一元二次方程根分布

1、优选一元二次方程根的分布优选一元二次方程根的分布优选一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完满，且解决的方法侧重于二次方程根的鉴识式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。函数与方程思想：若y=f(x)与x轴有交点x0f(x0)=0若y=f(x)与y=g(x)有交点(x0，y0)f(x)=g(x)有解x0。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。一一元二次方程根的基本分布零落布所谓一元二次方程根的零落布，指的是方程的根相关于零的关系。比方二次方程

2、有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，也许说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个实根为x1，x2，且x1x2。【定理1】x10，x2b24ac00(两个正根)x1x2b0，ax1x2c0a推论：x10，x20b24ac0b24ac0a0或a0f(0)c0f(0)c0b0b0上述推论结合二次函数图象不难获取。【例1】若一元二次方程(m1)x22(m1)xm0有两个正根，求m的取值范围。4(m1)24m(m1)0解析：依题意有2(m1)00m3）5c【定理3】x10 x20a【例3】k在何范围内取值，一元二次方程kx23kxk30有一

3、个正根和一个负根？解析：依题意有k30k3kb【定理4】10，x20c0；x10且ba20，x20c0。x10且a【例4】若一元二次方程kx2(2k1)xk30有一根为零，则另一根是正根还是负根？解析：由已知k3=0，k=3，代入原方程得32x，另一根为负。+5=0 x二一元二次方程的非零落布k分布设一元二次方程ax2bxc0（a0）的两实根为x1，x2，且x1x2。k为常数。则一元二次方程根的k分布（即x1，x2相关于k的地址）有以下若干定理。【定理1】kx1x2b24ac0af(k)0bk2a【定理2】x1x2kb24ac0。af(k)0bk2a【定理3】x1kx2af(k)0。推论1x1

4、0 x2ac0。推论2x11x2a(abc)0。【定理4】有且仅有k1x1（或x2）k2f(k1)f(k2)0a0a0f(k1)0f(k1)0【定理5】k1x1k2p1x2p2f(k2)0或f(k2)0f(p1)0f(p1)0f(p2)0f(p2)0此定理可直接由定理4推出，请读者自证。b24ac0b24ac0a0a0【定理6】k1x1x2k2f(k1)0或f(k1)0f(k2)0f(k2)0k1bk1bk2k22a2a三、例题与练习【例5】已知方程x211xm20的两实根都大于1，求m的取值范围。（12m129）4（2）若一元二次方程mx2(m1)x30的两个实根都大于-1，求m的取值范围。

5、（m2或m526）（3）若一元二次方程mx2(m1)x30的两实根都小于2，求m的取值范围。（m1或m526）2【例6】已知方程x22mx2m230有一根大于2，另一根比2小，求m的取值范围。（12m12）2x22（2）已知方程(m2)x2m10有一实根在0和1之间，求m的取值范围。（1m2）33）已知方程x2(m2)x2m10的较大实根在0和1之间，求实数m的取值范围。变式：改为较小实根（不可以能；1m2）2（4）若方程x2(k2)xk0的两根均在区（1、1）内，求k的取范。（423k1）2（5）若方程x2(k2)x2k10的两根中，一根在0和1之，另一根在1和2之，求k的取范。（1k2）2

6、3（6）已知关于x的方程(m1)x22mxm2m60的两根、且足01，求m的取范。（3m7或2m7）【例7】已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区(1，0)内，另一根在区(1，2)内，求m的范.若方程两根均在区(0，1)内，求m的范.本重点考方程的根的分布，解答本的光点是熟知方程的根于二次函数性所具有的意.技巧与方法：出二次方程的函数，可画出相的表示，尔后用函数性加以限制.解：(1)条件明抛物f(x)=x2+2mx+2m+1与x的交点分在区(1，0)和(1，2)内，画出表示，得m1f(0)2m10,2mR,f(1)20,51f(1)4m20,mm.1,62f

7、(2)6m502m56f(0)0,(2)据抛物与x交点落在区(0，1)内，列不等式f(1)0,0,0m1m1,2m1(里0m1是因称x=m在区(0，1)内通),2m1或m12,21m0.：1若方程4x(m3)?2xm0有两个不相同的根，求m的取范。提示：令2x=t化关于t的一元二次方程有两个不相同的正根。答案：0m12若关于x的方程lg(x220 x)lg(8x6a3)0有唯一的根，求数a的取范。x220 x0 x或提示：原方程等价于即20 x02x2x20 x8x6a312x6a30f(x)=x2+12x+6a+3(1)若抛物y=f(x)与x相切，有=1444(6a+3)=0即a=11。将a

8、=11代入式有x=6不足式，a11。2y22若抛物y=f(x)与x订交，注意到其称x=6，故友点的横坐有且有一个足式6O的充要条件是f(20)0163120f(0)0解得a。62当163a1原方程有唯一解。62x2+20 x=8x6a3(x0)另法：原方程等价于化：求数a的取范，使直y=8xy6a3与抛物y=x2+20 x(x0)有且只有一个公共点。163然两个函数像都明确，但在什么条件下它有且只有一个公共点却不明，可将形x2+12x+3=36a(x0)，再在同一坐系中分也作出抛206O物y=x2+12x+3和直y=6a，如，然当36a163即163a1直y=6a与抛物62有且只有一个公共点。3已知f(x)=(