复变函数与积分变换重要知识点归纳2

1、复变函数复习重点一复数的概念1.复数的概念：zxiy ,x y 是实数 , xRez,yImz .i21. . 注：一般两个复数不比较大小,但其模（为实数）有大小2.复数的表示1）模：z x 2 y ；2）幅角 ：在 z 0 时,矢量与 x轴正向的夹角,记为 Arg z （多值函数）；主值arg z 是位于 , 中的幅角；3） arg z 与 arctan y x之间的关系如下：当 x 0, arg z arctan y x；y 0,arg z arctan y当 x 0, x；yy 0,arg z arctanx4）三角表示 ：z z cos i sin,其中 arg z ；注：中间肯定是“

2、+ ”号；5）指数表示 ：zz e ,其中arg z；二 复数的运算1.加减法 ：如z 1x 1iy 1,z 2x 2iy ,就z 1z 2x 1x 2i y 1y 22.乘除法 ：1）如z 1x 1iy z 2x 2iy ,就x x 1 2y y 1 2iy x 1 2y x 2 1；i x y 2 1x y ；z z 1 2x x 1 2y y 1 2z 1x 1iy 1x 1iy 1x 2iy2z 2z 1x 2iy2x 2iy2x 2iy22 x 22 y 22 x 22 y 22）如i z e1,z 2z e , 就z z 1 2i z z e 1 212；z 1z 1i e12z

3、2z 23.乘幂与方根1）z如zzcoskisin z e ,就znzncosnisinnn in z e；2）如zzcosisin z e ,就k0,1,2n1（有 n个相异的值）1cos2 n2knzisinnn（三）复变函数1复变函数：w f z ,在几何上可以看作把 z平面上的一个点集D变到 w平面上的一个点集 G 的映射 .2复初等函数1）指数函数 ：e ze xcos y i sin y ,在 z 平面到处可导,到处解析；且 e z e ；注：e 是以 2 i 为周期的周期函数； （留意与实函数不同）3）对数函数 ：Lnz ln z i arg z 2 k k 0, 1, 2 （多

4、值函数） ；主值 ：ln z ln z i arg z ；（单值函数）Lnz 的每一个主值分支 ln z 在除去原点及负实轴的 z平面内到处解析,且 lnz 1z；注：负复数也有对数存在；（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：b abLna ea0；b zbLnz ez01；注：在除去原点及负实轴的z平面内到处解析,且b zcosb bz4）三角函数 ：sinziz eeiz,cosziz eeiz, tgzsinz,ctgzz2 i2coszsinzsin ,cosz 在 z 平面内解析,且sinzcos , coszsinz注：有界性sinz1, cosz1不再成立；（与实函数不同）4）双曲函

5、数shzezez,chzz e2ez；2shz 奇 函 数 , c h z是 偶 函 数 ；s h zc h zc h z；s h z（四）解析函数的概念1复变函数的导数s h z c h z 在 z 平 面 内 解 析 , 且1）点可导 ：f z = lim z 0 f z 0 zz f z 0；2）区域可导 ：f z 在区域内点点可导；2解析函数的概念1）点解析：fz 在0z 及其0z 的邻域内可导,称ffz 在0z 点解析；2）区域解析：fz 在区域内每一点解析,称z 在区域内解析；3）如f z 在0z点不解析,称0z为 fz 的奇点 ；3解析函数的运算法就：解析函数的和、差、积、商（除

6、分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1函数可导 的充要条件 ：f z u x y iv x y 在 z x iy 可导u x y 和 v x y 在 ,x y 可 微 , 且 在 ,x y 处 满 足C D 条 件 ：u v u v,x y y x此时,有 f z ux i vx；2函数解析的充要条件：f z u x y iv x y 在区域内解析u x y 和 v x y 在 ,x y 在 D 内 可 微 , 且 满 足 C D 条 件 ：uv,uv x；就u x y,v x yxyy此时fzu xiv x；留意： 如u x y,v x

7、y 在区域 D 具有一阶连续偏导数,在区域D内是可微的；因此在使用充要条件证明时,只要能说明u v 具有一阶连续偏导且满意CR 条件时,函数f z uiv 肯定是可导或解析的；3函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义,如其次章习题 1）2）利用充要条件（函数以 f z u x y iv x y 形式给出,如其次章习题 2）3）利用可导或解析函数的四就运算定理；（函数fz 是以 z的形式给出,如其次章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质1复变函数积分的概念：cfz dzlim nn1fkz , c是光滑曲线；k注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分；2复变函数积分的性质c 2f

