20届高考数学一轮复习讲义(提高版)-专题10.9-圆锥曲线轨迹方程求法(解析版)doc

1、圆锥曲线轨迹方程求法【套路秘笈 】-始于足下始于足下求轨迹方程的常用办法：直截了当 法：直截了当 将前提 翻译成等式，收拾 化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的办法平日 叫做直截了当 法。界说 法：假如能够 断定 动点的轨迹满意 某种曾经明白曲线的界说 ，那么可应用曲线的界说 写出方程，这种求轨迹方程的办法叫做界说 法。相干 点法：用动点M的坐标x，y表现 相干 点P的坐标Xo、Yo，而后 辈 入点P的坐标Xo、Yo所满意 的曲线方程，收拾 化轻便 失失落 动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的办法叫做相干 点法。用未知表现 曾经明白，带入曾经明白求未知参数法：当动点坐标x、y之间的直截了当

2、关联 难以寻 到时，每每 先寻寻 x、y与某一变数t的关联 ，得再消去参变数t，失失落 方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的办法叫做参数法。交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，失失落 不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的办法叫做交轨法。【修炼套路】-为君聊赋昔日诗，尽力 请从昔日始考向一 直截了当 法求轨迹方程【例1】曾经明白两点M(2，0)，N(2，0)，点P为坐标破 体内的动点，满意 |MN|MP|+MNNP=0 ,那么动点P(x，y)的轨迹方程为 。【谜底 】y2=-8x【剖析 】设Px，y，x0，y0，M2，0，N2，0，|MN|=4那么MP=(x+2，y

3、)，NP=(x-2，y)由|MN|MP|+MNNP=0，那么4(x+2)2+y2+4(x-2)=0，化简收拾 得y28x【套路总结】直截了当 法求曲线方程时最要害 的确实是把多少 何前提 或等量关联 翻译为代数方程，要留意翻译的等价性平日 将步调 简记为建系设点、列式、代换、化简这四个步调 ，假如给出了直角坐标系那么可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需留意测验 方程。【触类旁通】 1.曾经明白抛物线C：y22x的核心 为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分不交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点假定PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程【谜底 】y2x1.【剖析 】设过AB

4、的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)，那么SABFeq f(1,2)|ba|FDeq f(1,2)|ba|eq blc|rc|(avs4alco1(x1f(1,2)，SPQFeq f(|ab|,2).由题意可得|ba|eq blc|rc|(avs4alco1(x1f(1,2)eq f(|ab|,2)，因而 x11或x10(舍去)设满意 前提 的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得eq f(2,ab)eq f(y,x1)(x1)而eq f(ab,2)y，因而 y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合，如今E点坐标为(1,0)，满意 方程y2x1.因而 所

5、求轨迹方程为y2x1.2曾经明白两点M(-1,0),N(1,0)，点P为坐标破 体内的动点，且满意 MNMP+MNNP=0，那么动点P的轨迹方程为 。【谜底 】y2=-4x 【剖析 】设Px，y，x0，y0，M(-1,0),N(1,0)，|MN|2 那么MP(x+1，y)，NP(x-1，y) 由MNMP+MNNP=0，那么2x+12+y2+2x-10， 化简收拾 得y2=-4x 3.在破 体直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分不为椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右核心 ，曾经明白F1PF2为等腰三角形设直线PF2与椭圆订交 于A，B两点，M是

6、直线PF2上的点，满意 eq o(AM,sup6()eq o(BM,sup6()2，求点M的轨迹方程【谜底 】18x216eq r(3)xy150(x0)【剖析 】由(1)知a2c，beq r(3)c，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为yeq r(3)(xc)A，B两点的坐标满意 方程组eq blcrc (avs4alco1(3x24y212c2，,yr(3)xc，)消去y并收拾 ，得5x28cx0.解得x10，x2eq f(8,5)c，代入直线方程得eq blcrc (avs4alco1(x10，,y1r(3)c，)eq blcrc (avs4alco1(x2f(8,5)

7、c，,y2f(3r(3),5)c.)无妨设Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(8,5)c，f(3r(3),5)c)，B(0，eq r(3)c)设点M的坐标为(x，y)，那么eq o(AM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(xf(8,5)c，yf(3r(3),5)c)，eq o(BM,sup6()(x，yeq r(3)c)由yeq r(3)(xc)，得cxeq f(r(3),3)y.因而eq o(AM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(8r(3),15)yf(3,5)x，f(8,5)yf(3r(3),5)x)，eq o(BM,sup6()(

8、x，eq r(3)x)，由eq o(AM,sup6()eq o(BM,sup6()2，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(8r(3),15)yf(3,5)x)xeq blc(rc)(avs4alco1(f(8,5)yf(3r(3),5)x)eq r(3)x2.化简得18x216eq r(3)xy150.将yeq f(18x215,16r(3)x)代入cxeq f(r(3),3)y，得ceq f(10 x25,16x)0.因而 x0.因而，点M的轨迹方程是18x216eq r(3)xy150(x0)考向二 界说 法求轨迹方程【例2】曾经明白圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y2

