2018届高三一轮复习讲义第4章第4节形如y=Asin(wx+)函数图像及其应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，xR振幅周期频率相位初相ATeq f(2,)feq f(1,T)eq f(,2)x2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xeq f(0,)eq f(f(,2),)eq f(,)eq f(f(3,2),)eq f(2,)x0eq f(,2)eq f(3,2)2yAsin(x)0A0A03.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x) (A0，0)的图象的步骤如下：【知识拓展

2、】1由ysin x到ysin(x)(0，0)的变换：向左平移eq f(,)个单位长度而非个单位长度2函数yAsin(x)的对称轴由xkeq f(,2)，kZ确定；对称中心由xk，kZ确定其横坐标【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)的图象是由ysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)的图象向右平移eq f(,2)个单位得到的()(2)将函数ysin x的图象向右平移(0)个单位长度，得到函数ysin(x)的图象()(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度

3、一致()(4)函数yAsin(x)的最小正周期为Teq f(2,).()(5)把ysin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq f(1,2)，所得图象对应的函数解析式为ysin eq f(1,2)x.()(6)若函数yAcos(x)的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq f(T,2).()1(教材改编)y2sin(eq f(1,2)xeq f(,3)的振幅，频率和初相分别为()A2,4，eq f(,3)B2，eq f(1,4)，eq f(,3)C2，eq f(1,4)，eq f(,3)D2,4，eq f(,3)答案C解析由题意知A2，feq f(1,T)eq

4、 f(,2)eq f(1,4)，初相为eq f(,3).2(2015山东)要得到函数ysineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,3)的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移eq f(,12)个单位B向右平移eq f(,12)个单位C向左平移eq f(,3)个单位D向右平移eq f(,3)个单位答案B解析ysineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,3)sineq blcrc(avs4alco1(4blc(rc)(avs4alco1(xf(,12)，要得到ysineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,3)的图象，只需将函数ysin 4x的图

5、象向右平移eq f(,12)个单位3(2016青岛模拟)将函数ysin x的图象上所有的点向右平行移动eq f(,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()Aysin(2xeq f(,10) Bysin(2xeq f(,5)Cysin(eq f(1,2)xeq f(,10) Dysin(eq f(1,2)xeq f(,20)答案C解析ysin xysin(xeq f(,10)eq o(,sup7(横坐标伸长到),sdo5(原来的2倍)ysin(eq f(1,2)xeq f(,10)4(2016临沂模拟)已知函数f(x)Acos(x)的图象如

6、图所示，f(eq f(,2)eq f(2,3)，则f(eq f(,6)_.答案eq f(2,3)解析由题图知，函数f(x)的周期T2(eq f(11,12)eq f(7,12)eq f(2,3)，所以f(eq f(,6)f(eq f(,6)eq f(2,3)f(eq f(,2)eq f(2,3).5若将函数f(x)sin(2xeq f(,4)的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是_答案eq f(3,8)解析函数f(x)sin(2xeq f(,4)的图象向右平移个单位得到g(x)sin2(x)eq f(,4)sin(2xeq f(,4)2)，又g(x)是偶函数，eq f(,4

7、)2keq f(,2)(kZ)，eq f(k,2)eq f(,8)(kZ)当k1时，取得最小正值eq f(3,8).题型一函数yAsin(x)的图象及变换例1(2015湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)eq blc(rc)(avs4alco1(0，|0)个单位长度，得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)，0)，求的最小值解(1)根据表中已知数据，解得A5，2，eq f(,6).数据补全如下表：x0eq f(,2)eq f(3,2)2xeq f(,12)eq f(,3)eq f(7,12)eq f(5,6)e

8、q f(13,12)Asin(x)05050且函数解析式为f(x)5sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6).(2)由(1)知f(x)5sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，得g(x)5sineq blc(rc)(avs4alco1(2x2f(,6).因为函数ysin x图象的对称中心为(k，0)，kZ.令2x2eq f(,6)k，解得xeq f(k,2)eq f(,12)，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)，0)成中心对称，所以令eq f(k,2)eq f(,12)eq f(5,12)，

9、解得eq f(k,2)eq f(,3)，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值eq f(,6).引申探究在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移eq f(,6)个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)图象的对称中心解由(1)知f(x)5sin(2xeq f(,6)，因此g(x)5sin2(xeq f(,6)eq f(,6)5sin(2xeq f(,6)因为ysin x的对称中心为(k，0)，kZ.令2xeq f(,6)k，kZ，解得xeq f(k,2)eq f(,12)，kZ.即yg(x)图象的对称中心为(eq f(k,2)eq f(,12)，0)，kZ.思维升华

10、(1)五点法作简图：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，eq f(,2)，eq f(3,2)，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)图象变换：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”把函数ysin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移eq f(,4)个单位，得到的函数图象的解析式是()Aycos 2xBysin 2xCysin(2xeq f(,4) Dysin(2xeq f(,4)答案A解析由ysin x图象上所

11、有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为ysin 2x，再向左平移eq f(,4)个单位得ysin2(xeq f(,4)，即ycos 2x.题型二由图象确定yAsin(x)的解析式例2已知函数f(x)Asin(x) (A0，|0)的图象的一部分如图所示(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程解(1)观察图象可知A2且点(0,1)在图象上，12sin(0)，即sin eq f(1,2).|0，0)解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则Aeq f(Mm,2)，Beq f(Mm,2).(2)求，确定函数的周期T，则eq f(2,T).(