8、z dz；1）cfz dzc1fz dz（c 与 c的方向相反） ；2）cfzg z dzcfz dzcg z dz ,是常数；3） 如曲线 c由1c 与2c 连接而成,就cfz dzc 1fz dz3复变函数积分的一般运算法1）化为线积分：cfz dzcudxvdyicvdxudy ；（常用于理论证明）2）参数方法：设曲线c：zz tzt,其中对应曲线c的起点,对应曲线 c的终点,就cfd zfz t z；d t（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1柯西古萨基本定理：设fz 在单连域 B 内解析,c为 B内任一闭曲线,就fz dz0c2复合闭路定理 ：设f z 在多连域 D 内解析, c为

9、 D 内任意一条简洁闭曲线,c c 2 , c 是 c内的简洁闭曲线,它们互不包含互不相交,并且以 c c 2 , c 为边界的区域全含于 D 内,就n f z dz f z dz , 其中 c与 kc 均取正向；c k 1 c k f z dz 0,其中 由 c及 c 1 k 1,2, n 所组成的复合闭路；3闭路变形原理： 一个在区域 D 内的解析函数 f z 沿闭曲线 c的积分,不因 c在 D 内作连续变形而转变它的值,只要在变形过程中 c不经过使 f z 不解析的奇点；4解析函数沿非闭曲线的积分： 设f z 在单连域 B 内解析, G zz 2为f z 在 B 内的一个原函数, 就 z

10、 1 f z dz G z 2 G z 1 z z 2 B 说明：解析函数 f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关,运算时只要求出原函数即可；5； 柯西积分公式 ：设fz 在区域D 内解析,c 为 D 内任一正向简单 闭 曲 线 , c 的 内 部 完 全 属 于D,cfz dz z 02ifz 0z0z为 c内 任 意 一 点 , 就6高阶导数公式 ： 解析函数fz 的导数仍为解析函数,它的n阶导数为fz1dz2ifnz 0 n1,2czz 0n n .其中 c 为fz 的解析区域D 内环绕0z的任何一条正向简洁闭曲线,而且它的内部完全属于D ；7重要结论 ：cz1n1dz2i,n0；（ c

11、 是包含a的任意正向简洁闭曲线）a 0,n08复变函数积分的运算方法1）如fz 在区域 D 内到处不解析,用一般积分法cfz dz0cfz dzf z tz t dt2）设fz 在区域 D 内解析,c是D 内一条正向简洁闭曲线,就由柯西古萨定理,c是 D 内的一条非闭曲线,z z 对应曲线 c的起点和终点,就有cfz dzz 2fz dzF z 2F z 1f z 在 c内解析）ic 内只有一个奇z 13）设fz 在区域 D 内不解析曲线c内仅有一个奇点：cfz z 0dz12i fz 0fnz0（zczfzdz2iz 0nn .曲线 c内有多于一个奇点：cfz dzn1c kfz dz（k点

12、kz ）或：fz dz2inRe s f z z （留数基本定理）ck1如被积函数不能表示成zfz1,就须改用第五章留数定理来计z on 算；（八）解析函数与调和函数的关系1调和函数 的概念： 如二元实函数2 2且满意x 2 y 2 0, , x y 为 D 内的调和函数；2解析函数与调和函数的关系 , x y 在 D 内有二阶连续偏导数解析函数fzuiv 的实部 u 与虚部 v都是调和函数,并称虚部v为实部u的共轭调和函数；两个调和函数 u与 v构成的函数 f z u iv 不肯定是解析函数；但是如 u v 假如满意柯西黎曼方程,就 u iv 肯定是解析函数；3已知解析函数 f z 的实部或

