复习高等数黄金整理要点

1、高数,线代期末复习要点 致： 奔奖学金的,夺高分的,求过的；瞄上一眼,确定醍醐灌顶,恍 然大悟！ 说的是方法 讲的是效率 要的是结果 第一章： 1,极限（夹逼准就） 2,连续（学会用定义证明一个函数连续,判定间断点类型） 其次章： 1,导数（学会用定义证明一个函数是否可导） 可 注：连续不愿定可导, 导确定连续 2,求导法就（背） 3,求导公式 也可以是微分公式 第三章： 1,微分中值定理（确定要熟识并灵敏运用 2,洛必达法就 -第一节） 3,泰勒公式 拉格朗日中值定理 4,曲线凹凸性,极值（高中学过,不需要过多复习） 5,曲率公式 曲率半径 第四章,第五章：积分 不定积分： 1,两类换元法（

2、 变 dx/变前面 ） 2,分部积分法 （留意加 C ） （最好都自己推导一遍,好记） 定积分： 1,定义 2,反常积分 第六章： 定积分的应用 主要有几类：极坐标,求做功,求面积,求体积,求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1,方向余弦 3,空间平面 2,向量积 3,空间直线（两直线的夹角,线面夹角,求直线方程） 4,空间旋转面（柱面） 高数解题技巧； （高等数学,考研数学通用） 高数解题的四种思维定势 第一句话：在题设条件中给出一个函数 fx 二阶和二阶以上可导, “不管三七二 十一 ”,把 fx 在指定点展成泰勒公式再说； 其次句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时,就 “不管三七

3、二十一 ” 先用积分中值定理对该积分式处理一下再说； 第三句话：在题设条件中函数 fx 在a,b上连续,在 a,b内可导,且 fa=0 或 fb=0 或 fafb=0,就 “不管三七二十一 ”先用拉格朗日中值定理处理一下再第 1 页,共 10 页说； 第四句话： 对定限或变限积分, 如被积函数或其主要部分为复合函数, 就 “不管 三七二十一 ”先做变量替换使之成为简洁形式 fu 再说； 线性代数解题的八种思维定势 第一句话：题设条件与代数余子式 Aij 或 A* 有关,就马上联想到用行列式按行 列开放定理以及 AA*=A*A=|A|E ； 其次句话：如涉及到 A,B 是否可交换,即 AB BA

4、 ,就马上联想到用逆矩阵 的定义去分析； 第三句话：如题设 aA+bE 再说； n 阶方阵 A 中意 fA=0 ,要证 aA+bE 可逆,就先分解因子 第四句话：如要证明一组向量 1, 2, , 性S无关,先考虑用定义再说； 第五句话：如已知 AB 0,就将 B 的每列作为 Ax=0 的解来处理 第六句话：如由题设条件要求确定参数的取值,联想到是否有某行列式为零再 说； 第七句话：如已知 A 的特点向量 0,就先用定义 A0 0处0理一下再说； 第八句话：如要证明抽象 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵,就用定义处理一下再 说； 概率解题的九种思维定势 第一句话：假如要求的是如干大事中 “至少

5、”有一个发生的概率,就马上联想到 概率加法公式；当大事组相互独立时,用对立大事的概率公式 其次句话：如给出的试验可分解成（ 到 Bernoulli 试验,及其概率运算公式 01）的 n 重独立重复试验,就马上联想 第三句话：如某大事是相伴着一个完备大事组的发生而发生,就马上联想到该 大事的发生概率是用全概率公式运算；关键：查找完备大事组 第四句话： 如题设中给出随机变量 有关问题； X N 就马上联想到标准化 N0,1来处理 第五句话：求二维随机变量（ X,Y）的边缘分布密度 的问题,应当马上联想 到先画出访联合分布密度的区域,然后定出 X 的变化区间,再在该区间内画一 条/y 轴的直线, 先

