2021-2022学年高二物理竞赛课件：分布函数和玻尔兹曼方程

1、分布函数和玻尔兹曼方程第三节 分布函数和玻尔兹曼方程处于平衡时, 电子的分布遵从Fermi-Dirac分布在有外场（如电场、磁场或温度梯度场）存在时, 电子的平衡分布被破坏, 在散射比较弱的情况下, 类似于气体分子运动论, 我们可以用由坐标r 和波矢k 组成的相空间中的半经典分布函数f (r, k, t) 来描述电子的运动. 均匀分布, 与空间位置r无关分布函数f (r, k, t) 的物理意义: 在t 时刻, 电子的位置处在r r+dr的体积元内, 电子的状态处在k k+dk范围内单位体积的电子数为一. 分布函数分布函数f 随时间的改变主要来自两方面: 一是电子在外场作用下的漂移运动, 从而

2、引起分布函数的变化, 这属于破坏平衡的因素, 称为漂移变化；另一个是由于电子的碰撞而引起分布函数的变化, 它是建立或恢复平衡的因素, 称为碰撞变化. 因此, 分布函数的变化率为: 二. 玻尔兹曼方程漂移项碰撞项瞬变项当体系达到平衡时且分布函数不显含时间第三节 分布函数和玻尔兹曼方程漂移项不考虑碰撞时, r, k, t 处的电子来自于r-dr, k-dk, t-dt于是第三节 分布函数和玻尔兹曼方程多元函数的微商注: 上式还可以将 展开并保留至dt一阶项得到.第三节 分布函数和玻尔兹曼方程碰撞项单位时间内因碰撞进入(k, r)处相空间单位体积的电子数单位时间内因碰撞离开(k, r)处相空间单位体

3、积的电子数电子从k态到k 态的跃迁几率综上玻尔兹曼方程第三节 分布函数和玻尔兹曼方程碰撞项单位时间内因碰撞进入(k, r)处相空间单位体积的电子数单位时间内因碰撞离开(k, r)处相空间单位体积的电子数电子从k态到k 态的跃迁几率综上玻尔兹曼方程第三节 分布函数和玻尔兹曼方程下面我们讨论一维定态的导电问题时(比如一根均匀导线内的情形)，分布函数和位置r 无关，第二项为零，又因为：玻尔兹曼方程可以简化为：简化后，玻尔兹曼方程仍是一个微分-积分方程，碰撞项(b-a)的积分中还包含有未知的分布函数，在一般情况下，该方程得不到简单的解析形式解，要采用近似方法才行。(关键是碰撞项的积分求解困难很大)第三

4、节 分布函数和玻尔兹曼方程一个广泛应用的近似方法是弛豫时间近似, 碰撞项可以表示为: f0 为处于平衡态时的FermiDirac 分布函数; 是引入的参量, 定义为弛豫时间第四节 弛豫时间近似和电导率公式在弛豫时间近似下，玻尔兹曼方程化为这个假设的根据是考虑到碰撞促使系统趋于平衡态的特点. 若系统原来不平衡, 即t = 0时, f = f0+ f (t = 0), 在t =0 时撤去外场, 若只有碰撞作用时, 对平衡的偏离 f (t = 0) 以指数的形式消失积分得回到一维电导问题，玻尔兹曼方程变为：将 f 按电场E的幂级数展开f1, f2分别代表电场E的一次幂项, 二次幂项, 代入玻尔兹曼方程可得第四节 弛豫时间近似和电导率公式等式两边E的幂级数项应该相等E的一次幂级项E的二次幂级项对于弱电场情况，分布函数只需要考虑到E的一次幂，即第四节 弛豫时间近似和电导率公式设金属表面垂直于z轴, 即电子沿z方向脱离金属速度