复合函数的零点问题

1、精品资料 欢迎下载 复合函数的零点问题 I 题源探究黄金母题 杰出解读 【试题来源】 2022 年高考江西卷改编 【母题评析】 此题以新定义的形式考查复合 函数,分段函数的零点,难度较大新定义 （信息题）是近几年来高考的一个热点 【思路方法】 懂得定义,写出复合函数的解 析式,再利用函数与方程思想,分类分类讨 论思想,数形结合思想解题 【例 1】设函数 f x 1 x , 0 ax a , x （ a 为常数且 1 1a1 x , a 1a0,1 ） 如 x0 是 f f x x 的零点但不是 f x x 的零点,就称 x0 为 f x 的二阶周期点,求函数 f x 的二阶周期点 【答案】函数

2、 f x 有且仅有两个二阶周期点, x1 a2 aa1, x2 a 2 1a1 1x,0 x 2 a , a 2 【解析】 f f x 1a a 2 x, a x aa, a 1, a1 12x a, a x 2 1 a1 1 a1 a x, a 2a1 x 1. 当 0 x 2 a 时,由 1x x 解得 x 0,由于 f 00 , a2故 x 0 不是 f x 的二阶周期点； 当 a2x a 时,由 1a a x x 解得 a1 x a2aa12 a , a, 因 f a 2 a a 1 1a2 aa1a 2 1a 1 a2 aa1, a故 x a2 aa1是 f x 的二阶周期点； 当

3、ax a2a 1 时,由 1 x a x 解得 2 1 a x 12 a,a a 1 ,因 2a第 1 页,共 25 页f 11111故 x 精品资料 不是 欢迎下载 12a1a2a2a2af x 的二阶周期点； 当 a2 a1x 1 时, 11 x a x 解得 2 a1a1, a1 x a 2 1a1a2a 1,1,因 f a21a 1 1a1 a21a 1 2 a aa 11 故 x a21a1是 f x 的二阶周期点 综上：函数 f x 有且仅有两个二阶周期点, x1 a2aa1, x2 a21a1 II 考场杰出真题回放 【例 2】【 2022年高考江苏卷】 设 f x 是定义在 R

4、 且周期为 1【命题意图】 此题主要考查复合函数的零 点此题能较好的考查同学的运算才能,动 手作图才能以及观看才能等 【考试方向】 这类试题在考查题型上,通常 基本以选择题或填空题的形式显现,综合性 强,难度大 【难点中心】 解答此类问题, 关键在于 “抽 茧剥丝”,把复合函数问题转化为单函数问 题,精确作出函数图象, 利用图象解决问题 的函数,在区间 0,1 上, f x 2 x , x D, 其中集合 x, x D , Dx x n1, n nN* ,就方程 f x lg x 0 的解的个数是 【答案】 8【解析】由于 f x 0,1 ,就需考虑 1 x 10 的情形 在此范畴内, x Q

5、 且 x Z时,设 x q , p, q p N * , p 2,且 p, q 互质 如 lg x Q ,就由 lg x 0,1 ,可设 lg x n, m, nN * , m 2 ,且 m, n 互质 m nqn,就 10 q m p,此时左边为整数,右边非 因此 10mp整数,冲突,因此 lg x Q 因此 lg x 不行能与每个周期内 x D对应的部分相等,只需 考虑 lg x 与每个周期 x D 的部分的交点,画出函数图象, 第 2 页,共 25 页图中交点除 1, 0 精品资料 欢迎下载 外其它交点横坐标均为无理数, 属于每个周 期 x D 的部分, 且 x 1 处 lg x 111

6、 ,就 x ln10 ln10 在 x 1 邻近仅有一个交点,一次方程解的个数为 8 【例 3】【2022年高考天津】已知函数 f x 2x , x 2, 函数 g x bf 2 x ,其 x 2 2 , x 2, 中 bR,如函数 y f x g x 恰有 4 个零点,就 b 的 取值范畴是 （ ） A 7, B 7 , 4C 7 0, 4D 7, 2 44【答案】 D 【解析】 2 x , x 2, 2 2 x , x 0由 f x 2 得 f 2 x 2, x 2 , x 2, x , x 02 x x 2 , x 0y f x f 2 x 4 x 2 x , 0 x 2 ,即 22 2