12、3)求，常用方法如下：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为xeq f(,2)；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象的“谷点”)为xeq f(3,2)；“第五点”为x2.(2016太原模拟)已知函数f(x)sin(x) (0，|eq f(,2)的部分图象如图所示，则yf(xeq f(,6)取得最小值时x的集合为()Ax|xkeq f(,6)，kZBx|xke

13、q f(,3)，kZCx|x2keq f(,6)，kZDx|x2keq f(,3)，kZ答案B解析根据所给图象，周期T4(eq f(7,12)eq f(,3)，故eq f(2,)，2，因此f(x)sin(2x)，另外图象经过点(eq f(7,12)，0)，代入有2eq f(7,12)k(kZ)，再由|eq f(,2)，得eq f(,6)，f(xeq f(,6)sin(2xeq f(,6)，当2xeq f(,6)eq f(,2)2k (kZ)，即xeq f(,3)k(kZ)时，yf(xeq f(,6)取得最小值题型三三角函数图象性质的应用命题点1三角函数模型的应用例3(2015陕西)如图，某港口

14、一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)x)k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5 B6C8 D10答案C解析由题干图易得ymink32，则k5.ymaxk38.命题点2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2xeq r(3)sin 2xm10在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_答案(2，1)解析方程2sin2xeq r(3)sin 2xm10可转化为m12sin2xeq r(3)sin 2xcos 2xeq r(3)sin 2x2si

15、neq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，xeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，).设2xeq f(,6)t，则teq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6)，f(13,6)，题目条件可转化为eq f(m,2)sin t，teq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6)，f(13,6)有两个不同的实数根yeq f(m,2)和ysin t，teq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6)，f(13,6)的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，eq f(m,2)的范围为(1，eq f(1,2)，故m的取值范围是(2，1)引申探究例4中

16、，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是_答案2,1)解析由例4知，eq f(m,2)的范围是eq blcrc)(avs4alco1(1，f(1,2)，2m0，eq f(,2)eq f(,2)的图象关于直线xeq f(,3)对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)当x0，eq f(,2)时，求函数yf(x)的最大值和最小值解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而eq f(2,T)2.又因为f(x)的图象关于直线xeq f(,3)对称，所以2eq f(,3)keq f(,2)，kZ，由eq f(,2)0)，xR.

17、在曲线yf(x)与直线y1的交点中，若相邻交点距离的最小值为eq f(,3)，则f(x)的最小正周期为()A.eq f(,2)B.eq f(2,3)C D2答案C解析f(x)eq r(3)sin xcos x2sin(xeq f(,6)(0)由2sin(xeq f(,6)1，得sin(xeq f(,6)eq f(1,2)，xeq f(,6)2keq f(,6)或xeq f(,6)2keq f(5,6)(kZ)令k0，得x1eq f(,6)eq f(,6)，x2eq f(,6)eq f(5,6)，x10，x2eq f(2,3).由|x1x2|eq f(,3)，得eq f(2,3)eq f(,3)

18、，2.故f(x)的最小正周期Teq f(2,2).4函数f(x)sin(x) (xR，0，|eq f(,2)的部分图象如图所示，如果x1，x2(eq f(,6)，eq f(,3)且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)等于()A.eq f(1,2)B.eq f(r(3),2)C.eq f(r(2),2)D1答案B解析观察图象可知，A1，T，2，f(x)sin(2x)将(eq f(,6)，0)代入上式得sin(eq f(,3)0，由|0，0,00，0,0eq f(,2)的图象如图所示，则当teq f(1,100)秒时，电流强度是_安答案5解析由图象知A10，eq f(T,2)eq f(4,300

19、)eq f(1,300)eq f(1,100)，eq f(2,T)100，I10sin(100t)图象过点eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,300)，10)，10sin(100eq f(1,300)10，sin(eq f(,3)1，eq f(,3)2keq f(,2)，kZ，2keq f(,6)，kZ，又00，0)的图象过点P(eq f(,12)，0)，图象上与点P最近的一个最高点是Q(eq f(,3)，5)(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间解(1)依题意得A5，周期T4(eq f(,3)eq f(,12)，eq f(2,)2.故y5sin(2x)，又图象过点

20、P(eq f(,12)，0)，5sin(eq f(,6)0，由已知可得eq f(,6)0，eq f(,6)，y5sin(2xeq f(,6)(2)由eq f(,2)2k2xeq f(,6)eq f(,2)2k，kZ，得eq f(,6)kxeq f(,3)k，kZ，故函数f(x)的递增区间为keq f(,6)，keq f(,3) (kZ)12已知函数f(x)eq r(3)cos2xsin xcos xeq f(r(3),2).(1)求函数f(x)的最小正周期T和函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)的对称中心为(x,0)，求x0,2)的所有x的和解(1)由题意得f(x)sin(2xeq f(,3)，Teq f(2,2)，令eq f(,2)2k2xeq f(,3)eq f(,2)2k，kZ.可得函数f(x)的单调递增区间为eq f(5,12)k，eq f(,