6、与区域边界相交的为 y 的下限,后者为上限, 而 的求法类似； 第六句话：欲求二维随机变量（ X, Y）中意条件 Y gX或Y gX的概率, 应当马上联想到二重积分的运算,其积分域 Y gX或 YgX的区域的公共部分； D 是由联合密度 的平面区域及中意 第 2 页,共 10 页第七句话：涉及 n 次试验某大事发生的次数 到对 X 作（ 01）分解；即令 X 的数字特点的问题,马上要联想 第八句话：凡求解各概率分布已知的如干个独立随机变量组成的系统中意某种 关系的概率 （或已知概率求随机变量个数） 处理； 的问题, 马上联想到用中心极限定理 第九句话：如 为总体 X 的一组简洁随机样本,就凡是

7、涉及到统计量 题,一般联想到用卡方分布, t 分布和 F 分布的定义进行争辩 的分布问 线性代数全部必懂学问点全部如下： 第一部分：基本要求（运算方面） 四阶行列式的运算； N 阶特别行列式的运算（如有行和,列和相等）； 矩阵的运算（包括加,减,数乘,乘法,转置,逆等的混合运算）； 求矩阵的秩,逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情形的争辩； 齐次,非齐次线性方程组的求解（包括唯独,无穷多解）； 争辩一个向量能否用和向量组线性表示； 争辩或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组,并将余外向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化,单位化； 求方阵的特点值和特点向量； 争辩方

8、阵能否对角化,如能,要能写出相像变换的矩阵及对角阵； 通过正交相像变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性； 第 3 页,共 10 页其次部分：基本学问 一,行列式 1行列式的定义 用 n2 个元素 aij 组成的记号称为 n 阶行列式； （1）它表示全部可能的取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和； （2）开放式共有 n.项,其中符号正负各半； 2行列式的运算 一阶 | |=行列式,二,三阶行列式有对角线法 就； N 阶（ n=3）行列式的运算：降阶法 定理： n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对

9、应的代数余子 式乘积的和； 方法：选取比较简洁的一行（列）,保保留一个非零元素,其余元素化为 0, 利用定理开放降阶； 特别情形 上,下三角形行列式,对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （ 2）行列式值为 0 的几种情形： 行列式某行（列）元素全为 0； 行列式某行（列）的对应元素相同； 行列式某行（列）的元素对应成比例； 奇数阶的反对称行列式； 二矩阵 1矩阵的基本概念（表示符号,一些特别矩阵 矩阵等）； 2矩阵的运算 （ 1）加减,数乘,乘法运算的条件,结果； 如单位矩阵,对角,对称 第 4 页,共 10 页（ 2）关于乘法的几个结论： 矩阵乘法一般不中意交换律（如 AB BA ,

10、称 A,B 是可交换矩阵）； 矩阵乘法一般不中意消去律,零因式不存在； 如 A,B 为同阶方阵,就 |AB|=|A|*|B| ； |kA|=kn|A| 3矩阵的秩 （ 1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （ 2）秩的求法 一般不用定义求,而用下面结论： 矩阵的初等变换不转变矩阵的秩； 阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数 （每行的第 一个非零元所在列,从今元开头往下全为 0 的矩阵称为行阶梯阵）； 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩； 4逆矩阵 （1）定义： A ,B 为 n 阶方阵,如 ABBAI,称 A 可逆, B 是 A 的逆矩阵 （中意半边也成立）； （2）性质： AB-1=B-

11、1*A-1 的（留意次序） （3）可逆的条件： |A| ；0 rA=n; A-I; （ 4）逆的求解 ,A-1=A-1 ；A B 的逆矩阵,你懂 相伴矩阵法 A-1=1/|A|A* ；A* A 的相伴矩阵 初等变换法（ A:I） -施行初等变换 （ I:A-1 ） 5用逆矩阵求解矩阵方程： AX=B ,就 X=（ A-1 ） B； XB=A ,就 X=BA-1 ； AXB=C ,就 X=A-1CB-1 第 5 页,共 10 页三,线性方程组 1线性方程组解的判定 定理： 1 rA,b r无A解；2 rA,b=rA=n 有唯独解； 3rA,b=rAn 有无穷多组解； 特别地：对齐次线性方程组 A