9、9，动圆P与圆M外切同时与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程【谜底 】为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1(x2)【剖析 】由曾经明白得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为 圆P与圆M外切同时与圆N内切，因而 PMPN(Rr1)(r2R)r1r242MN.由椭圆的界说 可知，曲线C是以M，N为左、右核心 ，长半轴长为2，短半轴长为eq r(3)的椭圆(左极点 除外)，其方程为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1(x2)【套路总结】界说 法求轨迹方程1.观点 ：求轨迹方程时，假定动点与定点、定

10、线间的等量关联 满意 圆、椭圆、双曲线、抛物线的界说 ，那么能够 直截了当 依照界说 先定轨迹范例 ，再写出其方程，这种求轨迹方程的办法叫做界说 法，其要害 是精确使用剖析 多少 何中有关曲线的界说 (1)在应用圆锥曲线的界说 求轨迹方程时，假定所求的轨迹契合某种圆锥曲线的界说 ，那么依照曲线的方程，写出所求的轨迹方程(2)应用界说 法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完好的曲线，假如不是完好的曲线，那么应答 此中 的变量x或y进展限度 【触类旁通】1.在ABC中，BC4，ABC的内切圆切BC于D点，且BDCD2eq r(2)，那么极点 A的轨迹方程为_【谜底 】eq f(x2,2)eq f(y2

11、,2)1(xeq r(2)【剖析 】以BC的中点为原点，中垂线为y轴树破 如下列图的坐标系，E，F分不为两个切点那么BEBD，CDCF，AEAF.因而 ABAC2eq r(2)eq r(2)2设定点F(1,0)，动圆D过点F且与直线x=-1相切.那么动圆圆心D的轨迹方程为 。【谜底 】y2=4x【剖析 】动圆D过点F且与直线x=-1相切，依照圆的界说 可失失落 圆心到直线x=-1的间隔 即是 圆心到点F的间隔 ，依照抛物线的界说 可失失落 圆心的轨迹是核心 为F(1,0)的抛物线，即y2=4x.3.如下列图：在圆C：(x1)2y216内有一点A(1，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直中分

12、 线与直线CQ的连线交于点M，依照椭圆界说 可得点M的轨迹方程为x24+y23=1；应用类比推理思维 ：在圆C：(x3)2y216外有一点A(3，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直中分 线与直线CQ的连线交于点M，依照双曲线界说 可得点M的轨迹方程为_【谜底 】x24-y25=1 x-2【剖析 】贯穿连接 MA，C-3,0,A3,0，点M在线段AQ的垂直中分 线上，MA=MQMA-MC=MQ-MC=CQ=4因而 点M的轨迹为双曲线的左支，2a=4,a=2，c=3，因而 b=c2-a2=5因而 双曲线的轨迹方程为x24-y25=1x-2考向三 相干 点法求轨迹方程【例3】 如下列图，抛物线

13、E：y22px(p0)与圆O：x2y28订交 于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分不以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2订交 于点M.(1)求p的值；(2)求动点M的轨迹方程【谜底 】11 2eq f(x2,8)y21，x4，2eq r(2)【剖析 】(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y22px，解得p1.(2)由(1)知抛物线E：y22x.设Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,1),2)，y1)，Deq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,2

14、),2)，y2)，y10，y20，切线l1的歪 率为k，那么切线l1：yy1keq blc(rc)(avs4alco1(xf(yoal(2,1),2)，代入y22x，得ky22y2y1kyeq oal(2,1)0，由0，解得keq f(1,y1)，l1的方程为yeq f(1,y1)xeq f(y1,2)，同理l2的方程为yeq f(1,y2)xeq f(y2,2).联破 eq blcrc (avs4alco1(yf(1,y1)xf(y1,2)，,yf(1,y2)xf(y2,2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(y1y2,2)，,yf(y1y2,2).)易知CD的方程为x0

15、xy0y8，此中 x0，y0满意 xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)8，x02,2eq r(2)，由eq blcrc (avs4alco1(y22x，,x0 xy0y8，)得x0y22y0y160，y1,2eq f(2y0r(4yoal(2,0)64x0),2x0)，那么eq blcrc (avs4alco1(y1y2f(2y0,x0)，,y1y2f(16,x0)，)代入eq blcrc (avs4alco1(xf(y1y2,2)，,yf(y1y2,2)，)可得M(x，y)满意 eq blcrc (avs4alco1(xf(8,x0)，,yf(y0,x0)，)可得eq blcrc

16、 (avs4alco1(x0f(8,x)，,y0f(8y,x)，)代入xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)8，并化简，得eq f(x2,8)y21，思索到x02,2eq r(2)，知x4，2eq r(2)，动点M的轨迹方程为eq f(x2,8)y21，x4，2eq r(2)【套路总结】相干 点法的根本步调 (1)设点：设主动点坐标为(x，y)，自动点坐标为(x1，y1)；(2)求关联 式：求出两个动点坐标之间的关联 式eq blcrc (avs4alco1(x1fx，y，,y1gx，y；)(3)代换：将上述关联 式代入曾经明白曲线方程，便可失失落 所求动点的轨迹方程【触类旁通】1.

