Hill密码的加密论文（内含matlab程序代码）

1、Hill密码的加密，解密与破译摘要对于问题1.1：本文采用密码通信，对明文进行加密。利用已知的密钥矩阵，首先，将密文转化为对应表值数字。其次，对密文的数字转化为矩阵。最后，对明文解密。对于问题1.2：本文给出一组明文和密文 ，二者满足构成密钥的条件，通过求解的到密钥，并进行问题1.1的解题过程破译这段密文。对于问题2.1：本文给出密码矩阵A，并求出该矩阵的值是否与26互素，加以判断。若互素则能成为密钥，否则不能构成密钥。对于问题2.2：利用问题2.1所给的密码矩阵A，按照问题1.1的解题思路，将得到的密文解密。对于问题2.3：本文给出一段密码的密文和其对应的明文，通过检验二者是否满足构成密钥的

2、条件，若满足解的密钥，并写出求解过程；若不满足加以说明。对于问题3：本文给出明文频数最高的字母TH和HE，及密文频数最高的字母RH和NI。两两组合得到两组“密钥”，并检验它们是否满足构成密钥的条件，若满足则解除密钥。对于问题4：本文给出频数最高的相邻明文字母KE和相邻密文字母LK，采用密码通信，利用所给字母与其他字母组合，构造22的矩阵，并检验是否满足构成密钥的条件，加以排除得到所要的密钥。若有满足条件的矩阵，破译所给密文。对于问题5：本文采用密码通信，根据26个字母搭配出22的所有矩阵，利用矩阵的值与26互质，加以排除不符合条件的矩阵，并求出满足条件的密钥，破译该段密文，再利用密文是否通顺加

3、以排除，得到所要的明文和密钥。关键字 密钥 mod（26）逆 mod（26）倒数 一、Hill2密码的数学模型的主要符号说明w Hill密钥的维数A 密钥矩阵S 明文Y 密文m 所用的表值编号YW 哑文二、Hill2密码的数学模型Hill2密码是一种传统的密码体制加密过程的具体步骤如下： （1）、根据明文字母的表值将明文信息用数字表示，设明文信息只需要26个拼音字母AZ（也可能不止26个，如还有数字、标点符号等），通信双方给出这26个字母表值（见表10.1明文字母的表值）。 （2）、选择一个二阶可逆整数方阵A，称为Hill2密码的加密矩阵，它是这个加密体制的“密钥”（是加密的关键，仅通讯双方掌

4、握）。问题(1)已给出了这个二阶矩阵。（3）、将明文字母依次逐对分组。Hill2密码的加密矩阵为二阶矩阵，则明文字母2个一组（可以推广至Hilln密码，则每n个明文字母为一组）。若最后一组只有一个字母，则补充一个没有实际意义的哑字母，这样使每一组都由2个明文字母组成。查出每个明文字母的表值，构成一个二维列向量。 （4）、A乘以，得一新的2维列向量=A，由的两个分量反查字母表值得到的两个字母即为密文字母。 以上4步即为Hill2密码的加密过程。解密过程，即为上述过程的逆过程。1、实际问题：1.1、问题陈述甲方收到与之有秘密通信往来的乙方的一个密文信息，密文内容：W O W U Y S B A C

5、 P G Z S A V C O V K P E W C P A D K P P A B U J C Q L Y X Q E Z A A C P P 按照甲方与乙方的约定，他们之间的密文通信采用密码，密钥为二阶矩阵，且汉语拼音的26个字母与0-25之间的整数建立一一对应的关系，称之为字母的表值，具体的表值见表1，问这段密文的原文是什么？1.2、问题分析：首先给出如下定义：定义 1：设为定义在集合上的 阶方阵，若存在一个定义在上的方阵，使得则称模可逆，为的 模逆矩阵，记为定义 2：设，若存在使得 ，则称为的 模倒数 或乘法逆，记作 。由于所有加密与解密过程都是在模26意义下进行的，所以要对一段明

6、文进行加密，必须使得密钥矩阵满足与26是互素的。根据程序画出流程如图如下：输入“A”密钥“密文”，“m”（所选表值）“w”(维数)判断密文长度是否能被w整除将密文转化为表值所对应的数据用哑文补充使其被w整除YesNo判断A是否在mod26下可逆加密输出结束YesNo1.3程序运行结果：Y =WOWUYSBACPGZSAVCOVKPEWCPADKPPABUJCQLYXQEZAACPP; m=1; A=1 2;0 3; YW=XYZ; S=jie_mi2(Y,A,YW,m)S =MEIGUOJIANGZAITAIPINGYANGJINXINGHAIDIHESHIYANN Y=jia_mi2(S,A