7、 x x 2 , x 22x x 2, x 0y f x f 2 x 2, 0 x 22x 5x 8, x 2 y f x g x f x f 2 x b ,所以 y f x g x 恰有 4 个零点等价于方程 f x f 2 x b 0 有 4 个不同的解, 即函数 y b 与函 数 y f x f 2 x 的图象的 4 个公共点,由图象可知 7 b 2 4第 3 页,共 25 页精品资料 欢迎下载 8 6 4 215 10 5510 15 2 4 6 8III 理论基础解题原理 1复合函数定义：设 y f t , t g x ,且函数 g x 的值域为 f t 定义域的子集,那么 y 通过

8、 t 的 联系而得到自变量 x 的函数,称 y 是 x 的复合函数,记为 y f g x 2复合函数函数值运算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的次序,一层层求出函数值 例如：已知 f x 2 x , g x x 2 x,运算 g f 2 【解析】 f 2 2 2 4 , g f 2 g 4 12 3已知函数值求自变量的步骤：如已知函数值求 x 的解,就遵循“由外到内”的次序,一层层拆解直到求 出 x 的值例如：已知 f x 2x , g x x 2 2x ,如 g f x 0 ,求 x 的值,再求对应 x 的 由上例可得,要想求出 g f x 0 的根,就需要先将 f x 视

9、为整体,先求出 f x 解,这种思路也用来解决复合函数零点问题,先回忆零点的定义 4函数的零点：设 f x 的定义域为 D ,如存在 x0 D,使得 f x0 0 ,就称 x x0 为 f x 的一个零 点 5复合函数零点问题的特点：考虑关于 x 的方程 g f x 0 根的个数,在解此类问题时,要分为两层来 分析,第一层是解关于 f x 的方程, 观看有几个 f x 的值使得等式成立； 其次层是结合着第一层 f x 的 值求出每一个 f x 被几个 x 对应,将 x 的个数汇总后即为 g f x 0 的根的个数 IV 题型攻略深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上,通常基本以选择题或填

10、空题的形式显现,一般综合性强,难度大 【技能方法】 求解复合函数 y g f x 零点问题的技巧： 第 4 页,共 25 页精品资料 欢迎下载 f x , g x 的图像 （ 1）此类问题与函数图象结合较为紧密,在处理问题的开头要作出 （ 2）如已知零点个数求参数的范畴,就先估量关于 f x 的方程 g f x 0 中 f x 解的个数,再依据 个数与 f x 的图像特点,支配每个函数值 f i x 被几个 x 所对应,从而确定 fi x 的取值范畴,进而准备 参数的范畴 【易错指导】 1函数零点忽视单调性的存在例如：如函数 fx 在区间 2, 2 上的图象是连续不断的曲线,且 fx 在 2,

11、 2 内有一个零点,就 f 2 f （ 2）的值 A大于 0 B 小于 0 C 等于 0 D 不能确定 解答：如函数 fx 在 2, 2 内有一个零点,该零点可分两种情形： （ 1）该零点是变号零点,就 f 2 f （ 2） 0,因此选 D 易错警示： 警示 1：错误认为该零点是变号零点；警示 2：不知道非变号零点这种情形 方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题,可以依据区间端点处的函数值的正负来确定,但要确定零 点的个数仍需进一步争论函数在区间上的单调性,在给定的区间上,假如函数是单调的,它至多有一个零 点,假如不是单调的,可连续细分出小的单调区间,再结合这些小的区间的端点处函数值的正负,

