同，故最后出射光强IIcos2cos2cos201I80160（2）右边入射IIcos2cos2cos2cos21I012电气石对o光的吸收系数为3.6cm1，对e光的吸收系数为0.8cm1，将它作成偏振片。当自然光入射时，若要得到偏振度为980的透射光，问偏振

12、片需要0做成多厚？解：记xI0，则xIeeeodedeeodPIeIeI0I01x1x0.98故1x0.980.98xx0.021.980.0101010dlnx1.64cmeo13石英晶体制成的塞拿蒙棱镜，每块的顶角是200（见图14-70），光束正入射于棱镜，求从棱镜出射的o光线与e光线之间的夹角。解：两块晶体主截面共面，故光在斜面折射时o光仍为o光，e光仍为e光，且o光方向不变，而e光折射前折射率为n，折射后为n0e，70e7/17n2sin2nsin20n0nesino0ne2702cos2即n2sin0n2cos2e2sin20n2sin70coscos70sine2n2on2etg

13、221sin20sin70cos70tg220on2on2etg21tg70tg220on2on2e1tg22tg70tg1tg2700图14-70习题13图取no1.54424,ne1.55335,则0.011695tg25.49495tg6.54863020.011695tg15.494955.467001.19479468.659750.0717719.8777波矢折射角e7019.92823舍去，折射率n19.8777ensin20osine1.55335后表面入射角为2019.87770.1223故nsin0.1223sine330束线偏振的钠黄光（589.

14、3nm）垂直通过一块厚度为1.618102mm的石英晶片。晶片折射率为n0n1.54424，e1.55335，光轴沿x方向（见图14-71），试对于以下三种情况，决定出射光的偏振态。y（1）入射线偏振光的振动方向与x轴成450角；（2）入射线偏振光的振动方向与x轴成450角；（3）入射线偏振光的振动方向与x轴成300角。E45ox解：Exxcos,Ey2nd,esiny2ndo图14-71习题14图8/17589.32yx2nond21.544241.553351.61e(1)45,ExE,y分量超前y2，右旋圆偏振sin0(2)45,ExE,y2,为左旋圆偏振sin0(3)30,EExy3,

15、右旋椭圆偏振sin0偏器在某一位置时，强度为极小，此时在检偏器前插入一块片，转动片16通过检偏器观察一束椭圆偏振光，其强度随着检偏器的旋转而改变。当检44使它的快轴平行于检偏器的透光轴，再把检偏器沿顺时针方向转过200就完全消光。试问（1）该椭圆偏振光是左旋还是右旋？（2）椭圆的长短轴之比？解：波片使y分量相位延迟，经波片后为线偏光，42其振动方向为逆时针转70（检偏器顺时针转20消光），y光矢量在一、三象限，y分量与x分量同相，说明原椭圆偏光70 xy分量超前2，故为右旋。波片只产生相位延迟，不改变振幅大小，AAyxtg702.74717为了决定一束圆偏振光的旋转方向，可将4片置于检偏器之前

16、，再将后者转至消光位置。此时片快轴的方位是这样的；须将它沿着逆时针方向转450才4能与检偏器的透光轴重合。问该圆偏振光是右旋还是左旋？解：圆偏光经波片后变为线偏光，消光方向为逆时针转45，4y说明线偏光为顺时转45，即光矢量在二、四象限，y分量45x与x分量有的相位差，使y分量落后，故原圆偏光y分量落后，为右旋。42218.导出长、短轴之比为2：1，且长轴沿左旋和右旋椭圆偏振光的琼斯矢量，并计算这两个偏振光叠加的结果。解：左旋5(2)，右旋i1(2)5i9/17两者相加Ex45，Ey0，即沿x方向的线偏光相继通过起偏器、待测波片、和起偏器。当起偏器的透光轴和片的快轴沿x轴，待测波片的快轴与x轴

17、成450角时，从片透出的是线偏振光，用检偏19.为测量波片的相位延迟角，采用图14-72所示的实验装置：使一束自然光444器确定它的振动方向便可得到待测波片的相位延迟角。试用琼斯计算法说明这一测量原理。y快慢慢快x检偏器起偏器待测波片图14-72习题19图yx1，波片后1EyE解：待测波片后Ey1212ei22iE1eie2cosi41eie2sin22y分量与x分量位相差为0，故为线偏振，偏振方向与x夹角tgEExytg22(nn)dsin2N20.一种观测太阳用的单色滤光器如图14-73所示，由双折射晶片C和偏振片P交替放置而成，晶片的厚度相继递增，即后者是前者的两倍，且所有晶体光轴都互相

18、平行并与光的传播方向垂直。所有偏振片的透光轴均互相平行，但和晶体光轴成450角，设该滤光器共有N块晶体组成。试用琼斯矩阵法证明该滤光器总的强度透射比是的函数，即2，oe2Nsin2因此该滤光器对太阳光的各种波长有选择作用。10/17P1C1P2C2P3C3P4PN+1d2d4d图14-73习题20图解：设偏振器方向为y，晶体光轴为，与x或y都成45角，各晶片相位延迟ky12nond21N，e2，24，.2N（1）投影法：P后光矢量10E1x00,Ey01yxcos45122C后E11,Ey11ei12eicos再经P后，E2x10,Ey1Ecos45Ecos451y1i1ecos12121ei