7、,YW,m) Y=WOWUYSBACPGZSAVCOVKPEWCPADKPPABUJCQLYXQEZAACPP2.1、问题陈述 甲方截获了一段密文：O J W P I S W A Z U X A U U I S E A B A U C R S I P L B H A A M M L P J J O T E N H 经分析这段密文是用密码编译的，且这段密码的字母UCRS一次代表字母TACO，问能否破译这段密文的内容？2.2、问题分析根据题意明文与密文存在一一对应关系：设，且存在：经过查表得到：所以，用穷举法得到满足上述等式的密钥矩阵，再进一步判断是否与26互素，若互素则可以求出在26意义下的模倒

8、数。模倒数表如下：表1a13579111517192123251921153197231151725显然，由上式所确定的密钥矩阵是惟一的，通过求解出模26意义下的密钥逆矩阵进行解密。2.3、程序运算结果 a=TACO; b=UCRS; m=1; A=qiujie_miyao(a,b,m)A = 1 1 0 3 Y=OJWPISWAZUXAUUISEABAUCRSIPLBHAAMMLPJJOTENH; YW2=XYZ; S=jie_mi2(Y,A,YW,m)S =CLINTONISGOINGTOVISITACOUNTRYINMIDDLEEASTT二、实验任务问题11.1、问题陈述在问题（2）中，

9、若已知密文的前4个字母OJWP分别代表TACO，问能否将此密文破译？不能，因为解得的密钥的行列式与26不互素，不能得到对应的模26逆矩阵。求解密钥矩阵流程图如下输入“ming_wen”,”mi_wen”,”w”,“w”,m为对应的表值，w为对维数判断密钥矩阵行列式是否为1Yes输出结束NoooooooO20561oooo1.2、运行结果 a=TACO; b=OJWP; m=1; A=qiujie_miyao(a,b,m)A = 16 724 24 D=det(A)D = 216 n=gcd(D,26)n =2问题二利用密码体制的原理，根据给定的26个英文字母的乱序表值（见表2），设计与建立密码

10、体制的加密，解密与破译框图并建立必要的计算机程序，设英文26个字母以下面的乱序表与中的整数对应：表2ABCDEFGHIJKLM523220101584182501613NOPQRSTUVWXYZ7311961224211714221192.1.1、问题陈述设，验证矩阵A能否作为密码体制的加密矩阵，用框图画出你的验算过程，并编写相应的计算机程序。2.1.2、问题分析A可用作密钥，因为其行列式值为-1，与26互素。2.1.3、运行结果编程计算得A的模26逆矩阵如下： A =invmod(A)A = 23 20 5 1 2 11 18 1 2 20 6 2525 2 22 25det(A)|A| =

11、-1.00002.2.1、问题陈述设明文为HILLCRYPTOGRAPHICSYSTEMISTRADITIONAL.利用上面的表值与加密矩阵给明文加密，并将得到的密文解密。画出加密与解密过程的框图并编写相应的计算机程序。框图如下：2.2.2、运行结果 A=8 6 9 5;6 9 5 10;5 8 4 9;10 6 11 4; YW=Z; m=2; w=4; S=HILLCRYPTOGRAPHICSYSTEMISTRADITIONAL; Y=jia_mi2(S,A,YW,m,w)Y =KEGTKPNJKYXRLAOLMZTPVYTUNHZSCEGDZRPZ S=jie_mi2(Y,A,YW,m,

12、w)S =HILLCRYPTOGRAPHICSYSTEMISTRADITIONAL2.3.1、问题陈述已知在上述给定表值下的一段密码的密文为：JCOWZLVBDVLEQMXC，对应的明文为DELAYOPERATIONSU，能否确定对应的加密矩阵？给出你的判断过程。能。232、运行结果 a=DELAYOPERATIONSU; b=JCOWZLVBDVLEQMXC; m=2; w=4; A=qiujie_miyao(a,b,m,w)A = 8 6 9 5 6 9 5 10 5 8 4 910 6 11 4问题33.1、问题重述设已知一份为密码体系，其中出现频数最高的双字母是RH和NI，而在明文语言

13、中，出现频数最高的双字母为TH和HE。由这些信息按表3给出的表值能得到什么样的加密矩阵？表3ABCDEFGHIJJKLM0123456789101112NOPQRSTUVWXYZ131415161718192021222324253.2、问题分析不能，因为两组组合解得的两个矩阵的行列式值都不与26互素，不能得到对应的模26逆矩阵。3.3、运行结果 a=THHE; b=RHNI; m=3; w=2; A=qiujie_miyao(a,b,m,w)A = 3 24 24 25 D=gcd(det(A),26)D = 1 b=NIRH; A=qiujie_miyao(a,b,m,w) b=NIRH;

