双S曲线模型讲稿

1、关于双S曲线模型第一张，PPT共十三页，创作于2022年6月 一 背景介绍 生物数学家Verhulst于19世纪中叶提出了Logistic模型,大量研究表明在自然界(如动植物种群的增长)、在经济界(如生产总值的增长、耐用消费品的销售数量等)很多问题都能用Logistic模型来描述。Logistic模型在预测与决策上也有着独特的表现和广泛的应用。许多学者在Logistic模型的基础上对其进行推广, 提出了很多改进模型。这些改进模型拓展了适用范围, 更好地描述了实际问题。Logistic 模型及其改进模型均建立在种群所在空间具有一最大容量(也称饱和容量)且该最大容量自始至终保持不变这一假设基础上,

2、 但是实际上最大容量始终保持不变只是一部分现象的近似描述, 很多情况下饱和容量是变化的。例如,随着经济发展,人民生活水平提高,耐用消费品的市场饱和值会不断增大。在这种情况下增长曲线不是Logistic模型所表现出来的S形曲线，而是呈双S形曲线形状，Logistic模型及其改进模型均不能确切地描述这类问题, 究其原因是因为模型假设中饱和容量恒定不变与实际情况不相符。第二张，PPT共十三页，创作于2022年6月 二“S”曲线模型 Logistic模型的基本假设为:种群个体没有差异,具有相同增长率,且相对增长率与剩余空间资源成正比;空间资源有限,具有一定的饱和值,且饱和值一直保持不变。则Logist

3、ic模型中种群相对增长率为 此式称为Logistic方程,相对增长率与种群数量x成线性关系（见图1）, 其中常数r0为内秉增长率,它表示每个个体没有受到抑制时的最大增长率, 反映了物种内在的特性.k为空间饱和容量,当物种数量达到饱和容量值时, 种群不再增长。种群增长率为（1）（2）增长率与x成二次关系（见图2）。第三张，PPT共十三页，创作于2022年6月方程（1）的积分式为图形成“S”型（见图3）。（3）第四张，PPT共十三页，创作于2022年6月 三 双“S”曲线模型 1.问题的提出 改进的Logistic模型仍然是在空间饱和容量k不变的前提下建立的,如果空间饱和容量发生变化,上述所有模型

4、将不能准确刻画实际问题。现实世界中经常出现空间饱和容量不断变化的情况。例如:由于科技创新,人民生活水平不断提高,耐用消费品的饱和市场(可理解为空间饱和容量)会不断扩大;随着生产力的提高,人口饱和空间容量会不断扩大。在这种情况下用上述模型研究种群数量的变化,由于基本假设不符会出现较大偏差甚至错误的结果。 空间饱和容量变化有两种情况: 一种是跳跃式的突变,如一种商品已经接近饱和值但由于某时刻发生技术革新,使得商品又进入了新的增长期;另一种是连续渐进的空间饱和容量变化,例如在人口增长的过程中,生产力不断提高,人口的饱和容量亦随之不断地扩大,饱和容量的变化是伴随在群体发展过程中的。 第五张，PPT共十

5、三页，创作于2022年6月 在种群发展曲线中广泛存在双“S”形曲线(见图4),它大概有两种成因,种群发展到饱和值后某个时刻空间饱和容量突变为另一个值,或者在种群发展过程中,空间饱和容量随之变化,最终种群变化曲线展现为双“S”形。对于前一种情况,空间饱和容量变化前后的曲线相对独立,可分别研究,但对于后者,曲线是一个整体, 各段变化密切相关,不能作为两段Logistic 曲线来研究。下面讨论研究此类双“S”形曲线模型。第六张，PPT共十三页，创作于2022年6月2.双“S”模型的建立 对于Logistic曲线(见图3),其微分形式是一个抛物线函数(见图2),其相对增长率的关系曲线(见图1)为递减直

6、线。用类比的思想,要生成积分曲线为双“S”形(见图4),其微分曲线应为M形(见图5),即有两个高峰增长点。M形的增长曲线各点分别除以x值即得到了对应的关系曲线(见图6)。由图可见,关系近似于三次多项式,这里考虑用多项式描述双“S”形曲线的微分,记双“S”形曲线模型相对增长率满足的方程为 式中r为内秉增长率,k为最终状态的空间饱和容量, b为种群第一段S形曲线向第二段S形曲线转变时的空间饱和容量。a、c为控制曲线线态的参数。当a=0时微分方程即为Logistic方程。相应的增长率满足的方程为（4）（5）第七张，PPT共十三页，创作于2022年6月3.参数估算法 由于(4)的解为一隐式方程,用实际

7、数据直接估计参数比较困难,本文按如下方式估计参数。首先对原始数据进行差分处理,用中心差商近似代替导数, 得出相对增长率的近似值,即（6） 其中x t 为t时刻种群数量，然后用最小二乘法估计(4)式中的参数r,k,a,b,c。得到各参数后,求解微分方程(5),从而得到各个时刻的x值。第八张，PPT共十三页，创作于2022年6月 四 应用实例 下面以1984 2003 重庆市涪陵区农村百户家庭电视机拥有量为例,检验双S形曲线模型的拟合精度与预测准确度,并将双S形曲线模型与Logistic模型进行了比较第九张，PPT共十三页，创作于2022年6月对于双S形曲线模型的拟合采用前边介绍的差分拟合方法,所得的方程为：各年拟合数据见表1的第3列和第7列, 拟合曲线见图7,拟合误差为：（7）（8）第十张，PPT共十三页，创作于2022年6月 对于Logistic模型,由于x与t有显式的关系式(3),直接用最小二乘法拟合得到方程为各年拟合数据见表1 的第4 列和第8 列, 拟合曲线见图8, 拟合误差为（9）(10)拟合结果表明对于空间饱和容量发生变化的情形,双S形