13年全国数学建模竞赛2013试卷

1、关于车道被占用对城市道路通行能力的影响问题的研究摘要车道被占用在日常生活里经常会遇到，车道被占用的情况有很多种，例如交通事故、占道施工等，车道被占用会在短时间内导致车道或道路横断面通行能力在降低。本文通过对附件所给进行车流量的统计和分析，对实际交通能力做出了合理的估算与评估，对拥堵后车辆排队长度与实际交通能力、持续时间、上游交通量四者间关系进行了建模。首先针对内每个相位时间内事故断面处进行车流辆统计，根据统计结果初步估算实际交通能力，实际交通能力是实际路况、交通条件下道路的固有属性，因此实际交通能力不会随时间变化而发生改变。然后本小组为了进一步较精确估算出实际交通能力，合理的选择在四级服务水平

2、下通过事故断面处车流量，采取均值方法减小了误差后，此时的车流量可以看做是实际交通能力。在不同种道路被占用的情况下，实际上其实际通行能力各不相同，本小组分析形成差异的，建立线性方程模型，推算出不同道路被占用情况下的实际交通能力。在车道被占用后，车辆发生缓行、排队等交通问题的几率增加，在上游交通量可以看做一个平稳的随机过程下，车辆排队长度会受到饱和交通量、时间与上游交通量的共同影响。本小组在统计饱和交通量、上游交通量数据后，分析建立了基于交通波理论的迭代方程模型。模型中运用排队服务理论，建立了实际交通能力与排队发生之间的关系。根据此模型加以对实际数据带入后的理论分析，可以在交通设计上有指导性的意义

3、，为交通管理部门提供正确交通设计理论依据。：车道被占用实际交通能力交通波 服务理论理论指导问题重述车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等，导致车道或道路横断面通行能力在时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式车站等提供理论依据。题目中给出了两个处于同一路段的同一横断面的

4、交通事故，事故中车辆完全占用两条车道。根据附件研究以下问题：问题 1 根据1（附件 1），描述通事故发生至期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。问题 2 根据问题 1 所得结论，结合2（附件 2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。问题 3 构建数学模型，分析1（附件 1）通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。问题 4 假如1（附件 1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为 140 米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为 1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不。请

5、估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。问题分析分析此类交通问题，重点在于其如何选择目标与目标函数和它们之间函数关系的建立。此题不确定很多，例如随机分布的车流量、不可的道路情况、不可的事故发生与事故发生后的持续时间等等，因此此题重点在于建立各种影响与车道被占用情况下交通两者之间的函数关系，并且运用此函数关系来指导城市交通设计，这便是建立函数进行优化设计类问题。其中可以参考运用的知识有交通流模型理论、排队论、概率分布等。四个问题中有几个重要概念：通行能力：1通行能力 TC【Traffic Capacity】指的是在一定的道路和交通条件下，道某一路段时间内通过某一断面的最大

6、车辆数。交通量（车流量）：2指道路在某一定时段内实际通过的车辆数。计算公式为（T：交通量，N：一定时间内通过某一横截面的车辆数，t：时间）实际通行能力：3实际通行能力【Actual Capacity】又叫可能通行能力，是指在实际的道路和交通条件下，时间内通过道某一断面的最大可能交通量。一般道路的交通量均小于道路的通行能力，当道的交通量比其通行能力小得多时，则驾车行进时操作的度就越大，既可以随意变更车速，转移车道，还可以方便地实现超车。当交通量等于或接近于道路通行能力时，车辆行驶的度就逐渐降低，一般只能以同一速度循序行进，如稍有意外，就会发生降速、拥挤，甚至阻滞。当交通量超过通行能力时，车辆就会

7、出现拥挤，甚至堵塞。因此，道路通行能力同河流的过水能力一样，是道路在一定条件下所能通过的车辆的极限数值，条件不同，要求不同，其通行能力也就不同。故通行能力是际通行能力前提是在实际道路与交通条件下，而通行能力前提是在特定的道路与交通条件下，因此实际通行能力(AC)=通行能力（TC）修正系数I。（修正系数I代表了实际道路与交通条件对其通行能力的影响）。道路的通行能力严格意义上是一个常数，如果假设在实际中其道路与交通条件不变，那么其修正系数是一个常数，实际通行能力也是一个不会随时间变化而变化的常数。交通量，但在上面 3 个概念辨析中明确表达出了交通量（T）实际通行能力(AC)，所以不能在1 中直观统

8、计出其实际通行能力。因此需要根据统计来问题 1的分析：问题 1 中可以在 1 中直观的统计出通过堵车断面的概念辨析：定义中明确给出在特定的条件下交通量(T)通行能力（TC）。实一个变数。1估计出其实际通行能力。如果在道路及交通环境一定条件下，实际通行能力不随时间变化而变化。其中可运用的知识有排队理论等。问题 2 中实际通行能力后可联系问题 1 中的实际通行能力来推算拟合另外一种车道被占用情况下的实际通行能力。三者间做比较后观察，分析说明不同车道被占用的情况下交通能力的差异。问题 2 的分析中可以运用排队理论来推算拟合。持续时间、上游交通量为变量的函数关系。实际通行能力在问题 1 中可以估算出，

