对角互补模型+培优练习

1、对角互补+角平分线模型已知，四边形 ABCD, ZB+ZD=180, A评分二 BCD结论二AB=AD结论二的证明有三种方法1四点共圆2双垂法3旋补法其中双垂法是一种通法，有些变型题，其他俩种方法不好解决，但双垂法百试不爽。下面 ,我 介绍双垂法和旋补法。方法一：双垂法A证明：分别过 A作CD和CB得垂线AM和ANZAC 平分二 BCD ZAM=ANB+ZD=180ABN=ZDABNZZADMAB=AD方法二：旋补法证明：延长CD到E,作等腰二ACEC AC=AE, ZAEC=ZACE=ZACB 又口 ZB+rD=180二 B 二匚 ADE匚二 ABCZZADE匚 AB=AD其实匚二B-二D=

2、180 。二AC平分二BCD二AB=AD只要给出其中任意俩个条件，必泄能推 出第三个， 大家可以自己用双垂法试试。已知，四边形 ABCD,匚B+二D=180。，AC平分匚BCD结论二 BC+CD=2ACcose证明：过A作AFZCD由结论匚可知：二 ACE为等腰三角形，且 BC=DE匚 BC+CD=CE=2CF又二 CF=ACcos9二 BC+CD=2CF=2ACcos0已知，四边形 ABCD, ZB+ZD=180, A评分二BCD结论二四边形 ABCD的面积二等腰三角形 ACE 的面积=AC 2sin0cose?黄丝绿，把黄割补到绿的位置?四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积VACE

3、 的面积二 AF*CF(其中 AF=ACsin0,CF=ACcos0)?四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积=AC 2sinecosG特别地，当二 BCD=120 时，BC+CD=2ACcos60 =AC四边形ABCD而积=正三角形ACE面积=AC特别地，当二 BCD=90 时，BC+CD=2ACcos45四边形ABCD而积=等腰直角三角形 ACE而积对角互补专题探究（一）基本图形：如图1,在四边形FBDE中，：lEQF+r EF=18，转ZFBE得至U ZHBI,求证：、FBHs HEBI;如图2,在四边形FEDE中，二EDF+二EBF=8$,连接BD, ZDBE=ZCBF,若HBC

4、D为等边 三角形，探究：线段 DE、DF、肋之间的数量关系 如图 3,在四边形 FBDE 中，二 EDF+C BF=18Q ,连接 BD. ZDBE=ZCBF,若 BD DC 上 DCB=32 探究：线段DE、df、肋之间的数量关系 :例 L 已知直角梯形.4BCD.1DZBC, ZJ=90 EBF=H当.1D:J5=1 : V3,ZC=6O 时，如图 1 所示，求证：DE+DF =BC;.当.Wl 8=1:1XC=45 时，如图2所示，则线段DE、DF、BC之间的数量关系F胚若AF与BE交于点N,当.在的条件，如图3所示，若AB=2时，3BVQMC,连接AT、二密Af=45 。时，求线段NF

5、的长度.变式训练:.已知直角梯形 ABCD, AD二BC吕二i=9g二C=6FJDH二BC于HJP为BC上一点，作二 PF=60 角的两边分别交于 E,交CD于F.如图1 ,当点P在点E处时，求证：2 AE+CF=2CH-？如图2,当点P在点H处时，线段J CF、CH的数量关系为 ;.在(2)的条件下，连接FB、EEFB与FH交于点K、若AB=2羽廿=何，求线段区的长度.已知平行四边形 ABCD二C=60。，点E、F分别为加)、CQ上两点二 EBF=H.如图1,当AB=BC时，求证：CF+AE=BC;2).如图2,当.1B=-BC时，线段：CF4E、EC三者之间有何数量关系 在的条件下如图3,

6、若血=6琏接EC与脖 交于胚当二为等边三角形时，求线段例2.已知：二ABC中，匚 CB=900，二5二30。，点P为边.15上的一点，匚EPF=9gPF与边FC交于点、FfE与边BC交于点E设AP.PB二k如图1,当二，时，贝：AF+3BE(2)?如图2,当1时，线段JF、BE. AB的数量关系为 :.在的条件下，如图3,连接CPNF交于点K,将FP沿着对称，对称后与 CP交于点 连接血，若JC=3,当 MEZFP 时，求 tanZCEM 的值.APB变式训练:此角的两边与/C边交1.等边二ABC中，BH为4c边上的高，点P为JB边中点，匚 于点、F,与高BH交于点E.(1)如图 1,求 uE