19、12E同理P光出射后，E3.y2ei22cos2y1ei2eicos2cos21.21PN1光出射后，EyNei20NNcoscos2.cos(21)因为cos而cos2k1sin2k12sinsin2k12k1sinsin2k2ksin（Nk1成立，则Nk也成立）EyN2sin2N2Nsin2（2）琼斯矩阵法：偏振器琼斯矩阵P000111/17波片的琼斯矩阵（快轴与x成45）Gcos21itg21itg2按题意EPGNPGN1PG.101PGcos20itg2000,PGcos12012cosEcosNN121.cos201sin2N2Nsin0121.如图14-74所示的单缝夫琅和费衍射装

20、置，波长为，沿x方向振动的线偏振光垂直入射于缝宽为a的单缝平面上，单缝后和远处屏幕前各覆盖着偏振片P和1P，缝面上x0区域内P的透光轴与x轴成450角；x0区域内P的透光轴211方向与x轴成450，而P的透光轴方向沿y轴（y轴垂直于xz平面），试讨论2屏幕上的衍射光强分布。xP1P2z图14-74习题21图解：设入射光波振幅E，为自然光，则P出射后振幅为1E，x0与x0振动0120方向不同（相量），两部分无固定相位差，为光强迭加，又因P与P的透光轴成4521a2角，故I上1sinI402x,sin，I类似，下II上I下1sinI202y12/1722.将一块8片插入两个前后放置的偏振器之间，波

21、片的光轴与两偏振器透光轴的夹角分别为300和400，求光强为I的自然光通过这一系统的强度是多少？0（不考虑系统的吸收和反射损失）yP11y解：设波片（快慢轴为x,）光轴为x，光通过波片后84030 xExEcos30,E1yEsin30e1i4P2再经检偏器后E2Ecos40Esin40Ecos30cos40sin30sin40 xy1因abei2abeiabeia2b2abeieia2b22abcos1cos30cos40sin30sin40sin60sin80cos450.242EE22E122221又因I11I，故输出I0.242I2010.121I023.一块厚度为0.05cm的方解石

22、波片放在两个正交的线偏振器中间，波片的光轴方向与两线偏振器透光轴的夹角为450。问在可见光范围内哪些波长的光不能透过这一系统。y解：正交偏振器透光轴分别为x,，方解石光轴为，令2nond，则光过波e22片后Ecos4511,Esin45eieiyyy经检偏器后EyEcos45Ecos45y121eix要使Ey0，则2m（m为整数）nnd8600nm即不透的光波长1oe2nndmmoe可见光波长范围380nm780nm，即m最大23，最小11m111213141516（nm）781.8716.7661.5614.3573.3537.513/1717181920212223505.9477.845

23、2.6430409.5390.9373.924.在两个正交偏振器之间插入一块2片，强度为I0的单色光通过这一系统。相应的波片方位及光强数值；（2）用片和全波片替代片，如何？如果将波片绕光的传播方向旋转一周，问（1）将看到几个光强的极大和极小值？42y解：设波片快慢轴为x,，则光透过波片后ExcosE,E1ysineiE12再经检偏器后E2EsinEcos1sin21eiExy1yp2E2212E2sin222cosE411222sin2sin2x而I11I（入射光为自然光）20p144442022（1）用212波片，IIsin2，波片转一圈，即由0到2，当2035713,时，I取最大II，当0

24、,时，I最小maxImin02404（2）用4112波片，IIsin2，则ImaxI,I0min0（3）全波片2,I0，始终为0。25.在两个线偏振器之间放入相位延迟角为的波片，波片的光轴与起、检偏器的透光轴分别成、角。利用偏振光干涉的强度表达式（14-57）证明：当旋转检偏器时，从系统输出的光强最大值对应的角为tg2(tg2)cos。2解：Ia2cos2a2sin2sin2sin2dI2a2sin22a2sin2cos2sin,2sin1cosd22a2sin2sin2cos2a2sin2cos2cosa2cos2sin2a2sin2cos2cos14/17令dI0，则cos2sin2dsi

25、n2cos2costg2tg2cos此为极值满足的条件，例2，则tg20sin200,.22Ia2cos此时若m，则I为极大，2m，则I为极小26.利用双折射可制成单色仪。一束平行钠光通过一对透光轴相互平行的偏振器，其间放入一块光轴与表面平行的方解石平板。要使波长间隔0.06nm的钠双线D的一条谱线以最大强度射出检偏器，此方解石的最小厚度应为多少？方解石早D线范围的主折射率；当587.6nm时，no165846,ne1.48647；当589.3nm时，no1.65836,ne1.48641。yP1或p2解：设x为光轴，光透过晶体后，2n0ndexExEcos,E1yEsinei1再经检偏器后E22EcosEsincos2sineiExy1故E22E1242cos4sin2cos2sincoscos2sin21E122222(cossin)24cos2sinsin2E11sin22sin222（也可引用（14-57）式）所以，当2m1，（n为整数）时，输出光强I为极小当2m时，输出光强I为极大设波长时为极大，则2n0nd2m，记efn0ne即fdm而波长为时极小，f