12、作出正 确判定此题的解答错误在于没有正确懂得函数零点的含义及存在性,事实上,当 fx 在 2, 2 内有一 个零点时, f 2 f （ 2）的符号不能确定 2要留意对于在区间 a , b 上的连续函数 fx ,如 x0 是 fx 的零点,却不愿定有 fa fb0 ,即 fa fb0 仅是 fx 在 a , b 上存在零点的充分条件,而不是必要条件 留意以下几点：中意零点存在性定理的条件的零点可能不唯独； 不中意零点存在性定理条件时,也可能有零点 由函数 y f x 在闭区间 a, b 上有零点不愿定能推出 f a f b 0 ,如以下图所以 上是一个 f a f b 0 是 y f x 在闭区

13、间 a, b 上有零点的充分不必要条件 f x 在区间 a,b 留意：假如函数 f x 在区间 a,b 上的图象是连续不断的曲线,并且函数 单调函数,那么当 f a f b 0 时,函数 f x 在区间 a, b 内有唯独的零点,即存在唯独的 c a,b ,使 f c 0 假如函数 f x 在区间 a, b 上的图象是连续不断的曲线,并且有 f a f b 0 ,那么,函数 f x 在区间 a, b 内不愿定没有零点 假如函数 f x 在区间 a, b 上的图象是连续不断的曲线,那么当函数 f x 在区间 a, b 内有零点时不 第 5 页,共 25 页确定有 f a f b 0 ,也可能有

14、f a 精品资料 欢迎下载 f b 0 V举一反三触类旁通 【例 1】【 2022四川绵阳一诊】 函数 中意 ,且当 时, 如函数 的图象与函数 （ ,且 ）的图象有且仅有 4 个交点,就 的取值集合为（ ） A B C D 【答案】 C【例 2】【2022南宁高三毕业班摸底联考】设函数 是定义在 上的偶函数,且 ,当 时, ,如在区间 内关于 的方程 （ 且 ）有且 只有 4 个不同的根,就实数 的取值范畴是（ ） A B C D 【答案】 D【解析】由题意可得函数 fx 的对称轴为 x=2,周期为 T=4,原方程变形为 , , 所以只需画出 ,两个函数在区间 -2 ,6 的图像,依据图像求

15、 a 的范畴,图像如下, 确定过（ -1 , 0）点,当 时,明显只有一个交点,所以 ,只需要对数从点 B,点 C 下面穿过就有 4 个零点,所以 解得 ,选 D 【点睛】 对于求不同类的两个函数构成的方程, 我们常把方程变形为 fx=gx ,然后依据 y=fx 与 y=gx 的两个图像交点个数来判定原方程根的个数如此题把方程 变形为 ,再画出两个函数的图像,依据两个图像有 4 个交点,求出参数 a 的范畴 第 6 页,共 25 页【例 3】【 2022河南天一大联考】已知函数 精品资料 欢迎下载 如关于 的方程 有 3 个实数根,就实数 的取值范畴是（ ） A B C D 【答案】 D【解析

16、】作图如下： 因此要使方程 有 3 个,实数 的取值范畴是 ,选 D 【名师点睛】对于方程解的个数 或函数零点个数 问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性, 草图确定其中参数范畴从图象的最高点,最低点,分析函数的最值,极值；从图象的对称性,分析函数 的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性,周期性等 【例 4】【2022广西桂林柳州高三综合模拟】已知函数 f x log 3 x,0 x 3 x 4 , x 3 ,如函数 h x f x mx 2 有三个不同的零点,就实数 m 的取值范畴是（ ） A 1,1 B 1 , 21, C 1 , 21, D 1,1 22【答案】 A A（

17、0, 2）,B（3, 1）, C（ 4, 0 ）,就 g（ x）的图象介于直线 ABAC 之间,介kAB m kAC,可得 1 2和 于 第 7 页,共 25 页m 1故答案为： （ 12, 1） 精品资料 欢迎下载 点睛 : 函数 h（ x） =f （ x） mx+2 有三个不同的零点,即为 f （ x） mx+2=0 有三个不同的实根,可令 y=f （ x ）, y=g（ x） =mx 2,分别画出 y=f （ x）和 y=g（x）的图象,通过图象观看,结合斜率公式,即可得到 m 的范f x 2x 2 , x 1,就函数 畴 【例 5】【2022广东珠海一中等六校第一次联考】已知函数 2F