9、是一个不随时间变化的定值，那么难道只需要简单研究排队长度与持续时间、上游交通量的关系就可以么？实际上实际交通能力看似与排队长度无关，但实际交通能力决定了一个非常关键的时间节点排队开始节点，也就是说当事故发生处无车辆排队时、上游交通量相同的情况下，实际交通能力越大，其开始排队的时间越晚。因此需建立一个实际交通能力与事故开始到排队开始时间的关系。当事故发生处开始排队后，交通量处于过饱和状态，其数值上小于实际通行能力，此时持续时间、上游交通量与事故发生断面处的饱和状态下交通量共同决定了堵塞车辆的排队长度。问题 3 模型建立中可以运用的知识有交通流理论、概率分布等。辆的期望与其他数值带入模型求出排队长

10、度即可，此排队长度不是偶然达到的事件，是一个期望达到事件。建模求解模型假设：1.假设1 中事故发生至的时间内道路与交通条件不发生变化。2.计算交通量的时候忽略除四轮机动车、四轮电瓶车以外(中无四轮以上的交通工具)的所有交通工具，将其计算当量看做为 0。问题 4 的分析：问题 4 的解决方法与问题 3 一致，将不同分布条件下最多车问题 3 的分析：问题 3 中需要建立一个排队长度为因变量，实际通行能力、问题 2 的分析：问题 2 估计实际通行能力的方法与问题一中方法一致。获得3.忽略除四轮机动车、电瓶车以外的所有交通工具（包括行人）对道路宽度的影响，将道路宽度和侧向净宽对通行能力的修正系数（fw

11、）看做定值。4.假设驾驶员对道路应变能力相同，将驾驶员条件对通行能力的修正系数（fp）看做定值。5.中不清晰、卡跳而无法获得数据的地方不在统计内。6.假设排队的车都是连续的，无很大的间隔。7.根据统计，中型车、大型车数量远小于小型车数量，因此假设车辆当量换算法则同样适用于车辆长度（包括车辆本身车长+安全距离长度）的当量换算。问题 1：本小组从中统计事故发生处断面每一个相位（30 秒）通过大中小型车辆的数量，统计表见附件 1。根据统计好的车辆，按公共交通标准汽车换算法则转换为标准车型（小型车）。根据城市道路交通规划设计规范（GB5022095）公共交通标准汽车当量换算法则如下：4问题 1中车辆分

12、别有小型汽车（车长 4m 左右），小型汽车（车长 8米左右），标准汽车（车长 12 米左右）。根据换算后的当量公共交通工具（小型汽车），在事故发生出断面的交通量与时间段用插值拟合后画出图像：根据统计显示，最大交流量为 28pcu/min，从数据中初步估计出实际通行能力为 28pcu/min。1 中因道路及交通条件不变，其实际能力也不随时间而变化。初步估计出实际交通能力后，本小组继续对中处于四级服务水平（处于四级服务水平时，交通流处于不稳定流状态，每小时可通行的交通量达到最大值。所有车辆都以通行能力对应的、但相对均匀的速度行驶。在四级服务水平下的交通量与实际通行能力数值上一致。）5的时间段里通过

13、事故发生断面的车辆进行统计，进一步获得实际通行能力。统计如下：（统计表见附件 2）时间段小型车(堵车处）/辆中型车（堵车处）/辆大型车（堵车处）/辆当量车数/辆每分钟流量(pcu/min)16:43:52-16:44:06600625.7116:44:33-16:44:52800826.6716:48:35-16:48:51700726.2516:49:08-16:49:27610826.67平均每分钟流量（pcu/min）26.325实际通行能力统计表1 中每隔 30 秒间统计的交通量分析：中其他交通工具（如自行车）、行人对道路净宽的影响，驾驶员的条件都会对实际通行能力的统计带来影响，除此之

14、外，人在统计时产生的误差也是不可避免的，因此统计出的数据会有波动，本小组采用排除不合理数据后求均值的方法来减小误差。结论：根据统计显示，估算出事故断面处实际通行能力为 26.325（pcu/min），在事故发生至的时间内道路与交通条件不发生变化的情况下，实际通行能力是道路的固有属性，不随时间而改变。问题 2：模型假设：1.下游车流量分布比例适用于上游车流量在车道上的分布比例符号说明模型建立一、二车道被占用的情况下实际交通能力统计估算如下（统计表见附件 3）a通畅车道系数b临通畅车道的车道系数c远离通畅车道的车道系数1 处于四级服务水平交通量与时间段图线根据图像可以估算出实际交通能力在 34pc

