等腰三角形分类讨论综合

1、等腰三角形分类谈论综合等腰三角形分类谈论综合等腰三角形分类谈论综合等腰三角形分类谈论综合1.理解等腰三角形的性质和判判定理；2.能用等腰三角形的判判定理进行相关计算和证明；3.初步领悟等腰三角形中的分类谈论思想；4.领悟在函数动点中搜寻某些特其他点形成的等腰三角形；5.培养学生进行独立思虑，提高独立解决问题的能力。知识结构【备注】：1.此部分知识点梳理，依照第1个图先提问引导学生回顾学过的等腰三角形的性质，能够在黑板上举例让学生画图；2再依照第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些等腰三角形的题型；3.和学生一起解析二次函数背景低等腰三角形的基本考点，为后边的例题讲解做好铺垫。建议时间5分钟

2、左右。一等腰三角形的性质：二等腰三角形常有题型分类：三函数背景下的等腰三角形的考点解析：1.求解相应函数的解析式；2.依照函数解析式求解某些特别点的坐标；3.依照点的地址进行等腰三角形的谈论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两大类；4.依照点的地址和形成的等腰三角形立等式求解。【备注】：以下每题教法建议，请老师依照学生实质情况参照；在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启示、引诱的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐蔽的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；能够依照各题的“参照教法”引导学生渐渐解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生

3、之间的互动性，让学生参加到例题的解析中来；例题讲解，能够依照“教法指导”中的问题引导学生解析题目，边讲边让学生书写，每个问题后边有答案提示；引导的技巧：直接提示，问题式引导，类比式引导等等；部分例题能够先让学生自己试一试，此后再结合学生做的情况讲评；每个题目的讲解时间依照实质情况办理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。例1.如图，在RtABC中，BAC=90，AB=3，AC=4，AD是BC边上的高，点E、F别是AB边和AC边上的动点，且EDF=90（1）求DEDF的值；分2）设直线DF与直线AB订交于点G，EFG可否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE的长；若不能够，请说明原

4、由。（）AAEAFBDCBDCBDC例1题图备用图1备用图2【参照教法】：一你来找一下题目中由哪些不变的量也许是比较特其他条件，试一试看：1.ABC中B、C的三角比可否能求解？你求求看。提示：43cosB，cosC；55题目中有很多垂直，会获取很多角度角相等的，你找找。提示：BDAC、BADC、ADEFDC、BDEADF。题目中可否有相似三角形？找找看。提示：AEDDFC、BDEADF等。二求DE:DF，选择那些条件能够求解？你求一下吧！提示：用AEDDFC，在结合C的三角比可求得。三当EFG为等腰三角形时：1.会得出什么特别条件不？提示：两边相等，也许是两角相等；2.需不需要分类谈论？提示：

5、题目中没有指定腰，应该需要；3.如需要分哪几种？提示：依照点G的不同样地址分两大类谈论：当点G在射线AB上时，如图1。因为FEGCABAFE90o因此FEG为钝角，则EFG为等腰三角形时，EGEF；当点G在射线BA上时，如图2。因为FEGCABAEF90o因此EFG为钝角，则EFG为等腰三角形时，FGEF；3.怎么计算，你能自己先求解一下看看吗？4.经过本题的解析求解过程，你同等腰三角形谈论题型有点思路了没？【满分解答】：（1）BAC=90B+C90，AD是BC边上的高DAC+C=90B=DAC又EDF=90BDE+EDA=ADF+EDA=90BDE=ADFBEDAFDDEBDDFADBDco

6、tBAB3DEDF=3ADAC44（2）若EFG为等腰三角形，依照点G的不同样地址分两大类谈论：GAEAFFBDCEBGDC（图1）（图2）当点G在射线AB上时，如图1。因为FEGCABAFE90o因此FEG为钝角，则EFG为等腰三角形时，EGEFEGEF，EDDFD为GF中点则，在直角AGF中，GF2AD24，G=EFGC5又cosG=cosC，则DGAGAC4EGGFBC5可求得AG96,EG3。因此：BE542525另解：由EFG为等腰三角形可得AEDGBD，因此BDDE，再过点D作BE垂线，利用三角比可求得BE54。25当点G在射线BA上时，如图2。因为FEGCABAEF90o因此EF

