20届高考数学一轮复习讲义(提高版)-专题2.16-定积分与微积分(解析版)doc

1、定积分与微积分【套路秘笈 】-始于足下始于足下一定积分的观点 1定积分的观点 普通地，假如函数在区间上延续，用分点将区间平分 红个小区间，在每个小区间上任取一点，作跟 式此中 为小区间长度，事先，上述跟 式有限濒临 某个常数，那个 常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即.这里，与分不叫做积分下限与积分下限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.2定积分的多少 何意思 从多少 何上看，假如在区间上函数延续且恒有，那么定积分表现 由直线，跟 曲线所围成的曲边梯形的面积.这确实是定积分的多少 何意思 .3定积分的性子 由定积分的界说 ,能够 失掉定积分的如下性子 ：；此中 .

2、二微积分根本定理普通地，假如是区间上的延续函数，同时，那么.那个 论断 叫做微积分根本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.为了便利 ，咱们 经常把记成，即.【修炼套路】-为君聊赋昔日诗，尽力 请从昔日始考向一 应用定积分的多少 何意思 求曲线的面积【例1】1定积分011-x2的值即是 。2曾经明白fx是偶函数，且05fxdx=6，那么-55fxdx=_.(3) xdx= 。(4)cos xdx= 。【谜底 】14 212(3)0; (4)0【剖析 】1由y=1-x2得x2+y2=1x0,1，依照定积分的意思 可知，扇形的面积S=1412=4 即为所求.2fx是偶函数-55fxdx205fxdx又0

3、5fxdx6，-55fxdx12故谜底 为：12(3)如图，xdxA1A10.(4)如图，cos xdxA1A2A30.【套路总结】应用定积分的多少 何意思 求解时，罕见的破 体图形的外形是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的破 体图形.2.对于 庞杂 图形的面积求解，咱们 能够 直截了当 应用 定积分的多少 何意思 ，如今，1断定 积分上、下限，普通为两交点的横坐标.2断定 被积函数，普通是上曲线与下曲线对应函数的差.如此 所求的面积咨询 题就转化为应用 微积分根本定理盘算 定积分了.3.设函数在闭区间上延续，那么假设 是偶函数，那么；假设 是奇函数，那么.【触类旁通】1定积分-aaa2-

4、x2dx即是 。【谜底 】12a2 【剖析 】由题意可知定积分表现 半径为a的半个圆的面积，因而 S=12(a2)=12a2.2曾经明白函数f(x)求f(x)在区间1,3上的定积分【谜底 】【剖析 】由定积分的多少 何意思 知：f(x)x5是奇函数，故x5dx0；0(如图(1)所示)；xdx (1)(1) (如图(2)所示)f(x)dxx5dxxdxxdx应用定积分的多少 何意思 求，此中 .【谜底 】见地析【剖析 】.为奇函数，.应用定积分的多少 何意思 ，如图，故.考向二 微积分定理的应用 【例2】盘算 以下定积分：1； 2；3； 4.【剖析 】1.2.3.4.【触类旁通】1-101-2x

5、1-3x2dx=_【谜底 】-12【剖析 】-101-2x1-3x2dx=-10(1-3x2-2x+6x3)dx=x-x3-x2+32x4|-10=-122-11（1-x2+x）dx=_【谜底 】2【剖析 】由定积分的多少 何意思 知-111-x2dx表现 以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的二分之一，即-111-x2dx=2，-111-x2+xdx=-111-x2dx+-11xdx=2+x22-11=23-11（x2+1-x2)dx= _.【谜底 】23+2【剖析 】原式化为-11x2dx+-111-x2dx ，-11x2=13x3|-11=23，依照定积分的多少 何意思 可知，-111-x

