圆锥曲线离心率的求法(教师版)

1、 /11离心率的专题复习椭圆的离心率0ve1，抛物线的离心率e=1.一、直接求出a、c，求解ex2例1：已知双曲线y2a2已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e=-来解决。a线的离心率为（A.込2=1（a0）的一条准线与抛物线y2=-6x的准线重合，则该双曲TOC o 1-5 h z3v62J3B.C.D.2233a2c2-13解:抛物线y2=6x的准线是X=，即双曲线的右准线x=三，则气，故选D2cc22c2一3c一2=0，解得c=2，a=*3，e=a变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1G,0）、32A.B.43解：由F（1,0）、F（3,0）知2c=31c=1,12c

2、1a=2,c=1，所以离心率e=.故选C.a变式练习2：如果双曲线的实半轴长为22，焦距为6F（3,0）,则其离心率为（）211C.D.24又椭圆过原点，：ac=1，a+c=3,那么双曲线的离心率为（）3C.2D2解：由题设a=2,2c二6，则c二3,e=-=，因此选Ca2=1（ab0）的左准线上，过点P且方向为a=（2,-5）x2y2变式练习3：点P（-3,1）在椭圆一+4-a2b2的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）关于y=一2的反射光线（对称关系）为Al3解：由题意知，入射光线为y一1=-C+3）,5x2y+5=0，则va23：33c、：3c解得a=v3

3、，c=1，则e=-八a35c+5=0，故选A二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。例2：已知F、F是双曲线-竺=1（a0,b0）的两焦点，以线段FF为边作正三角12a2b212形MFF，若边MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）121A.4+2込B.3-1C.D.3+1c解：如图，设MF/勺中点为P，则P的横坐标为-2，由焦半径公式PF=1C即C二一一xa-ex-a，p(_cAI-2丿e=1+f3(1*3舍去)，故选Da-2=0，解得变式练习1：设双曲线-二=1（0a2，.:e

4、2=4，.:e=2，a2故选A变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2,AFMF二120012则双曲线的离心率为（）A36CD解：如图所示，不妨设M(0,b),F(-c,0),F(c,0)，则12IMFI=MF=a/c2+b2，乂FF=2c，1r2i2在AF1MF2中,由余弦定理，得cosZFMF=12MFI2+IMF2FF2111212_2MFjMF_=1=23a2=2c2，故选BTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 7a21 HYPERLINK l bookmark59 o Current Docu

5、ment /b2=c2a2，.:=2c2a22三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为仆，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若AF1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是。解：e=-2c2c2c2aPFI+|PF2岳+2c，b）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MFF2，若边MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率.运+1X2y2变式练习3如图，F1和F2分别是双曲线药-厉=IS0,b0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为.1+3J7LaLnbhF1右准线为若过Fi四、根据圆锥曲线

6、的统一定义求解例4设椭圆-缶=1（a0,b0）的右焦点为F1，且垂直于x轴的弦的长等于点F1到li的距离则椭圆的离心率是2ABiAD解:如图所示，AB是过件且垂直于x轴的弦，AD丄11于D，|ad|为F到准线l的距离，根据椭圆的第二定义，e二绘TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark92 o Current Document 1lADl变式练习1：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为（_）A远B-2解=凹启忑 HYPERLINK l bookmark80 o Current Document 解：AD12变式练习2：

7、.已知双曲线-b-=l（a0,b0）的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为,变式练习3：已知椭圆C： HYPERLINK l bookmark82 o Current Document x2y23忘+厉二1（ab0）的离心率为亍，过右焦点F且斜率为k（k）的直线于C相交于A、B两点，若AF二3FB，则k=.迈五、构建关于e的不等式，求e的取值范围：一般来说，求椭圆或双曲线的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆或双曲线本身的范围，列出不等式.（一）基本问题

8、x2y2例椭圆ar+土=1（ab0）的焦点为F仆两条准线与x轴的交点分别为Mn，若|MN|W2|FF，则该椭圆离心率的取值范围是x2y2Ex1设a则双曲线a-时=1的离心率e的取值范围是（云5）二）数形结合例已知椭圆X|+b2=1（ab0）的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P,使得ZF1PF2中）60，则椭圆离心率的取值范围是聞已知件、f2是椭圆的两个焦点满足码-码=0的点M总在椭圆内部则椭圆离心率的取值范围是三）利用焦半径的取值范围x2y2例1已知双曲线ar嬴=1（a0,匕）的左、右焦点分别为F1（-c，），F2（c，0），若双曲线sinZPFFa一上存在一点P使奔2=，则该双曲线的

9、离心率的取值范围是sinZPFFc21(1,*2+1)变：已知椭圆X2+y2=1（ab0）的左右焦点分别为F,F2，若椭圆的右准线上存在一点P,使得PF】的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是x2y2Ex1双曲线a?-厉=1（a，b0）的两个焦点为f2,若p为其上一点且叶吧侧双曲线离心率的取值范围为.(13Ex2.己知椭圆養+苣=1丹0）的焦点分别为片，F2，若该椭圆上存在一点P,使得竺=e,abPF2则该椭圆离心率的取值范围是.&2-1,1)配套练习1.设双曲线-二=1（a0,b0）的离心率为竹,且它的一条准线与抛物线y2二4x的a2b2准线重合，则此双曲线的方程为（）x2y2A=112

10、24x2y2B.48-96=1D.2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于（）3.4.5.6.1A.3b-4已知双曲线在给定椭圆中,y2b2=1的一条渐近线方程为y=4x,则双曲线的离心率为（过焦点且垂直于长轴的弦长为*2,焦点到相应准线的距离为1,在给定双曲线中,线的离心率为（则该椭圆的0,b0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|ofJ的离心率为（为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且卞是等边三角形，则双曲线B-b0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（c为半焦距）的点，且FF2=|Fp，则椭圆的离心率是（）、5-1C2D-2x2y28设F、分别是双曲线-右=1的左、右焦点