7、G为钝角，则EFG为等腰三角形时，FGEFFGEF，AFAEA为EG中点AEG=G又B=FEDBDE=AEFADFADFGAEAG12AD35。因此：BE5543综上可得，当EFG为等腰三角形时，BE或BE。255我来试一试！练习1.如图1，在ABC中，ACB90，ACBC2，M是边AC的中点，CHBM于H。（）（1）试求sinMCH的值；（2）求证：ABMCAH；（3）若D是边AB上的点，且使AHD为等腰三角形，央求AD的长。【解法点拨】：1.搜寻题目中的特别条件和不变的量：M是边AC的中点；CHBM；题目中的线段AB、BM、CH、MH、AH都可求解（让学生自己计算）；2.证明角度相等，回顾

8、证明角度相等的方法后，知本题利用相似角简单，但题目中很多线段的长度都求解，因此利用两边成比率证明AMHBMA即可得ABMCAH；3.当AHD为等腰三角形时，分三个情况谈论：当ADDH时：因为边长不能够直接求出，则利用三角比求解，过点D作DEAH，因为MAHABM，则DAECBMMCH，因此cosDAEcosMCH；当ADAM时：可直接得AD的长；当因为AMDM时：因为边长不能够直接求出，则利用三角比求解，过点H作HQAD，MAHABM，则DAECBMMCH，因此cosDAEcosMCH。4.注意利用好等腰三角形的性质：底边上三线合一；平时情况下用“画底边上的高+三角比求解”；5.注意便讲解边让

9、学生计算求解，加强师生之间的互动性。【满分解答】：（1）在MBC中，MCB=90，BC=2，又M是边AC的中点，1AM=MC=BC=1，2MB=12225，又CHBM于H，则MHC=90，MCH=MBC，sinMCH=CM5.BM5（2）在MHC中，MHCMsinMCH5.5AM2=MC2=MHMAMB，MB，即MAMH又AMH=BMA，AMHBMA，ABM=CAH.（3）由前两问可得：AH210MCH25,cos5。当AHD为等腰三角形时，分5以下三个情况谈论：当ADDH时：如图1，过点D作DEAH，因为MAHABM，则DAECBMMCH，因此cosDAEcosMCH；因此：AECH，即10

10、:AD25:1，因此AD2；ADCM552当ADAM时：如图2102，可直接得AD5；当AMDM时：如图3，过点H作HQAD，因为MAHABM，则DAECBMMCH，因此cosDAEcosMCH因此：AQCH，即AQ:21025:1，因此AD2AQ82；AHCM555综上可得，当AHD为等腰三角形时，AD的长为210、82、2。552CCMMHHEADBADB图1图2CMH图3AQDB选讲选练题例2.如图，在ABC中，ABAC5,BC6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DEBC，以DE为边，在点A的异侧作正方形当BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长。（）DE

11、FG，ADEGFBC【参照教法】：一以提问式，和学生一起解析题目，先搜寻题目中的已知条件或特别条件：1.题目中有哪些已知量？提示：从边、角归类搜寻。边：ABAC5,BC6，DEBC；角:BC；2.题中有什么特其他图形没？提示：ABC等腰、正方形DEFG。3.你能求解一下题目中的其他线段吗？提示：设ADx，让学生求解ABC底边上的高，并用含x的代数式表示DE的长。二当BDG是等腰三角形时：需要谈论吗？提示：需要，分两大情况谈论；2.怎么谈论？提示：当BDG是等腰三角形时，依照点G的地址分：点G在ABC内部和外面两大类谈论：（1）当点G在ABC内部时：因为DGB90o，因此该情况下只可能DGBG。