12、X=0 1 rA=n 只有零解； 2 rAn 有非零解； 再特别,如为方阵, 1|A| 0只有零 解 2|A|=0 有非零解 2齐次线性方程组 （ 1）解的情形： rA=n ,（或系数行列式 D0）只有零解； rAn ,（或系数行列式 D0）有无穷多组非零解； （ 2）解的结构： X=c11+c22+ +C-nr -nr；（ 3）求解的方法和步骤： 将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； 写出对应同解方程组； 移项,利用自由未知数表示全部未知数； 表示出基础解系； 写出通解； 第 6 页,共 10 页3非齐次线性方程组 （ 1）解的情形： 利用判定定理； （ 2）解的结构： X=u+c11+

13、c22+ +C-nr n-r；（ 3）无穷多组解的求解方法和步骤： 与齐次线性方程组相同； （ 4）唯独解的解法： 有克莱姆法就,逆矩阵法,消元法（初等变换法）； 四,向量组 1N 维向量的定义 注：向量实际上就是特别的矩阵（行矩阵和列矩阵）； 2向量的运算： （1）加减,数乘运算（与矩阵运算相同）； （2）向量内积 =a1b1+a2b2+ +an；bn（ 3）向量长度 | |= =a12+a22+ +根 an号 2 （ 4）向量单位化 1/| ；| （ 5）向量组的正交化（施密特方法） 设 1, 2, ,n线性无关,就 1=,1 2=-（22 1/ ）1* 1, 3=-（33 1/ ）1*1

14、-1（3 2/ ）2*2,2 ； 3线性组合 第 7 页,共 10 页（ 1）定义 如 =k11+k2 2+ +kn,就n称 是向量组 1, ,n的一 个线性组合,或称 可以用向量组 1, ,2 2, n的一个线性表示； （ 2）判别方法 将向量组合成矩阵,记 A 1, 2, , n, B=1,2, , n, 如 r A=r B ,就 可以用向量组 1, ,n的一个线性表示； 如 r A r B,就 不行以用向量组 1, 2, ,n的一个线性表示； （ 3）求线性表示表达式的方法： 将矩阵 B 施行行初等变换化为最简阶梯阵,就最终一列元素就是表示的系数； 4向量组的线性相关性 （ 1）线性相关

15、与线性无关的定义 设 k11+k22+ +knn,=0 如 k1,k2, ,kn 不全为 0,称线性相关； 如 k1,k2, ,kn 全为 0,称线性无关； （ 2）判别方法： r ,12 , ,nn,线性相关； r ,1 ,n=n,线性无关； 如有 n 个 n 维向量,可用行列式判别： n阶行列式 aij0,线性相关（ 0无关） 行列式太不好打了 5极大无关组与向量组的秩 （ 1）定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩 （ 2）求法 设 A 1, 2, ,n, 将 A 化为阶梯阵,就 A 的秩即为向量组 的秩,而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组； 五,矩阵的特点值和特点向

16、量 1定义 对方阵 A,如存在非零向量 X 和数 使 AX X,就称 是矩阵 A 特点值,向量 X 称为矩阵 A 的对应于特点值 的特点向 量； 第 8 页,共 10 页2特点值和特点向量的求解： 求出特点方程 | -AI|=0 的根即为特点值,将特点值 代入对应齐次线性方程 -IAX 0中求出方程组的全部非零解即为特点向量； 组 3重要结论： （ 1） A 可逆的充要条件是 A 的特点值不等于 0； （ 2） A 与 A 的转置矩阵 A 有相同的特点值； （ 3）不同特点值对应的特点向量线性无关； 4.留意求解所在数域！复数域时 “ c,1 c2.（或 k1,k2.）是不同时 为零的复数 ”！ 六,矩阵的相像 1定义 对同阶方阵 A,B,如存在可逆矩阵 P,使 P-1AP=B,就称 A 与 B 相 似； 2求 A 与对角矩阵相像的方法与步骤（求 P 和）： 求出全部特点值； 求出全部特点向量； 如所得线性无关特点向量个数与矩阵阶数相同,就 A 可对角化（否就不能对角 化）,将这 n 个线性无关特点向量组成矩阵即为相像变换的矩阵 P,依次将对应 特点值构成对角阵即为； 3求通过正交变换 Q 与实对称矩阵 A 相像的对角阵： 方法与步骤和一般矩阵相同,只是第三歩要将所得特点向量正交化且单位化； 七,二次型 n1定义