18、 x f f x 2 f x 3的零点个数是（ ） log2 x 1, x 12A 4 B 5 C 6 D 7 【答案】 A 3【解析】解：令 t=f （ x）, F（ x） =0,就 f （ t ） 2t 2=0, t 对应几个 x 【名师点睛】此题关键是找出内外层函数的对应关系,找准一个 【例 6】【2022安徽阜阳临泉一中上学期二模】已知 ,如关于 的方程 恰好有 个不相等的实数根,就实数 的取值范畴是 【答案】 【解析】 , , 当 在 或 时, ,当 时, 上单调递增 上单调递增,在 上单调递减,在 第 8 页,共 25 页可作出 精品资料 欢迎下载 大致函数图象如以下图： 令 ,就

19、当 时,方程 有一解；当 时,方程 有两解； 时,方 程 有三解 关于 的方程 ,恰好有 4 个不相等实数根 关于 的方程 ,解得 在 和 上各有一解 ,故答案为 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范畴常用的方法和思路：直接法：直接依据题设条件构建关于 参数的不等式,再通过解不等式确定参数的范畴；分别参数法：先将参数分别,转化成求函数值域问题 加以解决；数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求 解 【例 7】【2022湖南株洲醴陵其次中学,醴陵第四中学高三上学期两校期中联考】已知函数 f x log 2 x ,0 x 2,如 0 a bc,中意 f （

20、 a） =f （b） =f （c）,就 ab 的范畴为 x 2 2 x , x 2f c 【答案】（1, 2） 0abc ,中意 f af bf c , log 2 a log 2 b ,即 ab 1, f c c 211, 2c 2c 第 9 页,共 25 页1f c 1,故 1 ab f 1精品资料 欢迎下载 2 ,故答案为 1,2 f c c 2【名师点睛】画出函数 f x 的图象,由图象可知有相等时的取值范畴,这里 由 log2 x 的图象和运算得 ab 1 ,可以当作结论,这样三个未知数就只剩下 c ,由反比例即可求出结果 【例 8】【 2022江西宜春丰城九中,高安二中,宜春一中,

21、万载中学,樟树中学,宜丰中学六校联考】已知 函数 f x ln x 1| , f x m 的四个零x1 , x2 , x3 , x4 ,且 k 1111,就 f k ek x1 x2 x3 x4 点 的值是 f 2 x x 1,x 0,把方程 【答案】 e2 【例 9】【2022山西山大附中等晋豫名校第四次调研】已知函数 f x 11,x 0f x x 0 的根按从小到大次序排成一个数列,就该数列的前 n 项和 Sn n n 1 【答案】 n n 1 2【解析】当 0 x 1 时,1 x 1 0 ,有 f x f x 112x 1, 有 f x 112x 2 1当 1 x 2 时,有 0 x

22、11,有 f x 当 2x 3 时,有 1 x 12,有 f x f x 112x 3 2当 3x 4 时,有 2x 13,有 f x f x 112x 3 3依次类推,当 n x n 1 n N 时,就 f x f x 112x n 1 n , 所以 g x f x x 2x n 1 n x ,故 an 2n1,所以通项公式 an n 1 , Sn 2【点睛】此题考查对分段函数的处理方法,分段函数要分段处理,依据分段函数的解析式找出各段函数的 零点,从而得出各个零点与项数的关系,写出数列的通项公式,依据数列是特殊的等差数列,利用等差数 列求和公式,求出数列的前 n 项的和 第 10 页,共

23、25 页精品资料 欢迎下载 lnx 1,x 1, x 如 m 5,x 1, 2 8【例 10】【2022江苏南通如皋第一次联考】已知函数 f x mx 2 2x g x f x m 有三个零点,就实数 m 的取值范畴 R 上的函数 是 【答案】 1, 74【例 11】【2022齐鲁名校教科研协作体山东,湖北部分重点中学第一次调研】已知定义在 f x 2 x ln x x , x 0 ,如函数 g x f x a x 1恰有 2 个零点,就实数 a 的取值范畴是 1 , x 0 【答案】 , 11 ,1 e f x 的位置关系可得当 a, 11,1 时有两 【解析】数形结合,由直线 y a x