12、但该情况下不能够直接求解出，则画底边上的高（点G作GHAB）。（如图1）则：HDGQAB，因此cosHDGcosQAB；（2）当点G在ABC外面时：分以下情况谈论当DBDG时：直接利用相等计算，即6x5x；5当DBDG时：（如图2）设BC与DG交点为M，则可得：BMDG且点M为DG中点；因此：cosHDGcosQAB；当DGBG，不行立。3.怎么计算？你会求解吗？提示：见上面求解，可让学生自己计算。4.经过本题的解析求解后，你感觉等腰三角形的分类谈论题目还难吗？6.提示学生利用好三角比。【满分解答】：过点A作AQBC，垂足为点Q。ABAC5,BC6，则BQ3、AQ4，cosQAB4；56x。设

13、ADx，则BD5x，DEDG当BDG是等腰三角形时，依照点5G的地址，分以下情况谈论：（3）当点G在ABC内部时：因为DGB90o，因此该情况下只可能DGBG。但该情况下不能够直接求解出，则画底边上的高（点G作GHAB）。（如图1）5x4125则：HDGQAB，因此cosHDGcosQAB，即2，解得：x；6x5735（4）当点G在ABC外面时：分以下情况谈论当DBDG时：则6x5x，解得：x25；511当DBDG时：（如图2）设BC与DG交点为M，则可得：BMDG且点M为DG中点，3x4，解得：x20因此：cosHDGcosQAB，即：5；当DGBG，不行立。5x57综合上可得：当BDG是等

14、腰三角形时AD125,25,20。73117AADEDEHBCQGFMCBFQG（图1）（图2）【备注】：本部分对前面例题中讲到的解题方法进行归类总结，以引导式总结出，建议时间分钟左右。图形背景低等腰三角形分类谈论的解题方法和策略：1.先搜寻题目中的条件：相等的角、相等的边、相似的三角形等；2.依照题目中的条件求解相关线段的长度；3.等腰三角形谈论中，分三步走：分类、画图、计算；4.等腰谈论中，当不能够直接利用边长相等求解时，一般情况下经过“画底边上的高”（该部分需要学生在15分钟内独立完成，此后再评分并讲评）辅助线，结合三角比计算求解；5.注意点的地址弃取答案；6.依照题目条件，注意快速、正

15、确画图，用好数形结合思想；7.利用几何定理和性质也许代数方法建立方程求解都是常用方法。1.已知在梯形ABCD中，AB/DC，AD2PD，PC2PB，ADPPCD，PDPC4，如图1。（本题满分14分）（）1）求证：PD/BC；（2）若点Q在线段PB上运动，与点P不重合，联系CQ并延长交DP的延长线于点O，如图2，设PQx，DOy，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；3）若点M在线段PA上运动，与点P不重合，联系CM交DP于点N，当PNM是等腰三角形时，求PM的值DCDCAPBAPQB图1图2O【解法点拨】：一搜寻题目中的已知量也许是比较特其他条件：边的关系：AD2PD，PC2PB。可获取边

16、成比率：ADPCPDPBPDPC4,可用来求解某些线段的长度。2.角的关系：ADPPCD。相似三角形：ADPCPB。二AB/DC可由角度相等证明；三求解函数关系式，搜寻相似基本图形。方法一：由PQ/DC,可得：PQPO,进而y4x；DCODy2POPQy4x。方法二：由OD/BC可得：，进而42xBCQB三当PNM是等腰三角形时，分三个情况谈论：1.当2.当3.当PMDCDN，因此DCDN；PN时：得PM/DC，因此PNPMMPMN时，易证：MN/AD，即：四边形AMCD是平行四边形；NMNP时不存在。【满分解答】：（1）证明：AB/DCCPBPCD1分ADPPCDADPCPB1分AD2PD，PC2PBPDAD1分PBPCADPCPB1分APDBPD/BC1分（2）解：AB/DC，PD/BC四形PBCD是平行四形PDBCPDPC4BC41分PC2PBPB2OD/BCPOPQ1分BCQBPQx，DOyPOy4，QB2xy42x1分4xy81分x2定域是：0 x21分（3）解：当PMPN，