15、u/min 左右。统计分析2 处于四级服务水平的时间段里通过事故发生断面的车辆进行统计，进一步获得实际通行能力。统计如下：（统计表见附件 4）时间小型车(堵车处)中型车（堵车处）大型车（堵车处）当量车数每分钟流量17:34:40-17:35:00611113317:35:44-17:36:058011131.4317:36:56-17:37:2111011433.617:39:37-17:39:53601933.7517:42:20-17:42:417201134.28均值33.212实际通行能力统计表2 中每隔 30 秒间统计的交通量根据统计显示，估算出事故断面处实际通行能力为 33.212

16、（pcu/min）。分析1 与2，两者未被占用的车道在空间上呈对称结构，如果将上游车流量分布看做是均匀的，则两者的实际通行能力不应有明显的差别。本小组观察分析认为，上游车流量在车道上分布的不同，导致实际通行能力的不同。本小组采用线性方程模型,观察不同车道车的连贯性，认为a、b、c 三者间近似于等差数列关系。21a+44b+35c=26.32535a+44b+21c=33.212a+c=2b根据上述关系式求出a=54.5b=29.5c=4.5根据求出的车道系数可以推算出一三车道被占道情况下的实际交通能力为21b+44a+35b=40.52 处于四级服务水平交通量与时间段图线问题 3：符号说明当两

17、者吻合程度最大，如上图时，修正系数 K=5模型流程如下：统计拟合图整个流程结束后，每隔一定周期时间的堵塞车辆数便可以得出。观察1 中车辆排队特点不难发现，排队车辆在三条道的分布有时不是均匀的，而排队长度是取决于当量车辆最多的那一条路的堵塞车辆数：为长度与车辆的转化系数的期望，该值经过对排队时排队长度与排队车辆的比值进行统计，排队情况从统计上大概分为两种情况，排队时每个车道平均分配车辆的概率为 51.67%，另一种为不平均分配，其中两个车道较多，近似认为较多的两个车道平均分配，第三个车道近似为 0。每个车辆的平均长度（按当量平均）加上车间安全距离为 7 米，排队车辆 D,车队长 L,L=D(51

18、.67%*0.33+48.33%*0.5)=2.74D。所以每分钟净流入量为 5pcu/min 时,则所需时间为 47.95/5=9.6min。模型评价优点：1.本模型很好地体现了交通瓶颈处排队长度的变化趋势，综合考虑了事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间影响,通过与中实测数据的比较，充分说明了本模型的合理性。2.准确利用了中提供的数据，并且对数据进行了较透彻的分析，抓住了分析的要点，剔除了一些不符合实际情况且对问题影响不大的数据，较好地完成了数据的提取与应用。3.在分析所占车道不同对道路实际通行能力的影响时在建立模型的基础上对该模型的结果进行了合理性验证，此模型对占用车道不

19、同对道路实际通行能力的影响的计算具有启发性。4.利用排队理论建立的模型可以得到较为准确的排队长度的计算方法，这一模型应用十分灵活，通过调整模型的参量，可以对占道所的排队长度进行较为准确的，为城市规划提供了很好地参考。缺点：在进行数据统计时由于：人为的影响可能导致数据准确性不够，在其他影响时也使用了一些简化考虑，是模型精度有所降低。改进：可以在搜集数据或考虑的自然、社会以及人为的影响，准确的出占道出排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系，并且可以在控制模型精度方面进行改进，使得结果更为准确。参考文献1百科，通行能力，http/view/1174389.htm，20

20、13 年9 月 14 日2百科，交通量，http/view/309237.htm，2013 年 9 月14 日3等著，交通工程总论,市朝阳区安定门门外馆斜街 3 号，人民交通，2002 年4百科，实际通行能力，http/view/8585082.htm，2013年 9 月 14 日5我爱网，城市道路交通规划设计规范（GB5022095），2013 年 9 月14 日6360 百科，道路服务水平，h/doc/345020.html，2013 年 9月 15 日使用为全部程序如下（按文中出现顺序，并附在附件中）：1. 问题一交通量统计程序 Y=26,28,24,14,18,16,14,20,20,

21、14,22,20,18,22,28,20,16,22,22,18,16,20,2 0,22,22,22;X=1:1:26;X1=linspace(1,26,50);S=1(X,Y,X1,spline);plot(X,Y,ok,X1,S,g);axis(1,26,0,50)2.问题一实际通行能力估计拟合程序： Y=25.71 26.67 26.25 26.25; X=1:1:4;X1=linspace(1,4,50);S=1(X,Y,X1,cubic);plot(X,Y,ok,X1,S,g);axis(1,4,20,30)3. 问题二交通量统计程序X=1:1:58; Y=18,34,26,22,16,28,28,20,24,20,26,16,30,16,22,24,26,28,20,18,18,26,22,20,28,8,24,28,20,24,22,30,22,22,20,20,28,20,24,24,26,26,26,28,28,30,24,20,28,