11、，若双曲线上存在点A，使牛af2二90,且|AF|=3弋|，则双曲线离心率为（）Crx2y29.已知双曲线-J=1（a,b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为600的直线a2b2与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A1,2B（1,2）C2,+8）D（2,+8）x2y210椭圆石+厉=1（0）的焦点为仆F2,两条准线与皿的交点分别为M、N若MN2|F1F2|，则该椭圆离心率的取值范围是（）A0,2f0迈ridBIUJCL21DL2*答案：1由=3,乞=1可得a=f3,b=c=3.故选Dac2已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，a=2b，椭圆的离心率e=-=，选D。c=吓=

12、5,故选Aa33a2b4c3双曲线焦点在x轴由渐近线方程可得a=3可得e=-迈且-c=1，据此求出c2x2y22b24不妨设椭圆方程为一+=1（ab0）,则有a2b2ax2y22b2穴a215.不妨设双曲线方程为一=l（aO,bO）,则有=：2且c=，据此解得e=2,a2b2ac2选Cx2r26解析：如图，F和F分别是双曲线=1（a0,b0）的两个焦点，A和B是以O为12a2b2圆心，以|0件|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，连接AF1，/人卩2片=30。，IAFJ=c,IAF2I=x/3c,2a=（爲1）c，双曲线的离心率为1+，选D。7.由已知卩（八民），所以2

13、c-（c）2+（.；3c）2化简得a2一2c2二0ne二一二cca2x2y28设耳，巧分别是双曲线一厂-1的左、右焦点。若双曲线上存在点A,使ZF.AF9=90，且12a2b212IAF1I=3IAF2I，设IAF2I=1，IAF1I=3，双曲线中2a-IAFIIAFI-2，1221122c.;IAF|2+1AF|2-10,离心率e-上10，选B。TOC o 1-5 h zN122x2y29双曲线一-厂-1（a0,b0）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右a2b2bb支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率一，-，离心 HYPERLINK l book

14、mark7 o Current Document aa三4,e$2，选Cc2a2+b2率e2=a2a2x2y210椭圆石+厉-1（a一0）的焦点为F1，F2,两条准线与x轴的交点分别为M，N，若IMNI-2巴,IFFI-2c,c12，选D|MN|W2|FF|,则聖b0）的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A,B两点，a2b2直线l的倾斜角为60，AF二2FB，求椭圆的离心率？（焦半径公式PF二a+ex11PF=aex的应用左加右减，弦长公式d=十1+k2xx|,k为直线的斜率）22122椭圆方程C:-+若=1（ab0）的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在a2b2b2点P满足

15、线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的范围？（焦准距的应用）c3若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？（关于a，c的二元二次方程ma2+nac+PC2二0解法）4已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴上的一个端点，线段BF的延长线交C于D，且BF二2FD，则C的离心率为？（相似三角形性质：对应边成比例的应用）5.过椭圆C:+啟=1（ab0）的左焦点F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF丄x轴，直a2b2线AB交y轴于点P，若AP二2PB，则椭圆的离心率为？（相似三角形性质的应用）6过椭圆C:-+匸=1ab0）的左焦点F作x轴的垂线交椭圆于点P，F为右焦点，若a2

16、b2129八ZFPF二60。，则椭圆的离心率为？（椭圆焦三角形面积S=b2tan三（9=ZFPF）122127已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率？（椭圆基本性质a2=b2+c2的应用）8.椭圆x2+4y2二1的离心率为？（椭圆基本性质a2=b2+c2的应用）9椭圆C:三+啟=1（ab0）的焦点为F，F，两条准线与x轴的交点为M，N，若a2b212MN2|FF2|，则该椭圆的离心率的取值范围是？（椭圆基本性质a2=b2+c2的应用）10设F1,F2分别是椭圆C:a2+b2=l（abo）的左、右焦点若在其右准线上存在点P，使b2线段PF的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是？（焦

17、准距；垂直平分线性质：垂12c直平分线上的点到线段两端距离相等；三角形性质：两边之和大于第三边应用）11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为、迈，焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的2b2a2离心率为？（通径，焦准距）ac12已知椭圆C:+話=1（ab0）的左右焦点分别为FF2，若椭圆上存在点P使a_csinPFFsinPFF1221则该椭圆的离心率的取值范围是？正弦定理absinAsinBcsinC第一定义|PF|+|PF|=2a在平面直角坐标系中，A,A,B,B为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线AB与直线BF1212121相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭

18、圆的离心率为？（直线方程交点坐标）7在AABC中，AB=BC,cosB=-.若以A,B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率18（通径巴作圆M的两条为？（余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，第一定义）15.已知正方形ABCD，则以A,B为焦点，且过两点C,D的椭圆的离心率为?16.已知椭圆的焦距为2c，以点O为圆心,（a2）为半径作圆M。若过点P,0Ic丿切线相互垂直，则该椭圆的离心率为？（基本性质）17已知F,F分别是椭圆的左、右焦点，满足MF-MF二0的点M总在椭圆的内部，则椭圆1212离心率的取值范围是？（圆周角:圆直径所对的圆周角等于90）318.过椭圆左焦点F且倾斜角为60。的直线交椭圆于A,B两点，若|FA|=|FB|，则椭圆的离心率为？（焦半径公式，弦长公式J1+k2x1-xJ）已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为？椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为？21已知椭圆的短轴的上下端点分别为B,B，左右焦点分别为F,F，长轴右端点为A，若1212FA+FB+FB二0，则椭圆的离心率