14、A=qiujie_miyao(a,b,m,w)A = 11 24 9 25 D=gcd(det(A),26)D = 1问题44.1、问题重述如下的密文据表1以Hill2加密，密文为VIKYNOTCLKYRJQETIRECVUZLNOJTUYDIMHRCFITQ已获知其中相邻字母LK表示字母KE，试破译这份密文。4.2、问题分析通过密文LK对应的明文KE得出：，且存在，其中为密钥。所以，求得的必满足：4.3、运行结果a=KE; b=LK; Y=VIKYNOTCLKYRJQETIRECVUZLNOJTUYDIMHRCFITQ; m=1; SJ=po_yi04(Y,a,b,m)问题55.1、问题重述

15、找出元素属于的所有可能的密码加密矩阵。若截获了如下一段密文UTCQCVFOYQUVMGMGULFOEYHDUHOPEASWXTIFBAMWT且已知它是根据表1按密码体制加密的，你能否将其解密？5.2、问题分析能，将密文通过所有可能密钥进行解密，对结果进行筛选，进行人工分析即可得出结果。程序：%加密程序%function mi_wen=ja_mi(A,ming_wen,m,w)%A为解密矩阵，m为选取参考表值类型，w维数n=length(ming_wen);switch m%将密文转换相应的数字 case 1 ming_wen=zimu_to_shuzi1(ming_wen); case 2 m

16、ing_wen=zimu_to_shuzi2(ming_wen); case 3 ming_wen=zimu_to_shuzi3 (ming_wen); endZ=;if mod(n,w)=0 S=ming_wen;else for i=1:w-mod(n,w)%判断密文长度是否能被w整除 Z(i)=ming_wen(n); S=ming_wen,Z; endendming_wen=S;n=length(ming_wen);H=zeros(w,n/w);for i=1:n/w H(:,i)=ming_wen(i*w-w+1:i*w);endmi_wen=mod(A*H,26);C=;for i

17、=1:n/w C=C,mi_wen(:,i);endmi_wen=C;switch m%将密文转换相应的数字 case 1 mi_wen=shuzi_to_zimu1(mi_wen); case 2 mi_wen=shuzi_to_zimu2(mi_wen); case 3 mi_wen=shuzi_to_zimu3(mi_wen); endmi_wen=char(mi_wen);end%解密程序%function ming_wen=jie_mi(A,mi_wen,m,w)%解密%A为解密矩阵，m为选取参考表值类型，w维数n=length(mi_wen);switch m case 1 mi_

18、wen=zimu_to_shuzi1(mi_wen);%将密文转换相应的数字 case 2 mi_wen=zimu_to_shuzi2(mi_wen);%将密文转换相应的数字 case 3 mi_wen=zimu_to_shuzi3(mi_wen);%将密文转换相应的数字 endZ=;if mod(n,w)=0 S=mi_wen;else for i=1:w-mod(n,w)%判断密文长度是否能被w整除 Z(i)=mi_wen(n); S=mi_wen,Z; endendmi_wen=S;n=length(mi_wen);H=zeros(w,n/w);for i=1:n/w H(:,i)=mi

19、_wen(i*w-w+1:i*w);endB=invmod(A);B=mod(B,26);ming_wen=mod(B*H,26);C=;for i=1:n/w C=C,ming_wen(:,i);endming_wen=C;switch m case 1 ming_wen=shuzi_to_zimu1(ming_wen);%将密文转换相应的数字 case 2 ming_wen=shuzi_to_zimu2(ming_wen);%将密文转换相应的数字 case 3 ming_wen=shuzi_to_zimu3(ming_wen);%将密文转换相应的数字 endming_wen=char(mi

20、ng_wen);end%密钥求解%function A=miyao_qiujie(a,b,m,w)%求解密钥矩阵%a为明文，b为密文，m为所选表值，w为密钥矩阵维数switch m case 1 a=zimu_to_shuzi1(a); b=zimu_to_shuzi1(b); case 2 a=zimu_to_shuzi2(a); b=zimu_to_shuzi2(b); case 3 a=zimu_to_shuzi3(a); b=zimu_to_shuzi3(b);endswitch w case 2%二维密钥 ac=; bd=; for i=0:25 for j=0:25 ifmod(i