17、如图，动圆C1：x2y2t2,1t3与椭圆C2：eq f(x2,9)y21订交 于A，B，C，D四点点A1，A2分不为C2的左、右极点 ，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程【谜底 】eq f(x2,9)y21(x3，y0)【剖析 】由椭圆C2：eq f(x2,9)y21，知A1(3,0)，A2(3,0)设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为yeq f(y0,x03)(x3)直线A2B的方程为yeq f(y0,x03)(x3)由相乘得y2eq f(yoal(2,0),xoal(2,0)9)(x29)又点A(x0，y0)

18、在椭圆C2上，故yeq oal(2,0)1eq f(xoal(2,0),9).将代入得eq f(x2,9)y21(x3，y0)因而点M的轨迹方程为eq f(x2,9)y21(x3，yb0)由题意得eq blcrc (avs4alco1(r(a2b2)1，,f(a,b)t，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2f(t2,t21)，,b2f(1,t21).)因而 椭圆方程为t2(t21)x2(t21)y2t2.(2)设点P(x，y)，Q(x1，y1)，解方程组eq blcrc (avs4alco1(t2t21xoal(2,1)t21yoal(2,1)t2，,y1tx1，)得eq blc

19、rc (avs4alco1(x1f(1,r(2t21)，,y1f(t,r(2t21).)由eq f(OP,OQ)teq r(t21)跟 eq f(OP,OQ)eq f(|x|,|x1|)，得eq blcrc (avs4alco1(xf(t,r(2)，,yf(t2,r(2)，)或eq blcrc (avs4alco1(xf(t,r(2)，,yf(t2,r(2)，)此中 t1.消去t，得点P的轨迹方程为x2eq f(r(2),2)yeq blc(rc)(avs4alco1(xf(r(2),2)跟 x2eq f(r(2),2)yeq blc(rc)(avs4alco1(x0，化简得：m24k2+1，

20、x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1y1y2=(kx1+m)(kx2+m)= k2x1x2+km(x1+x2)+m2，假定kOMkON=54，那么y1y2x1x2=54，即4y1y2=5x1x2，(4k2-5)4(m2-1)4k2+1+4km(-8km4k2+1)+4m2=0即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0，化简得：m2+k2=54，|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k264k2m2(4k2+1)2-44m2-44k2+1=1+k2-16m2+64k2+16(4k2+1)2 =1+k24(20k2-1)(4k2+1)2原点O到直线l

21、的间隔 d=|m|1+k2，SMON=12|MN|d=12(5-4k2)(20k2-1)(4k2+1)2，设4k2+1=t，由得，0m265，120k254，65t6，161t0，设D(x1,y1),E(x2,y2)，y1+y2=-6m3m2+4，x1+x2=my1+y2+2=83m2+4， 因而 DE的中点R(43m2+4,-3m3m2+4)，同理FG的中点S(4m24m2+3,3m4m2+3)， 因而 直线RS的歪 率为kRS=-3m3m2+4-3m4m2+343m2+4-4m24m2+3=7m4m2-1，因而 直线RS的方程为y+3m3m2+4=7m4m2-1x-43m2+4， 收拾 得

22、y=7m4m2-1x-47， 因而 直线RS恒过定点47,0，即过两弦DE,FG中点的直线恒过定点47,0.151曾经明白点A，B的坐标分不为3，0，-3，0，直线AP，BP订交 于点P，且它们的歪 率之积是-2，求动点P的轨迹方程2设Px，y，直线l1：x+2y=0，l2：x-2y=0假定点P到l1的间隔 与点P到l2的间隔 之积为2，求动点P的轨迹方程【谜底 】1x29+y218=1，x32x26-y23=1或y23-x26=1【剖析 】1设Px，y，因为 A3，0，B-3，0由曾经明白，可得yx-3yx+3=-2x3化简收拾 可得x29+y218=1，x3因而 动点P的轨迹方程x29+y