13、虚部, 求解析函数 f z u iv 的方法；1）偏微分法 ：如已知实部 u u x y ,利用 C R 条件,得 vx , vy；对 vy ux两边积分,得 v ux dy g x（*）再对（ *）式两边对 x求偏导,得 vx x udyx g x（*）由C R 条件,uy vx,得 uy x udyx g x,可求出 g x ；代入（ *）式,可求得 虚部 v udy g x；x2 ） 线 积 分 法 ： 如 已 知 实 部 u u , x y, 利 用 C R 条 件 可 得v v u udv dx dy dx dy,x y y x故虚部为vx y0udxudyc；x 0,yyx由于该积

14、分与路径无关,可选取简洁路径（如折线）运算它,其中 x 0 , y 与 ,x y 是解析区域中的两点；3） 不定积分法 ：如已知实部 u u x y ,依据解析函数的导数公式和C R 条件得知,u v u uf z i ix y x y将此式右端表示成 z 的函数 U z ,由于 f z 仍为解析函数,故f z U z dz c（ c为实常数）注：如已知虚部 v也可用类似方法求出实部 .u（九）复数项级数1复数列的极限1）复数列na nib （n1,2）收敛于复数abi 的充要条件为2）复数列lim na na,lim nb nb（同时成立）a n,b 同时收敛；n 收敛实数列 2复数项级数1

15、）复数项级数n0nna nibn收敛的充要条件是级数n0a 与n0b 同时收敛；2）级数收敛的必要条件是lim nn0；注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的争论；（十）幂级数的敛散性1幂级数的概念 ：表达式n0cnzz 0n或n0c z 为幂级数；2幂级数的敛散性1）幂级数的收敛定理阿贝尔定理 Abel：假如幂级数n0c z 在z 00处收敛,那么对满意zz 的一切 z,该级数肯定收敛；假如在0z 处发散,那么对满意zz 的一切 z,级数必发散；2）幂级数的收敛域圆域幂级数在收敛圆域内,肯定收敛；圆周上可能收敛；也可能发散；在圆域外, 发散； 在收敛圆的3）收敛半径的求

16、法：收敛圆的半径称收敛半径；n0c z ）比值法假如lim nc n10,就收敛半径R1；c n根值法lim nc n0,就收敛半径R1；假如0,就 R；说明在整个复平面上到处收敛；假如,就R0；说明仅在zz 或z0点收敛；注：如幂级数有缺项时, 不能直接套用公式求收敛半径； （如3幂级数 的性质1） 代 数 性 质 ： 设na z nn,0b z 的 收 敛 半 径 分 别 为R 与R , 记0nRminR R ,b zn（线性运算）就当 zR时,有anb nzna znn0n0n0a b 0 nzn（乘积运算）a z nnb z nna b n 0a n1 1 bn0n0n02）复合性质

17、：设当 r 时,f a n n,当z R时,g z 解析n 0且g z r ,就当z R时,f g z a g z ；nn 03）分析运算性质 ：设幂级数 a z 的收敛半径为 R 0,就n 0其和函数 f z a z 是收敛圆内的解析函数；n 0在收敛圆 内可 逐项求导,收 敛半径不 变； 且 f z na z n n 1n 0z R在收敛圆内可逐项求积,收敛半径不变；0 zf z dzn 0 n a n1 z n 1z R（十一） 幂函数的泰勒绽开1. 泰勒绽开：设函数 f z 在圆域 z z 0 R内解析,就在此圆域内 f znf z 0 n可以绽开成幂级数 f z z z 0；并且此绽

18、开式是唯独的；n 0 n .注：如 f z 在 0z解析,就 f z 在 0z的泰勒绽开式成立的圆域的收敛半径 R z 0 a ；其中R 为从 0z到 f z 的距 0z最近一个奇点 a之间的距离；2常用函数在 z 0 0 的泰勒绽开式2 3 n1）e z 1 z n1 z z z z zn 0 n . 2. 3. n .2）1z n1 z z 2z nz 11 z n 03）sinzn0n 12 zn1z3 z5 zn 1z2 n1zz2n1.3.5.2n1.4）coszn012 zn 1z2n4 zn 1z2 n2 .2.4.2 .3解析函数绽开成泰勒级数的方法1）直接法：直接求出cn1f