21、*a(1)+j*a(2),26)=b(1)&mod(i*a(3)+j*a(4),26)=b(3) ac=i,j; end if mod(i*a(1)+j*a(2),26)=b(2)&mod(i*a(3)+j*a(4),26)=b(4) bd=i,j; end end end A=ac;bd; case 3%三维密钥 abc=; def=; ghi=; for i=0:25 for j=0:25 for k=0:25 if mod(i*a(1)+j*a(2)+k*a(3),26)=b(1)&mod(i*a(4)+j*a(5)+k*a(6),26)=b(2)&mod(i*a(7)+j*a(8)+k

22、*a(9),26)=b(3) abc=i,j,k; end if mod(i*a(1)+j*a(2)+k*a(3),26)=b(4)&mod(i*a(4)+j*a(5)+k*a(6),26)=b(5)&mod(i*a(7)+j*a(8)+k*a(9),26)=b(6) def=i,j,k; end if mod(i*a(1)+j*a(2)+k*a(3),26)=b(7)&mod(i*a(4)+j*a(5)+k*a(6),26)=b(8)&mod(i*a(7)+j*a(8)+k*a(9),26)=b(9) ghi=i,j,k; end end end end A=abc;def;ghi; cas

23、e 4%四维密钥 abcd=; efgh=; ijkl=; mnop=; for i=0:25 for j=0:25 for k=0:25 for l=0:25 if mod(i*a(1)+j*a(2)+k*a(3)+l*a(4),26)=b(1)&mod(i*a(5)+j*a(6)+k*a(7)+l*a(8),26)=b(2)&mod(i*a(9)+j*a(10)+k*a(11)+l*a(12),26)=b(3)&mod(i*a(13)+j*a(14)+k*a(15)+l*a(16),26)=b(4) abcd=i,j,k,l; end if mod(i*a(1)+j*a(2)+k*a(3)

24、+l*a(4),26)=b(5)&mod(i*a(5)+j*a(6)+k*a(7)+l*a(8),26)=b(6)&mod(i*a(9)+j*a(10)+k*a(11)+l*a(12),26)=b(7)&mod(i*a(13)+j*a(14)+k*a(15)+l*a(16),26)=b(8) efgh=i,j,k,l; end if mod(i*a(1)+j*a(2)+k*a(3)+l*a(4),26)=b(9)&mod(i*a(5)+j*a(6)+k*a(7)+l*a(8),26)=b(10)&mod(i*a(9)+j*a(10)+k*a(11)+l*a(12),26)=b(11)&mod(

25、i*a(13)+j*a(14)+k*a(15)+l*a(16),26)=b(12) ijkl=i,j,k,l; end if mod(i*a(1)+j*a(2)+k*a(3)+l*a(4),26)=b(13)&mod(i*a(5)+j*a(6)+k*a(7)+l*a(8),26)=b(14)&mod(i*a(9)+j*a(10)+k*a(11)+l*a(12),26)=b(15)&mod(i*a(13)+j*a(14)+k*a(15)+l*a(16),26)=b(16) mnop=i,j,k,l; end end end end A=abcd;efgh;ijkl;mnop; endendA;E

26、nd%密钥求逆%function Y=invmod(A)D=det(A);D=round(D);if gcd(D,26)=1 disp(Error!);else for i=1:25 if mod(i*D,26)=1 break; end; end; invD=i; Y=mod(D*inv(A)*invD,26);endY=round(Y);%破译密文%function ming_wen=po_yi04(mi_wen,m)a=KE;b=LK;AS=miyao_qiujie04(a,b);n=length(AS);ming_wen=;w=2;for i=1:n C=jie_mi(AS(:,:,i

27、),mi_wen,m,w); ming_wen=ming_wen;C;endming_wen=abs(ming_wen);dlmwrite(data.txt,ming_wen,newline,PC);end附录资料：MATLAB的30个方法1 内部常数pi 圆周率 exp(1)自然对数的底数ei 或j 虚数单位Inf或 inf 无穷大 2 数学运算符a+b 加法a-b减法a*b矩阵乘法a.*b数组乘法a/b矩阵右除ab矩阵左除a./b数组右除a.b数组左除ab 矩阵乘方a.b数组乘方-a负号 共轭转置.一般转置3 关系运算符=等于大于=大于或等于=不等于4 常用内部数学函数 指数函数exp(x