6、2即是 以原点为圆心，以1 为半径的圆面积的一半，即-111-x2=2，因而 -11(x2+1-x2)dx=23+2 ，故谜底 为23+2.413(x-1x2)dx= _【谜底 】103【剖析 】13x-1x2dx=12x2+1x|13=129+13-12+1=103，故谜底 为：103.考点三 积分在多少 何中的应用 【例3】求由曲线与，所围成的破 体图形的面积画出图形.【谜底 】1【剖析 】画出曲线与，那么以下列图中的暗影局部即为所请求 的破 体图形.解方程组，可得.故破 体图形的面积为=1.因而 所求图形的面积为1【套路总结】定积分可正、可负或为零，而破 体图形的面积总长短 负的.2假设

7、 图形比拟庞杂 ，能够 求出曲线的交点的横坐标，将积分区间细化，分不求出响应 区间上破 体图形的面积再求跟 ，留意在每个区间上被积函数均是由上减下.【触类旁通】1由直线x=-6，x=6，y=0与曲线y=cosx 所围成的封锁图形的面积为 。【谜底 】1 【剖析 】标题所求封锁图形的面积为定积分-66cosxdx=sinx|-66=sin6-sin-6=12+12=1.2如图，求曲线所围成图形的面积.【剖析 】由解得.由解得.因而 所求暗影局部的面积为.3曲线yx与直线y2x1及x轴所围成的封锁图形的面积为 。【谜底 】512 【剖析 】由剖析 式作出如下列图简图：由图像可知封锁图形面积为曲线与

8、x轴围成曲边三角形OCB的面积与ABC的面积之差.联破 两函数剖析 式，求出交点C的坐标为：(1,1)，那么点B的坐标为：(1,0)，求出直线与x轴交点A坐标为：(0.5,0)，那么曲边三角形的面积为：SOCB=01x12dx=23，ABC的面积为：SABC=12121=14，因而 两线与x轴围成图形的面积为：512.考向四 定积分在物理中的使用【例4】设有一长25 cm的弹簧，假设 加以100 N的力，那么弹簧伸长到30 cm，又曾经明白弹簧伸长所需求的拉力与弹簧的伸长量成反比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功.【谜底 】见地析【剖析 】设x表现 弹簧伸长的量(单元 ：m)，表现

9、 加在弹簧上的力(单元 ：N).由题意，得，且事先，即，解得，那么.故将弹簧由25 cm伸长到40 cm时所做的功为.【套路总结】1曾经明白变速直线活动 的方程，求在某段时辰 内物体活动 的位移或许通过的行程 ，确实是求速率 方程的定积分.2应用定积分求变力做功的咨询 题，要害 是求出变力与位移之间的函数关联 ，断定 好积分区间，失掉积分表白 式，再应用微积分根本定理盘算 即可.【触类旁通】1曾经明白甲、乙两车由统一 同点同时动身 ，并沿统一 道路(假设 为直线)行驶.甲车、乙车的速率 曲线分不为跟 (如下列图).那么对于 图中给定的t0跟 t1，以下推断 中必定 准确 的选项是A在t1时辰，

10、甲车在乙车前面 Bt1时辰后，甲车在乙车前面C在t0时辰，两车的地位一样 Dt0时辰后，乙车在甲车前面【谜底 】A 【剖析 】由图可知，曲线，直线跟 t轴所围成图形的面积年夜 于曲线，直线跟 t轴所围成图形的面积，那么在t0时辰，甲车在乙车前面，故C过错 ；同理，在t1时辰，甲车在乙车前面，故A准确 ，D过错 ；t1时辰后，甲车会抢先乙车一小段时辰 ，但从两曲线的趋向可猜测 总会有某时辰乙车会超越甲车，故B过错 .【应用 套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行10121-x2dx= 。【谜底 】2 【剖析 】函数y=1-x2表现 单元 圆位于x轴上方的局部，联合 定积分的多少 何意思 跟 定积