23、218=1，x3；2点Px，y到直线l1：x+2y=0的间隔 为|x+2y|3，点Px，y到直线l2：x+2y=0的间隔 为|x-2y|3，由|x+2y|3|x-2y|3=2，可得|x2-2y2|=6，即动点的轨迹方程为x26-y23=1或y23-x26=116曾经明白椭圆C：x218+y29=1的短轴端点为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满意 NB1MB1，NB2MB2.求动点N的轨迹方程；求四边形MB2NB1面积的最年夜 值.【谜底 】y29+x292=1x0；2722.【剖析 】法一：设Nx,y，Mx0,y0 x00，MB1NB1, MB2NB2直线NB1:y

24、+3=-x0y0+3x 直线NB2:y-3=-x0y0-3x 得y2-9=x02y02-9x2又x0218+y029=1，y2-9=181-y029yo2-9x2=-2x2，收拾 得点N的轨迹方程为y29+x292=1x0法二：设Nx,y，Mx0,y0 x00，MB1NB1, MB2NB2直线NB1:y+3=-x0y0+3x 直线NB2:y-3=-x0y0-3x 由,解得：x1=y02-9x0y1=-y0，又x0218+y029=1，x1=-x02故x0=-2x1y0=-y1，代入x0218+y029=1得y129+x1292=1.点N的轨迹方程为y29+x292=1x0法三：设直线MB1:y

25、=kx-3k0，那么直线NB1:y=-1kx-3 直线MB1与椭圆C:x218+y29=1的交点M的坐标为12k2k2+1，6k2-32k2+1.那么直线MB2的歪 率为kMB2=6k2-32k2+1-312k2k2+1=-12k.直线NB2:y=2kx+3 由 解得:点N的轨迹方程为：y29+x292=1x0法一：设Nx1,y1，Mx0,y0 x00由法二得：x1=-x02四边形MB2NB1的面积S=12B1B2x1+x2=332x0，0b0)，因而 a=2，c=1，即b2=a2-c2=3，所求点M轨迹方程为x24+y23=1. 2设M(x,y)(x1)，那么kAM=yx+1，kBM=yx-

26、1，因而 kAM+kBM=yx+1+yx-1=2xyx2-1=2，即y=x-1x，所求点M轨迹方程为y=x-1x(x1).21从原点O向圆M: (x-x0)2+(y-y0)2=2作两条切线，切点分不为P,Q，记切线OP，OQ的歪 率分不为k1，k2假定圆心M(0,3)，求两切线OP，OQ的方程；假定k1k2=-12，求圆心M的轨迹方程【谜底 】两切线OP，OQ分不为y=22x，y=-22xx26+y23=1【剖析 】圆M: x2+(y-3)2=2，设切线为y=kx，由相切得31+k2=2，解得k=22，因而 两切线OP，OQ分不为y=22x，y=-22x 因为 直线OP：y=k1x，OQ：y=

27、k2x，与圆M相切，由直线跟 圆相切得k1x0-y01+k12=k2x0-y01+k22=2， 收拾 得k12(2-x02)+2k1x0y0+2-y02=0，k22(2-x02)+2k2x0y0+2-y02=0， 当2-x020时，k1，k2是方程k2(2-x02)+2kx0y0+2-y02=0的两个不相称 的实数根，k1k2=2-y022-x02，因k1k2=-12，那么x026+y023=1 当2-x02=0时，y02=2，也满意 x026+y023=1 因而圆心M的轨迹方程为x26+y23=122曾经明白点E(-2,0)，F(2,0)，P(x,y)，是破 体内一动点，P能够 与点E,F重

28、合.当P不与E,F重适时 ，直线PE与PF的歪 率之积为-14.1求动点P的轨迹方程；2一个矩形的四条边与动点P的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范畴 .【谜底 】1x24+y2=1；28,10.【剖析 】1当P与点E,F不重适时 ，kPEkPF=-14，得yx+2yx-2=-14，即x24+y2=1y0，当P与点E,F重适时 ，P-2,0或P2,0.综上，动点P的轨迹方程为x24+y2=1.2记矩形面积为S，当矩形一边与坐标轴平行时，易知S=8.当矩形各边均不与坐标轴平行时，依照对称性，设此中 一边地点 直线方程为y=kx+m，那么对边方程为y=kx-m另一边地点 的直线为y=-1kx+n，那么对边方程为y=-1kx-n，联破 ：x2+4y2=4y=kx+m，得1+4k2x2+8kmx+4m2-1=0，那么=0，即4k2+1=m2.矩形的一边长为d1=2mk2+1，同理：4k2+1=n2，矩形的另一边长为d2=2n1k2+1，S=d1d2=2mk2+12n1k2+1= 4mnkk2+1=44k2+1k2+4k2+12=44k4+17k2+4k2+12=44+9k2k2+12 =44k2+1k2+4k2+12=44k4+17k2+4k2+12=44+9k2k2+12 =44+9k2+1k2+28,10，综上：S8,10.23曾经明白动直l1：x+my-2m=0与动直