28、)以e为底数对数函数log(x)自然对数，即以e为底数的对数log10(x)常用对数，即以10为底数的对数log2(x)以2为底数的x的对数开方函数sqrt(x)表示x的算术平方根绝对值函数abs(x)表示实数的绝对值以及复数的模三角函数（自变量的单位为弧度）sin(x)正弦函数cos(x)余弦函数tan(x)正切函数cot(x)余切函数sec(x)正割函数csc(x)余割函数反三角函数 asin(x)反正弦函数acos(x)反余弦函数atan(x)反正切函数acot(x)反余切函数asec(x)反正割函数acsc(x)反余割函数双曲函数 sinh(x)双曲正弦函数cosh(x)双曲余弦函数t

29、anh(x)双曲正切函数coth(x)双曲余切函数sech(x)双曲正割函数csch(x)双曲余割函数反双曲函数 asinh(x)反双曲正弦函数acosh(x)反双曲余弦函数atanh(x)反双曲正切函数acoth(x)反双曲余切函数asech(x)反双曲正割函数acsch(x)反双曲余割函数求角度函数atan2(y,x)以坐标原点为顶点，x轴正半轴为始边，从原点到点（x，y）的射线为终边的角，其单位为弧度，范围为（ ， 数论函数gcd(a,b)两个整数的最大公约数lcm(a,b)两个整数的最小公倍数排列组合函数factorial(n)阶乘函数，表示n的阶乘 复数函数 real(z)实部函数i

30、mag(z)虚部函数abs(z)求复数z的模angle(z)求复数z的辐角，其范围是（ ， conj(z)求复数z的共轭复数求整函数与截尾函数ceil(x)表示大于或等于实数x的最小整数floor(x)表示小于或等于实数x的最大整数round(x)最接近x的整数最大、最小函数max(a，b，c，)求最大数min(a，b，c，)求最小数符号函数 sign(x)5 自定义函数-调用时：“返回值列=M文件名（参数列）”function 返回变量=函数名（输入变量） 注释说明语句段（此部分可有可无）函数体语句 6进行函数的复合运算compose(f,g) 返回值为f(g(y)compose(f,g,z

31、) 返回值为f(g(z)compose(f,g,x,.z) 返回值为f(g(z)compose(f,g,x,y,z) 返回值为f(g(z)7 因式分解syms 表达式中包含的变量 factor(表达式) 8 代数式展开syms 表达式中包含的变量 expand(表达式)9 合并同类项syms 表达式中包含的变量 collect(表达式，指定的变量)10 进行数学式化简syms 表达式中包含的变量 simplify(表达式)11 进行变量替换syms 表达式和代换式中包含的所有变量 subs(表达式，要替换的变量或式子，代换式)12 进行数学式的转换调用Maple中数学式的转换命令，调用格式如下

32、：maple(Maple的数学式转换命令) 即：maple(convert(表达式，form)将表达式转换成form的表示方式 maple(convert(表达式，form, x) 指定变量为x，将依赖于变量x的函数转换成form的表示方式（此指令仅对form为exp与sincos的转换式有用） 13 解方程solve(方程，变元) 注：方程的等号用普通的等号： = 14 解不等式调用maple中解不等式的命令即可，调用形式如下： maple(maple中解不等式的命令)具体说，包括以下五种：maple( solve（不等式）) maple( solve（不等式，变元） ) maple( so

33、lve（不等式，变元） ) maple( solve（不等式，变元） ) maple( solve（不等式，变元） )15 解不等式组调用maple中解不等式组的命令即可，调用形式如下： maple(maple中解不等式组的命令) 即：maple( solve（不等式组，变元组） )16 画图方法：先产生横坐标的取值和相应的纵坐标的取值，然后执行命令： plot(x,y) 方法2：fplot(f(x)，xmin,xmax) fplot(f(x)，xmin,xmax,ymin,ymax) 方法3：ezplot(f(x) ezplot(f(x) ,xmin,xmax) ezplot(f(x) ,x

34、min,xmax,ymin,ymax) 17 求极限（1）极限：syms x limit(f(x), x, a) （2）单侧极限：左极限：syms x limit(f(x), x, a,left)右极限：syms x limit(f(x), x, a,right) 18 求导数diff(f(x) diff(f(x),x) 或者：syms x diff(f(x) syms x diff(f(x), x) 19 求高阶导数 diff(f(x)，n) diff(f(x),x，n)或者：syms x diff(f(x)，n)syms x diff(f(x), x，n) 20 在MATLAB中没有直接求隐函数导数的命令，但是我们可以根据数学中求隐函数导数的方法，在中一步一步地进行推导；也可以自己编一个求隐函数导数的小程序；不过，最简便的方法是调用Maple中求隐函数导数的命令