双曲线知识点与性质大全

1、双曲线与方程【学问梳理】1、双曲线的定义（1）平面内,到两定点 F 、F 的距离之差的肯定值等于定长 2 a F F 2 2 , a a 0 的点的轨迹称为双曲线,其中两定点 F 、F 称为双曲线的焦点,定长 2a 称为双曲线的实轴长,线段 F F 2 的长称为双曲线的焦距 . 此定义为双曲线的第肯定义 .【注】PF 1 PF 2 2 a F F 2,此时 P 点轨迹为两条射线 .（2）平面内,到定点的距离与到定直线的距离比为定值 e e 1 的点的轨迹称为双曲线,其中定点称为双曲线的焦点,定直线称为双曲线的准线,定值 e 称为双曲线的离心率 . 此定义为双曲线的其次定义 .2、双曲线的简洁性

2、质标准方程x2y21a b0cy2x21a b0ca22 b2 ab2顶点坐标Aa,0B0,a焦点坐标左焦点F 1c ,0,右焦点F 2,0上焦点F 10,c ,下焦点F 20,虚轴与虚轴实轴长 2a 、虚轴长 2b实轴长 2a 、虚轴长 2b有界性xaya,对称性关于 x 轴对称,关于y 轴对称,同时也关于原点对称.3、渐近线双曲线x2y21a b0的渐近线为x2y20,即xy0,或ybx.a22 ba2b2aba【注】与双曲线x2y21具有相同渐近线的双曲线方程可以设为x2y20；. 共轭双曲线具有相a22 b2 ab2渐近线为ybx的双曲线方程可以设为2 xy20；aa22 b共轭双曲线

3、：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线同的渐近线 .等轴双曲线： 实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线 .4、焦半径双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径. 如P x 0,y0为双曲线x2y21a b0上的任意一点,2 ab2F 1c ,0,F 2 ,0为双曲线的左、右焦点,就|PF 1|ex 0a,|PF 2|ex 0a ,其中ec a.5、通径过双曲线x2.y21a b0焦点 F 作垂直于虚轴的直线,交双曲线于A 、 B 两点,称线段AB 为双曲线的通径,a22 b且AB2b2a6、焦点三角形P 为双曲线2 xy21a b0上的任意一点,F 1

4、c ,0,F c 2 ,0为双曲线的左右焦点,称PF F 为双曲线的焦点a22 b三角形 . 如F PF 2,就焦点三角形的面积为：SF PF 12b2 cot2.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长） .a y08、双曲线2 xy21a b0的焦点三角形的内心的轨迹为x2 ab29、直线与双曲线的位置关系直线l:AxByC0,双曲线：2 xy21a b0,就.a2b2l 与相交2 2a A2 b B22 C ；l 与相切2 2a A2 b B22 C ；l 与相离2 2a A2 b B22 C .10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点【注】 过平面内肯定点作直线与双

5、曲线只有一个交点,这样的直线可以为 11、焦点三角形角平分线的性质4 条、 3 条、 2 条,或者 0 条.点P x y , 是双曲线x2y2aM 是F PF 的角平分线上一点,且21a b0上的动点,F F 是双曲线的焦点,a2buuuur uuur F M MPa ,即动点 M 的点的轨迹为2 xy22 ax.0,就 OM12、双曲线上任意两点的坐标性质A x 1,y 1,B x 2,y 2为双曲线x2y21a b0上的任意两点,且x 1x 2,就2 y 12 y 2b2.222 x 1x2 22aba【推广1】直线 l 过双曲线x2y21a b0的中心,与双曲线交于A x 1,y 1,B

6、 x 2,y2两点, P 为双曲线上的任a22 b意一点,就kAPk BP2 b（kAP,kBP均存在） .于 C、D两点,交直线l2：yk x于点 E 如 E2 a【推广 2】设直线l1：yk xm m0交双曲线2 xy21a b0a2b2为 CD的中点,就k k22 b.a213、中点弦的斜率直线 l 过Mx 0,y0y00与双曲线x2y21a b0交于A B 两点,且 AMBM ,就直线 l 的斜率kAB2 b x 02 a y 0.a22 b14、点P x y , x0,y0是双曲线x2y21a b0上的动点,过P 作实轴的平行线,交渐近线于M N 两a2b2点,就 PM PN定值2

7、a .2 xy21a b0上的动点, 过 P 作渐近线的平行线,交渐近线于M N 两15、点P x y , x0,y0是双曲线a2b2点,就SYOMPN定值ab . 2【典型例题】例 1、 双曲线的渐近线方程为yx2y0,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_.【变式 1】如曲线x2k121表示双曲线,就k 的取值范畴是 _.4k【变式 2】双曲线2 xy21的两条渐近线的夹角为_._.48【变式 3】已知椭圆x2y21和双曲线x22 y1有公共的焦点, 那么双曲线的渐近线方程为3 m 25 n 22 m 23 n 2【变式4】如椭圆x2y21 mn0和双曲线x2y21 a0,b0有相同焦点F 、