24、1 与曲线 y e个交点,即函数 y g x 恰有两个零点 第 11 页,共 25 页精品资料 欢迎下载 【名师点睛】涉及函数的零点问题,方程解的个数问题,函数图像交点个数问题,一般先通过导数争论函 数的单调性,最大值,最小值,变化趋势等,再借助函数的大致图象判定零点,方程根,交点的情形,归 根到底仍是争论函数的性质,如单调性,极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路 【例 12】【 2022江苏淮安盱眙中学第一次学情调研】 已知函数 f x 2 2x m 的图象与函数 g x ln x 的 图象有四个交点,就实数 m 的取值范畴为 m ln 1,令 h10,可得 m1ln2 ,此时函 【答

25、案】 , 1ln2 2数 h x 2 2x m lnx 最小值为 h121222222数 h x 2 2x m lnx 有两个零点,故函数 f x 2 2 x m 的图象与函g x ln x 的图象有四个交 数 点,实数 m 的取值范畴为 , 1ln2 ,故答案为 , 1ln2 22【方法点睛】此题主要考查函数图象的交点,函数的零点,方程的根,属于难题函数图象的交点,函数 的零点,方程的根往往是“知一求二”,解答时要先判定哪个好求解就转化为哪个,判定函数 y f x 零 点个数的常用方法： （ 1） 直接法： 令 f x 0, 就方程实根的个数就是函数零点的个； （ 2） 零点存在性 定理法：

26、判定函数在区间 a, b 上是连续不断的曲线,且 f a f b 0, 再结合函数的图象与性质 如单调 性,奇偶性,周期性,对称性 可确定函数的零点个数； （ 3） 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点 第 12 页,共 25 页精品资料 欢迎下载 个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数,在一个区间上单调的函数在该区间 内至多只有一个零点,在确定函数零点的唯独性时往往要利用函数的单调性,确定函数零点所在区间主要 利用函数零点存在定理,有时可结合函数的图象帮忙解题 【跟踪练习】 8sin2x x 01【 2022辽宁庄河高中,沈阳二十中高三上学期第一次联考】函数 f x

27、1f x 2x 0,就函 数 h x f x log4 x 的零点个数为） 2（ A 2 个 B 3 个 C 4 个 D5 个 【答案】 D【解析】函数的零点中意： f x log4 x ,就原问题等价于考查函数 y log 4 x 与函数 f x 的交点的个 数 f x 1f x 214sin2 x 22sin2 x ；22当 x 3时, 2x 2,据此可得： 2f x 1 2f x 212sin2 x 2sin2 x ；2当 x 5 4时, f 5sin 251 , 44而 log4 5 4log 4 4 1 , 就函数 y log 4 x 与函数 f x 在区间 3 , 2上有 2 个交

28、点, 第 13 页,共 25 页很明显,当 x 3精品资料 欢迎下载 时,函数图象没有交点,绘制函数图象如以下图,观看可得： 2函数 h x f x log4 x 的零点个数5 个 为 【名师点睛】函数零点的求解与判定方法： （ 1）直接求零点：令 f x 0,假如能求出解,就有几个解就有几个零点 （ 2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 a, b 上是连续不断的曲线,且 f a f b 0,仍必 须结合函数的图象与性质 如单调性,奇偶性 才能确定函数有多少个零点 （ 3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不 同的值,就有几个不同的零

29、点 2【 2022江西上饶高三下学期一模】已知 f x 是定义域为 0, 的单调函数,如对任意的 x 0, , 都有 f f x log 1 x 4 ,且方程 f x 33 x 2 6 x 9 x 4 a 在区间 0,3 上有两解,就实数 a 的 3取值范畴是（ B ） C 0 a5D a 5A 0 a5 a 5【答案】 A 即有 log 1 x 3 x 2 6x 9x 4 a 在区间 0,3 上有两解,由 g x 3 x 2 6x 9x 4 a ,可得 3g x 2 3x 12x 9 ,当 1 x 3 时, g x 0 , g x 递减；当 0 x 1g x 0 , g x 时, 第 14

