自然数列群求和的探讨

1、PAGE PAGE 9自然数列群求和的探讨张明元（绵竹紫岩雨润中学 四川绵竹618200）摘要：求一个自然数列的前n项和，用公式Sn=n(a1+an)/2即可求得。但要计算若干自然数列前n项之总和， 上述求和公式已不适用，推导出新的公式成为必然，而该文正是这一指导思想的产物。关健词：自然数列； 自然数列群 ； 等差数列； 求和。中图分类号：O122.7文献标识码: A 文章编号:Discussion of high-order natural number row for sumZhang Mingyuan(Mianzhu Ziyanyurun Middle School Sichuan 61

2、8200) The abstract: Require one natural number line you can use formula Sn = n(a1+an)/2 to calculate， but if you want to require many natural number lines， this formula can not be used。 It is necessary to conduce another formula。 This article is done for this reason。Key words: Sequence of natural nu

3、mbers； Several sequence of natural numbers；Arithmetic progression; Sum1、 问题的提出在解决一个实际问题时，需要计算若干自然数列前n项之总和，所谓若干自然数列，其形式如下：1；1， 2；1， 2， 3；1， 2 ， 3， 4；1， 2， 3， 4， 5；1， 2， 3， 4， 5， 6；1， 2， 3， 4， a；本文中，把上面这种自然数的个数依次逐渐递增有一定排列规律的自然数列的全体，称之为自然数列群。通过研究发现，上面自然数列的排列形式，只是自然数列群排列形式中最简单的一种。本文中，把1也看作一个特殊的自然数列，因此，上

4、面共有a个自然数列。显然，用等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2 (1) 无法求上面a个自然数列前n项之总和，推导出新的公式成为必然。，为了使推导简明，本文规定了一些符号。2、关于符号的规定、意义及说明本文用空心括号内加字母或数字、空心括号右上角标字母或数字的形式来表示自然数列群的和，其表示形式、意义如下：1=11+2=21+2+3=31+2+3+4=41+2+3+4+5=51+2+3+4+5+6=61+2+3+4+5+6+7=71+2+3+4+5+6+7+8=8；1+2+3+4+a=a 7读作:：7的一次和；8读作： 8的一次和； ；a读作：a的一次和；7表示的意思是：以7为最大数，从

5、1加到7、自然数列的和；8表示的意思是：以8为最大数，从1加到8、自然数列的和；a表示的意思是：以a为最大数，从1加到a、自然数列的和。上面a个自然数列（或称之为自然数列群）前n项之总和又等于多少呢？本文规定，上面a个自然数列前n项之总和等于a2，即：1+2+3+4+5+6+ +a=a2本文把空心括号内的数字或字母称之为自然数列群基数，空心括号右上角的数字或字母称之为自然数列群的和次数，和次数为1的，可省略不写。am的结果称之为自然数列群的和。同理，本文规定：1+2+3+4+5+6+7=721+2+3+4+5+6+7+8=821+2+3+4+5+6+7+8+9=92 ；1+2+3+a=a272

6、读作：7的2次和，（不能读作7的2次方）；82读作：8的2次和；a2读作：a的2次和。72表示的意思是：以7为最大数，从1的1次和一直加到7的1次和、多个自然数列的和；82表示的意思是：以8为最大数，从1的1次和一直加到8的1次和、多个自然数列的和；a2表示的意思是：以a为最大数，从1的1次和一直加到a的1次和、若干自然数列的和。3、问题的延伸12+22+32+ a2 = ？本文规定：12+22+32+ a2 = a3 a3读作：a的3的次和。a3表示的意思：以a为最大数、1的2次和加2的2次和加3的2次和一直加到a的2次和、若干自然数列的和。同理、本文规定：12+22+32+42+52+62

7、+72+82=8313+23+33+43+53+63+73+838414+24+34+44+54+64+74+84=85； 一般地:1m-1+2m-1+3m-1+ +am-1=am (2)1m-1+2m-1+3m-1+ +a-1m-1=a-1m (3)从本文之规定得知，1的任何次和都等于1，即：1m =1 (m为自然数 m0)理所当然，am属于自然数列群的范畴。 如果用本文所述自然数列群表示法，自然数列群间便可进行简单的加、减法运算。例如：3233322此外，用本文所述特殊自然数列群表示法的另一优点是，给自然数列群的判断带来方便。例如：下面有（A）、（B）两组数据，（A）组数据数列的特性一目了

8、然，而（B）组好象是一堆杂乱无章的数据，实际上（B）组数据与（A）组数据一、一对应。 18，28，38， 48， 58，； a8 （A）1， 10， 55， 220， 715， ； q (B)（A）组数据之和为a9。4、自然数列群求和公式的推导那么，38、618、a9 、am究竟等于多少呢？怎样进行计算呢？为此，笔者进行了探索，并推导出了以下公式。 am= (4) (a、m为自然数 ， a0 m0 ) 在推导自然数列群求和公式（4）前，需先证明另一个公式成立。引理123r234(r+1)345(r2)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+r-1)= n(n+1)(n+2)(n+3)(n+r)