8、F , P 为两曲线的一个交mnab点,就PF 1PF 2_.的图像与曲线C x22 y4恰好有两个不同的公共点,就实数的取值范畴是【变式5】假如函数yx2（）xB. 1,0C:x2C. , 1U0,1A,D. 1,0U1,A 1,1【变式6】 直线2与双曲线y21的渐近线交于B两点,设P 为双曲线 C 上的任意一点,如4OP2a OAb OBa ,bR ,O为坐标原点 ,就以下不等式恒成立的是（）B.a2b21A.ab222C.a2b22D.2 a2 b12【变式7】设连接双曲线x2y21与y22 x1的四个顶点为四边形面积为S , 连接其四个焦点的四边形面积a2b2b22 a为S ,就S

9、1的最大值为 _.2 y1的 左 右 焦 点 , 如 点 P 在 双 曲 线 上 , 且uuur uuuur PF PF 2=0, 就S 2例2 、 设F 1、F 2分 别 是 双 曲 线x29uuur PF 1uuuur PF 2=_.y21的左焦点F 的弦AB6,就ABF （F 为右焦点）的周长为_.【变式 1】过双曲线x2109【变式 2】双曲线x2y21的左、右焦点F 、F , P 是双曲线上的动点,且PF 19,就PF2_.1620例 3、设F 1、F2是双曲线x22 y1的两个焦点, 点 P 是双曲线的任意一点,且F PF 23,求PF F 的面积 .4例 4、已知直线ykx1与双

10、曲线3x2y21有 A、B两个不同的交点,假如以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求 k 的值 .例 5、已知直线ykx1与双曲线3x2y21相交于 A、B两点,那么是否存在实数k 使得 A、B两点关于直线x2y0对称？如存在,求出k 的值；如不存在,说明理由.求此直线的斜率例 6、已知双曲线x 2y21的右焦点为 F , 如过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,124的取值范畴为 _.【变式 1】已知曲线 C :2 xy y1x4；（1）画出曲线 C 的图像；（2）如直线 l ：ykx1与曲线 C 有两个公共点,求k 的取值范畴；PQ 的最小值 .（3）如P0,pp0, Q 为曲线

11、 C 上的点,求【变式 2】直线 l ：axy10与曲线 C ：x22y21 .（1）如直线 l 与曲线 C 有且仅有一个交点,求实数a 的取值范畴；.（2）如直线 l 被曲线 C 截得的弦长PQ2 1a2,求实数 a 的取值范畴；（3）是否存在实数a ,使得以 PQ 为直径的圆经过原点,如存在,求出a 的值；如不存在,请说明理由例 7、 已知 F 是双曲线x2y211的左焦点,A , , P 是双曲线右支上的动点,求和PF5PA 的最小值 .412【变式】P 是双曲线x2y2的右支上一点,M N 分别是圆x52y24x2y21上的点,就916PMPN 的最大值等于 _.y21和x52y249

12、都外切,求动圆圆心P 的轨迹方程 .例 8、 已知动圆 P 与两个定圆x52【变式1】ABC 的顶点为A5 0, ,B5,0,ABC的内切圆圆心在直线x3上,就顶点C 的轨迹方程是_.【变式 2】已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为F7,0,直线yx1与其相交于 M、N两点,线段 MN的中点的横坐标为2 x2,求此双曲线的方程._.3例 9、 已知双曲线y21,如点 M 为双曲线上任一点,就它到两渐近线距离的乘积为916例 10、焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线经过原点,且两条渐近线均与以点P0,2为圆心,以1 为半径的圆相切,又知双曲线C 的一个焦点与P 关于直线 yx 对称（1）

13、求双曲线的方程；（2）设直线ymx1 与双曲线 C 的左支交于A B 两点,另始终线l 经过点M 2,0及 AB 的中点,求直线l 在轴上的截距 n 的取值范畴 .【变式】设直线l 的方程为ykx1,等轴双曲线 C ：x2y22 a 右焦点为2,0.（1）求双曲线的方程；（2）设直线 l 与双曲线的右支交于不同的两点A、B, 记 AB 中点为 M ,求实数 k 的取值范畴, 并用 k 表示点 M 的坐标；（3）设点Q1,0,求直线 QM 在 y 轴上的截距的取值范畴.例 11、已知双曲线 C 方程为：2 x2 y1.2（1）已知直线xym0与双曲线 C 交于不同的两点A、B,且线段 AB 的中

14、点在圆x2y25上,求 m 的值；（2）设直线 l 是圆 O ：x2y22上动点P x0,y 0（x y00）处的切线, l 与双曲线 C 交于不同的两点A、B,证明AOB 的大小为定值 .例 12、已知中心在原点,顶点A 1、A 2在 x 轴上,其渐近线方程是y2 3x ,双曲线过点P6,6.3（1）求双曲线的方程；（2）动直线 l 经过A PA 的重心 G ,与双曲线交于不同的两点M、N,问：是否存在直线 l ,使 G 平分线段 MN ,证明你的结论 .例13、已知点F 、F 为双曲线 C ：x2y21b0的左、右焦点,过F 作垂直于 x 轴的直线,在x 轴上方交双b2曲线 C 于点 M ,且MF1F 230圆 O 的方程是x2y2b2（1）求双曲线 C 的方程；（2）过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P 、P ,求PP 1PP 2的值；（3）过圆 O 上任意一点Qx 0y 0作圆 O 的切线 l 交双曲线 C 于 A 、B两点, AB 中点为 M ,求证：