30、页,共 25 页递增 g x 在 x 1 处取得最大精品资料 欢迎下载 a 4 ,分别作出 y log 1 x ,和 a , g0a 4 , g3值 3y 3 x 2 6 x 9 x 4 的图象,可得两图象只有一个交点 1,0 ,将 y 3 x 2 6 x 9x 4 的图象向上平移, 至经过点 3,1 ,有两个交点,由 g 3 即方程两解应选 A 1,即 a 4 1,解得 a 5 ,当 0a 5 时,两图象有两个交点, 3【 201甘肃兰州西北师范高校附属中学一调】如函数 f x x3 e, x 0,就方程 3 f f x e3 0 x e, x 0的根的个数为（ ） x A 1 B 2 C

31、3 D 4 【答案】 C【解析】 【方法点睛】 此题主要考查分段函数的解析式及图象, 函数与方程思想, 数形结合思想的应用, 属于难题 数 第 15 页,共 25 页精品资料 欢迎下载 形结合是依据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法, 是中学数学四种重要的数学思想之一,特殊在解决选择题,填空题是发挥着神奇功效,大大提高明白题能 力与速度运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及娴熟把握函数图象的几种变换充分利用数形结 合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解 4【 2022安徽滁州高三 9 月联合质量检测】已知 f x f 111,0 x 1,如方程

32、 x x, 1 x 0f x ax 2a 0 a 0有唯独解,就实数 a 的取值范畴是 1111 【答案】 1, 3【解析】当 0 x 11 x 1 0 ,所以 f x 1 x 1 f x f 1x x 1时, 如方程 f x ax 2a 0a0有唯独解,即 f x ax 2a ,有唯独解 作出 y f x 和 y ax 2a 的图象,依据题意两函数图象有唯独交点 由图可知： a1 3【名师点睛】依据函数零点求参数取值,也是高考经常涉及的重点问题, （ 1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （ 2）分别参数后转化为函数的值域（最值）问题求解,假如涉及由几个零点时,仍需考虑函数的图象与参

33、数的交点个数； （ 3）转化为两熟识的函数图象的上,下关系问题,从而构建不等式求解 第 16 页,共 25 页5【 2022山西 45校高三第一次联考】已知 精品资料 1欢迎下载 e. 如方程 f x kx e 有且仅有 3 f x x e ,0 x 1, e 1,1 x x 个实数解,就实数 k 的取值范畴是 C e, 1 ee1,观看可知,当位于切线 AB 和割线 AC【答案】 1 1 e , 2 4 e 设 A 0,e ,ABy f x 的切线, B 为切点, 为 之 间时, y kx e 图象与 y f x 的图象有三个交点,设 B x0 , y0 由 11e1 1 2 x ,可得切线

34、 x AB: y 1e 1 10 x ,解得 x 2 ,故 k AB 1,又 k AC e1e1e 2 e,所以当 ex0 2 x0 4e 方程 f x kx e0,e 上有三个实数解,实数 k 的取值范畴为 1 , 1 4 e 2e在 【名师点睛】依据函数零点求参数取值,也是高考经常涉及的重点问题, （ 1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （ 2）分别参数后转化为函数的值域（最值）问题求解,假如涉及由几个零点时,仍需考虑函数的图象与参 数的交点个数； （ 3）转化为两熟识的函数图象的上,下关系问题,从而构建不等式求解 6【 2022齐鲁名校教科研协作体山东,湖北部分重点中学第一次调研