11、分的运算法那么可得：0121-x2dx=2011-x2dx=21412=2.2假设 函数fx=Asinx-6A0,0的图象如下列图，那么图中的暗影局部的面积为 。【谜底 】2-34 【剖析 】由图可知，A=1，T2=3-(-6)=2，即T=.=2，那么f(x)=sin(2x-6).图中的暗影局部面积为S=-012sin(2x-6)dx=12cos(2x-6)120=12cos(6-6)-cos(-6)=12(1-32)=2-343从图示中的长方形地区 内任取一点M，那么点M取自图中暗影局部的概率为 。【谜底 】13 【剖析 】图中暗影局部的面积为013x2dx=x3|01=1，长方形地区 的面

12、积为133，因而，点M取自图中暗影局部的概率为134假设 ，那么的巨细 关联 为 。【谜底 】 【剖析 】，因而 .5.曾经明白函数为偶函数，且，那么_.【谜底 】16 【剖析 】因为 函数为偶函数，因而 .6.假设 ，那么实数即是 _.【谜底 】-1 【剖析 】取，那么，因而 ，解得.7物体以的速率 在不断线上活动 ，物体在直线上，且在物体的正后方5m处，同时以的速率 与同向活动 ，动身 后物体追上物体所用时辰 为 【谜底 】5s 【剖析 】物体A通过ts行驶的行程 为，物体B通过ts行驶的行程 为，那么有，解得t=5.10.曾经明白函数，那么 .【谜底 】 【剖析 】，此中 ，由定积分的多

13、少 何意思 可知，其表现 半径为的圆的面积的，即，故.故填.11如图，在边长为1的正方形内，暗影局部是由两曲线围成，在正方形内随机取一点，且此点取自暗影局部的概率是，那么函数的值域为_.【谜底 】 【剖析 】设暗影局部的面积为S，那么，又正方形的面积为1，因而 .故，那么的值域为.12曾经明白函数f(x)=cosx,x-2,01-x2,x(0,1，假设 -21f(x)dx=_【谜底 】1+4【剖析 】由曾经明白得-20cosxdx+011-x2dx=sinx|-20+4=1+4.13定积分e1(x-1-x2)dx的值为_.【谜底 】12-4【剖析 】01x-1-x2dx=01xdx-011-x

14、2dx，此中 011-x2dx的多少 何意思 为函数y=1-x2与直线x=0,x=1及x轴所围成的图形的面积，即圆x2+y2=1在第一象限的局部的面积，其值为4.而01xdx=12x2|01=1212-1202=12.因而 原式=12-4.故谜底 为：12-4.14曾经明白界说 在R上的函数fx与gx，假设 函数fx为偶函数，函数gx为奇函数，且0afxdx=6，那么-aafx+2gxdx=_【谜底 】12.【剖析 】函数fx为偶函数，函数gx为奇函数，函数fx的图象对于 y轴对称，函数gx的图象对于 原点对称-aafxdx=20afxdx=12，-aagxdx=0，-aafx+2gxdx=-

15、aafxdx+2-aagxdx=1215曾经明白212(k+1)dx4，那么实数k的取值范畴 是_【谜底 】1,3【剖析 】依题意得12k+1dx=k+1x|12=k+1，即2k+14，解得1k3.故k的取值范畴 是1,3.16-4416-x2dx+-22x3dx=_【谜底 】8【剖析 】因为 y=16-x2表现 圆心在原点，半径为4的圆的上半局部，故-4416-x2dx =1242=8.-22x3dx =x44|-22=0.故原式=8.17盘算 由直线y=x-4,曲线y=2x以及x轴所围图形的面积S 为 。【谜底 】403【剖析 】做出草图如下， 解方程组y=2xy=x-4 ，失掉交点为8,4，直线y=x-4与x轴的交点为4,0，因而，由y=2x与y=x-4，以及x轴所求图形面积为：042xdx+482x-x+4dx=22x04+22x-12x2+4x48=40318求-22(x2sinx+ex)dx的值 。【谜底 】e2-1e2【剖析 】y=x2sinx为奇函数，-22(x2sinx)dx=0-22(x2sinx+ex)