19、nz 0,于是fzn0c nzz 0n；n.2）间接法：利用已知函数的泰勒绽开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数绽开；（十二）幂函数的洛朗绽开1. 洛朗级数 的概念：ncnzz 0n,含正幂项和负幂项；2洛朗绽开定理：设函数fz 在圆环域R 1zz 0R 内到处解析,c为圆环域内绕0z 的任意一条正向简洁闭曲线,就在此在圆环域内,有fzncnzz 0n,且绽开式唯独；3解析函数的洛朗绽开法：洛朗级数一般只能用间接法绽开；*4利用洛朗级数求围线积分：设 f z 在 r z z 0 R内解析,c为r z z 0 R内的任何一条正向简洁闭曲线,就 cf z dz 2 ic

20、 ；其中c 为 f z 在 r z z 0 R内洛朗绽开式中z 1z的系数；说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗绽开式中 z z 0 1 的系数；（十三）孤立奇点的概念与分类1； 孤立奇点的定义：fz 在0z点不解析 ,但在0z的0zz 0内解析；2；孤立奇点的类型：1 ） 可 去 奇 点 ： 展 开 式 中 不 含 z z 0 的 负 幂 项 ；2f z c 0 c 1 z z 0 c 2 z z 02）极点 ：绽开式中含有限项 z z 的负幂项；f z z cz m0 m z c z m0 1m 1 z c 1z 0 c 0 c z z 0 c 2 z z 0 2 z g zz 0 m

21、,其中 g z c m c m 1 z z 0 c 1 z z 0 m 1 c 0 z z 0 m 在 0z解析,且 g z 0 0, m 1, c m 0；3）本性奇点 ：绽开式中含无穷多项 z z 的负幂项；f z c mm c 1 c 0 c 1 z z 0 c m z z 0 m z z 0 z z 0 （十四） 孤立奇点的判别方法1可去奇点：lim z zf 0zc 常数；2极点：lim z zf 0zz 不存在且不为3本性奇点：lim z zf 04零点与极点的关系1） 零 点 的 概 念 ： 不 恒 为 零 的 解 析 函 数ffzzz 0mz ,z , 如 果 能 表 示 成其

22、中z 在0z 解析,z 00,m为正整数,称0z 为 fz 的 m 级零点；2）零点级数判别的充要条件0z是 fz 的 m级零点fnz 00,n1,2,m11 f z的 m 级极点；fmz 003）零点与极点的关系：0z是 fz 的 m级零点0z是4）重要结论如za分别是z 与z 的 m级与 n 级零点,就m n , za是zz 的 mn级零点；当 mn 时, za是z z的 mn级零点；当 mn 时, za是z z的 nm级极点；当 mn 时, za是z z的可去奇点；当 mn 时, za是zz 的 l 级零点,lminlm n 当mn 时, za是zz 的 l 级零点,其中（十五）留数的概

23、念1 留数 的定义： 设 0z 为 f z 的孤立奇点,f z 在 0z 的去心邻域0 z z 0 内解析, c为该域内包含 0z的任一正向简洁闭曲线,就称积 分2 1i cf z d z 为 f z 在 0z 的 留 数 （ 或 残 留 ）, 记 作1Re s f z , z 0 2 i cf z dz2留数的运算方法如0z是 fz 的孤立奇点, 就Re s fz,z 0c ,其中c 为 fz 在00z的去心邻域内洛朗绽开式中zz 01的系数；1）可去奇点处的留数：如0z是 fz 的可去奇点,就Re s fz,z 02） m级极点处的留数法就 I如0z 是 fz 的 m 级极点 ,就Re s

24、 fz,z 0lim z z 0zz 0fzRe s fz,z 0m11.lim z z 0dm1zz 0m fzm dz1特殊地,如0z 是 fz 的一级极点,就注： 假如极点的实际级数比m低,上述规章仍旧有效；法就 II 设fz0,P z Q z,P z Q z 在0z 解析,P z 00,Q z 0Qz 00,就Re P z,z 0P z 0Q zQz 0（十六） 留数基本定理为f设fz 在区域 D 内除有限个孤立奇点z z 2,z 外到处解析,cD 内 包 围 诸 奇 点 的 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线 , 就cz dz2iRe s fz,z nn1说明： 留数定理把求沿简洁闭曲线积分的整体问题转化为求被积 函数 f z 在 c内各孤立奇点处留数的局部问题；积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念F f t f t ej wtdtejF w f t F1F1Ftd2二、几个 常用函数的傅里叶变换F e t 1jF