9、(5)证明：当n=1时左边=123r右边123r(r+1)123r左边右边等式（5）成立假定当 nk时（5）式成立、即：123r234(r+1)345(r2)k(k+1)(k+2)(k+3)(k+r-1)= k(k+1)(k+2)(k+3)(k+r) (6) 那么，当n=k+1时左边=123r234(r+1)345(r2)k(k+1)(k+2)(k+3) (k+r-1)+(k+1)(k+2)(k+3) (k+r)将（6）式代入上式左边k(k+1)(k+2)(k+3) (k+r)+(k+1)(k+2)(k+3) (k+r) =(+1) (k+1)(k+2)(k+3) (k+r) = (k+1)(

10、k+2)(k+3) (k+r)(k+1+r)当n=k+1时右边= (k+1)(k+2)(k+3) (k+r)(k+1+r)左边右边 即：公式(5)成立。下面用递推法推导自然数列群求和公式（4） 根据本文对自然数列群的表示法得：a=1+2+3+a = a21 + 2 + 3+a + + + = 12+23+34+a(a+1)= a (a+1)(a+2) a312+22+32+ +a2 = + + + + = 123+234+345+ a (a+1)(a+2) = a (a+1)(a+2)(a+3) a413+23+33+a3 =+ + + = 1234+2345+3456+a (a+1)(a+2

11、)(a+3)根据公式（5）可得：= a (a+1)(a+2)(a+3)(a+4) ；am1m-1+2m-1+3m-1+am-1 =+ +根据公式 （5）得： = 根据阶乘意义得：am =5、自然数列群求和公式（4）的再次证明 求证：am =证明：公式（2）（3）得：am am-1+a-1m (7)分析：公式（7）是根据本文对自然数列群之规定而推导出来的，因此，公式（7）的正确性母容置疑。如果能由公式（4）证明推导出的公式（7）成立，那么，公式 （4）也就成立。即：am =由阶乘意义得：am= =+ (8)若公式（4） am = 成立 则有：am-1 = (9)a-1m = (10) 将公式（9

12、）、（10）代入（8） 得： am = am-1 + a-1m 6、自然数列群所含自然数列个数的计算：根据本文规定得知：当我们在求am=？时，实质上是在求以a为最大数、若干自然数列的和；例如，在求81=？时，实质上是在求以8为最大数、1个自然数列的和；又如，在求82=？时，实质上是在求以8为最大数、8个自然数列的和；再如，在求83=？时，实质上是在求以8为最大数、36个自然数列的和；自然数列群所含自然数列的个数可用下面公式（11）进行计算。【a】m = (11)(a、m为自然数 ， a0 m0 ) 请注意：自然数列群所含自然数列的个数的计算公式 (11)与自然数列群求和公式（4）字母的表示方法

13、和公式都是所区别的。自然数列群求和的符号为（am），它是用空心括号内的加数字或字母来表示，自然数列群所含自然数列的个数的符号为（【a】m）它是用实心括号内的加数字或字母来表示。公式（11）的推导根据本文对自然数列群表示法得知：a= 1+2+3+4+a此时对一个自然数列前n项求和所以 【a】= 1根据本文对自然数列群表示法得知：a2 =1+2+3+4+5+6+ +a此时对a个自然数列前n项求和所以 【a】2= a根据本文对自然数列群表示法得知：a312+22+32 + +a2 1 1 1 12 2 23 3 a此时是对1+2+3+ +a=个自然数列前n项求和 所以 【a】3 = 根据本文对自然数

14、列群表示法得知：a4 = 13+23+33+ + a此时是对+ + + 个自然数列前n项求和=所以 【a】4 = 根据本文对自然数列群表示法得知：a5 =14+24+34 + +a4此时对 + + + + 个自然数列前n项求和所以【a】5 = ； 从上面的推导过程中可以看出，数列个数计算公式（11）的推导与求和公式（4）的推导完全相同，在数值上有：【a】3 =a；【a】4 =a2 ；【a】5=a3 ； ；【a】m=am-2 根据公式（4）有：【a】m = 7、自然数列群数表的规律为了方便计算，后面给出了部分自然数列群数表。一个有趣的现象是：数表的第三行的数值与左数第一列数值完全相同；数表的第四

15、行的数值与左数第二列数值完全相同；数表的第五行的数值与左数第三列数值完全相同；8、自然数列群求和应用举例 例1、16的8次和有多少个数列？这么多数列的前n项总和是多少？ 解：利用数列个数计算公式（11）有：【a】m = 【16】8 = = 170544 利用求和公式（4）有：am= 168 = 130750416的8次和共有170544个自然数列，170544个自然数列前n项之总和为1307504。例2、求下列7个数据总和。18、28、38、58、68、78、88、解：上面数据如果加入一个48后，便可以使计算更简便，于是有18+28+38+48+58+68+78+88=8948查后面自然数列群

16、数表= 19448220= 19228参考文献：1、北京市初等数学编写组 初等代数M，北京人民教育出版社，1975年出版，295-317页2、曹才翰 中国中学教学百科全书（数学卷）M， 沈阳， 沈阳出版社 ，1991年出版 76-78页3、四川矿业学院数学编写组 数学手册M ， 北京科学出版社，1977年出版，15页。 List of references1Beijing elementary mathematic sCompilation groupPrimary algebraM，The Beijing people educate the publishing house，In 1975 published，295-317 page2。 CaohancaiChinese middle school teaching encyclopedia（Mathematics volume）M， Shenyang， the Shenyang publishing house，1991 years publishes76-78 page。3The Sichuan mining industry institute mathematics compilation group mathematics handboo