2021上资格证数学科目三-理论精讲-基础知识5-1.9上午-罗卿

1、课前答疑10min，回放的小伙伴请拉动，谢谢2020教师资格证数学科目三基础知识5主讲：罗卿位置关系应用应用（四）向量的位置关系应用（四）向量的位置关系方法有很多呀一、直线方程二、圆的方程第六节平面解析几何三、圆锥曲线工具一、直线方程（一）倾斜角与斜率直线l的倾斜角的取值范围是0；平面内的任意一条直线都有唯一确定的倾斜角。 直线l的斜率 tan 2 1(0，且 )，这时斜率存在，当斜率不 21存在时，倾斜角是90。( ， )( ， )，为直线上的两点。认识（二）直线方程的五种形式P34应用（三）两条直线间的位置关系1.两直线平行或垂直例：P35认识（三）两条直线间的位置关系2. 两条直线间的距

2、离3. 点与直线的距离公式应用（三）两条直线间的位置关系4. 两点间的距离公式P35认识二、圆的方程（一）圆的方程的几种形式P36认识（二）两圆的位置关系P36认识（三）直线与圆的位置关系P36一听全会，一做全对P36道上靓仔就是你呀P37解：因为点（1，2）在圆x2+y2=5上，设直线ax+by+c=0被圆x2+y2=5截得的线段的另一端点为P(x ，y )，线段中点坐标为M(x ，y )，1100 + = 0 = = + = 0则即，代入圆x2+y2=5，00得( ) +( + ) = 5，整理得( ) +( + ) = 。00004所以，点过A（1，2）被圆x2+y2=5截得的线段中点的

3、轨迹方程为4( ) +( + ) = 。00P37选考点：圆锥曲线的定义三、圆锥曲线P38椭圆双曲线应用图形图形P38定义题重现江湖P40定义题重现江湖P41选考点：圆锥曲线的定义三、圆锥曲线P38考点：圆锥曲线的定义三、圆锥曲线选 归纳：动点P到定点F的距离与到定直线l（F l）的距离之比等于定值e的点的集合。当0e1时，P点的轨迹是双曲线。P38位置关系P41简+论一、推理二、证明第七节推理与证明P42一、推理【2017上半年-初、高-论述题】15.推理一般包括合情推理和演绎推理，（1）请分别阐述合情推理和演绎推理的含义；（6分）（2）举例说明合情推理和演绎推理在解决数学问题中的作用（6分

4、），并阐述两者之间的关系（3分）。P44一、推理了解（二）合情推理1.合情推理的定义根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理。从具体问题出发观察、分析比较、联想归纳、类比提出猜想P42举个栗子P43认识一、推理P42P44数学推理定义特点作用区别与联系由部分到整体由个别到一般的推理有前提、结论尚待验证创造性的推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体、归纳不能作为数学证明的工具，但它具有 个别到一般的推理，类别是由特殊到特殊的创造性思维，有利合情推理推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证

5、明；演绎推理在大前提、小前提和推理性都正确的前提下，类 由特殊到特殊的于发现数学结论比推理由一般性的命题推出特殊性命题，演绎推理 是一种必然性推理，是由一般到特殊的推理可以作为数学证明 得到的结论一定正确。的工具“三段论”作用不同，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理。2.演绎推理的一般模式“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提-已知的一般原理；小前提-所研究的特殊情况；结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断例如：能被2整除的数叫做偶数，6能被2整除，所以6是偶数。大前提-偶数的定义；小前提- 6能被2整除；结论- 6是偶数P43谁

6、说数学没有背诵【2017上半年-初、高-论述题】15.推理一般包括合情推理和演绎推理，（1）请分别阐述合情推理和演绎推理的含义；（6分）（2）举例说明合情推理和演绎推理在解决数学问题中的作用（6分），并阐述两者之间的关系（3分）。P44【参考答案】（）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。演绎推理：从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称之为演绎推理，“三段论”是演绎推理的一般模式。P44（）合情推理在解决数学问题上不能作为数学证明的工具，但它具有创造性思维，对数学结论的发现十分

7、有用。例如，在研究球体时，我们会自然想到圆，球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此可以推测，对于圆所具有的特征，球可能也具有，如圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径等。演绎推理在解决数学问题上可以作为数学证明的工具，但缺少创造性，不过它严密的论证有助于科学的理论化和系统化。例如，三角函数都是周期函数，y=sina是三角函数，因此y=sina是周期函数。合情推理与演绎推理的关系：两者有区别，合情推理是从部分到整体、从个别到一般或从特殊到特殊的推理，演绎推理是从一般到特殊的推理；同时两者紧密联系，互相依赖，互为补充，演绎推理

8、的一般性原理必须借助合情推理从具体的经验中概括出来，可以说没有合情推理就没有演绎推理；合情推理也离不开演绎推理，由合情推理得到的结论是否正确必须借助演绎推理去论证。P45二、证明简+论P45简+论二、证明（一）直接证明1.数学归纳法数学归纳法是数学上证明与自然数 n 有关的命题的一种特殊方法。（1）第一数学归纳法基本步骤P45P45二、证明简+论1.数学归纳法（2）数学归纳法的应用证恒等式整除性的证明探求平面几何中的问题探求数列的通项不等式的证明P46简+论二、证明2.综合法（1）综合法的定：利用已知条件和某些定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立。要点：顺推证

9、法；由因导果。P46（2）综合法的证明过程 这个证明就是从已知条件出发，进行简单地运算和推理，得到要证明的结论。其中要用到一些已经证明的命题。P46二、证明（3）综合法证明的思维过程用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为：（4）综合法的特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件。P47谁说数学没有背诵P46简+论二、证明3.分析法（1）分析法的定义从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实（定理、定义、公理等），这种证明的思维方法叫做分析法。要点：逆推证法；执因索果

10、。P47（2）分析法的证明过程求证： 3 + 7 5。证明：因为 3 + 7和 5都是正数，所以为了证明 3 + 7 5，只需证明 3 + 7 5 ，展开得10+ ，即 5，只需证明 5，因为 5成立，所以不等式： 3 + 7 5成立。P48二、证明（3）分析法证明的思维过程：用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则分析法用框图表示为：在分析法证明中，从结论出发的每一步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实。因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。（4）分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际是寻找使结论成立的充分条件。P48谁说数学没有背诵P48简+论二、证明（二）间接证明1.反证法有些不等式无法利用题设的已知条件直接证明，可以利用间接的方法反证法去证明，即通过否定原结论导出矛盾从而达到肯定原结论的目的。P48（二）间接证明2.利用反证法证明一个命题的一般步骤（反设）假设命题的结论不成立；（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；（归谬）断言假设不成立；（结论）肯定原命题的