7、:FH+yi3BE=-.lB;2(2)如图2,则线段阳、BE. AB之间满足的关系式为 : 如图3,在(2)的条件下，连接EF直线EF与EC交于点N,将FV沿着FP对称，对称 后与肿交 于点胚若，C=4朽J胚时，求长度.对角互补专题探究（二）.直线m/7i,点/、B分别在直线加、n上，且点/在点E的右侧.点P在直线加上，出迁-拐连接BP、以PB为一边在PB右侧作等边 BP藤接2C.过点P作加，于点D.当点P在/的右侧时（如图1）,求证：BDAAC（2）当点P在/的左侧时（如图2）,线段加与2c之间的数量关系为 .在的条件下，设 PD交肋于点M PC交血于点M （如图3） 一若5PBC的面积为于

8、， 求线 段MV的长.11.如图，直线尸十低伙 0)与x轴交于2与y轴交于D点O与点C是关于直线肋3对称，连接EC若JC二4八求的值：点P为OE的中点，动点E从点E出发，每秒1单位速度沿向点刃运动，过点 P做PE的垂线 交AC于点F.当点F与点O重合时点E停止运动 设运动时间为t秒，HPHF面积为S,写出S与 r点函数关系式，弁直接写出自变量 f的取值范围.()连接是否存在值，使得 伽乙FPH=?.若存在请求r值，若不存在，说明理由.7对角互补专题探究（三）例1.已知：四边形 ABCD中，二BC, .15三Q=DC,匚BADVADC,点E在CD边上运 动（点E与C、D两点不重合），二匹 P为直

9、角三角形，ZJEP=90二P=30。，过点E作EM二BC交,妒于点M若二(1) 若二 AW=120 (如图 1),求证：BF+DE=EM ;DE、的数量关系为.9:BQ=90o （如图2）,则线段肿、（3）在的条件下，若13变式训练:1.已知：矩形肿CD中二K,点E、F分别在3、CB上运动，且AEAF = a （角a为锐角），过E作EM/BC交AF于点M探究BF、DE. ME之间的数量关系为当K=? a =45时, 当K=? a =60时, 当K=? a =30 。时，2.如图：已知四过形.1BCD中竺二心 分别在CD、CE上运AH 一点E、F动，且 Z.EAF=a（角a为锐角），过作EM/B

10、C交2F于点M,探究肋、DE、MEN间的数搭关系为对角互补专题探究（四）例2.已知：四边形ABCD. AB=1D,二5=匚290。，二EF=30。，过F作加二BC交于（1） 当匚 AlD=60 1M 如图 1 所示），求证：BE+FD=FM : 匚B1E90。时（如图2所示），则线段的，DF,加的数量关系为 :（3）在（1）的条件下（如图3所示），连接场交应于点 G,交AF于点K,交于点N,若BG.DKR5,加=14 时，KV 的长.变式训练:1?已知四边形zLSCD中,.1DUBC, AB=DC.二BAD=ADC,点F在CD边上运动（点E与C、 两点不重合）（1）若二 AW=90 （如图 I

11、）、AD=2AB, Z L1F=45 求证：DF 十 2BE=FG（2 ）若二 AW=150 （如图 2） , AB=1D. ZEJF=30 则,DF、BE、FG 的数量关系 为.（3）在（1）的条件下（如图3） DF=4AB=6A线4F交直线BG于点H求GH的长.图22.已知：四边形 ABCD中，AD二BC lB=CD=kAD二BAIX二ADC,点E在CD边上运动（点 Cf Z）两点不重合），将 AE绕点A顺时针旋转30o后与BC边交于点F过点E作 EMZBC交于点M.(1) 若 k=. ZBAD=12Q Q (如图 1)，求证 QE+BF=LME.2若rl,如图2）,则线段场、肿 宓的数量

12、关系为2（3） 在（1）的条件下，若 CE=2, AE=2*,求ME的长.对角互补专题探究(五)例3.如图1,正方形ABCD中，P为边延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平 分线交边DC 于交边BC于0交边的延长线于N求证若PC: PB=1:3，那么线段0E与0N的数量关系为 ：(3)如图2,连接绕着点P旋转JCPM,角的两边分别交边 AB. -W于点H、K,交边CD于点凡当四边形的而积为24, NIR: RC=1 : 2时，求.变式训练:.已知：在正方形.133中，P为直线上一点，连接 BP.以肿为底边作等腰直角三角形 二PBE, 连接(1)如图1,当点P在线段-Q上时，求证：AB十AP= E;(2)如图2,当点P在线段加的延长线上时，线段肿、廿、 M的数量关系是 (3)在(2)的条件下，过点/作AF二PE吕F交EC的延长线于F,过点C作二DCF的平分 线，