35、】已知 f x 2 x lnx , x 0,如 2x, x 0f x =a 有 4 个根 x1 , x2 , x3, x4 ,就 x1 x2 x3 x4 的取值范畴是 【答案】 0, e 12e第 17 页,共 25 页精品资料 欢迎下载 【解析】 由于 x1 x2 x3 x4 2x3 x4 ,所以 ,故答案为 0, e 12 e7【 2022河郑州一中模拟】已知函数 f x 2 x 2x, x 0 ,如关于 x 的不等式 2x, x 02 x f x 2af x b20 恰有 1 个整数解,就实数 a 的取值范畴是 【答案】 3 a 8【解析】画出 f x 的图象如以下图 当 f x 0 时

36、,得 x 0 或 x 2此时 f x 2af x b20 化为, b20如 b0 ,就此时有两解 x 0 或 x 2 ,违反题意, 故 b0af x 0 恰有一个整数解 此时 f x f x a0如 a 0 ,就关于的不等式 结合图象可知 af 33,可得 3a8af 48第 18 页,共 25 页如 a 0 ,就关于的不等式 0f x 精品资料 欢迎下载 a 恰有一个整数解 结合图象可知 af 11,可得 3 a1f x 2x2 , x 00, 如存在唯独的整 af 13综上, 3a1 或 3 a 8 8【 2022江苏南京高三数学上学期期初学情调研】已知函数 3 x 13, x 数 x,使

37、得 f x a0 成立,就实数 a 的取值范畴为 x 【答案】 0 , 2 3 , 8 中意 f x a 0 符合题意, 当 a 8 时,至少存在两点 1, f 1 , 2, f 2中意 f x a 0 不合 x 0 x 0题意,故答案为 0,2 3,8 【名师点睛】对于方程解的个数 或函数零点个数 问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性, 草图确定其中参数范畴从图象的最高点,最低点,分析函数的最值,极值；从图象的对称性,分析函数 的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性,周期性等 9【 2022浙江温州一模】 已知函数 就 的取值范畴为 【答案】 有六个不同零点, 且全部零点之和

38、为 3, 第 19 页,共 25 页单调递增, 且取值范畴是 ,当 精品资料 欢迎下载 ,考虑到 是 时,函数 的导函数 上的单调递增函数,且 ,于是 在 上有唯独零点,记为 , 进而函数 在 上单调递减,在 上单调递增,在 处取得微小值 ,如图： 接下来问题的关键是判定 与 的大小关系,留意到, ,函数 ,在 上与直线 有 个公共点, 的取值范畴是 ,故答案为 10【 2022湖南永州高三上学期一模】 定义函数 h x f x , x a, f x x , g x 2 x 2x 4 , gx , x a如存在实数 b 使得方程 h x b 0 无实数根,就实数 a 的取值范畴是 【答案】 ,

39、 54, 第 20 页,共 25 页精品资料 欢迎下载 【解析】 11【 2022河北石家庄二中八月高三模拟】已知 f x x 2 x 2, x a,如函数 g x f lnx 1a 有 2, x ax 零点,就实数 a 的取值范畴是 【答案】 1,2 3, 综上可得： 1a 2 或 a3故答案为： 1,2 3, 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范畴常用的方法和思路 （ 1）直接法：直接依据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范畴； （ 2）分别参数法：先将参数分别,转化成求函数值域问题加以解决； （ 3）数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,

40、然后数形结合求解 12【 2022广东茂名高三五大联盟学校 9 月份联考】如函数 至少有 3 个零点,就实 数 的取值范畴是 【答案】 第 21 页,共 25 页精品资料 欢迎下载 【解析】 由 可得 ,就问题转化为函数 的图像有至 少三个交点, 结合图像可以看出当 时,即 时中意题设, 应填答案 【名师点睛】此题的求解过程表达了数形结合的数学思想的神奇运用,求解时先在同一平面直角坐标系中 画出两个函数的图像, 进而借助图像的直观建立不等式 出参数的取值范畴 ,进而通过解不等式求 13【 2022山东齐河晏婴学校一模】已知 f x ex 1,又 g x 2 f x tf x t R,如中意 g x 1 的 x 有三个,就 t 的取值范畴是 【答案】 2, 【解析】由题意作函数 f x ex 1