破解椭圆中最值问题的常见策略

1、破解椭圆中最值问题的常见策略第一类：求离心率的最值问题破解策略之一：建立a, b, c的不等式或方程2例1 ：若A,B为椭圆xa 2y 21（a b 0）的长轴两端点，Q为椭圆上一点，使 AQB 1200，求此椭圆离心率的最小值。分析：建立a,b,c之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中x, y的取值进行求解离心率的最值。解：不妨设 A(a,O),B( a,0),Q(x, y)，则 Raqyo，利用到角公式及 AQB 120得：aytan 12O0 ya(xa），又点A在椭圆上

2、,故x22b7 y，消去x，化间得y 、3c2又 b即 2ab 2,3c2b 则 4a2(a2c2)3c4，从而转化为关于e的高次不等式 3e4 4e240解得e31。故椭圆离心率的最小值为_6。（或2ab33.，3（a f），得：0 彳彳，由e J （：）2，故 ye 1)(注:本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）点评：对于此类最值问题关键是如何建立a,b,c之间的关系。常用椭圆上的点（x, y）表示成a, b,c，并利用椭圆中x, y的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围2 2例2：已知椭圆C:务与1（a b 0）两个焦点为F1,F2，如果曲

3、线C上存在一点Q，使F1Q F2Q，求椭圆离心 a b率的最小值。分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得:2cPF1PF2PF1PF22a故sincossin 90sinsinsincos12，故椭圆离心率的最小值为.2 sin（ 450）点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。第二类：求点点（点线）的最值问题破解策略之三：建立相关函数并求函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法）2 2例3：（ 05年上海）点A、B分别是椭圆x

4、 L 1长轴的左、右端点，点 F是椭圆的右焦点，点 P在椭圆上，且3620位于x轴上方，PA PF。1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于I MB I，求椭圆上的点到点 M的距离d的最小值。分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此本题两点距离可转化成二次函数的最值问题进行求解。解：（1）略（2）直线AP的方程是x 3 y+6=0。设点M（ m ,0）,则M到直线AP的距离是十口 |m6|,于是=m 6 ,又6 m m m 6解得m =2。设椭圆上的点（x , y ）到点M距离dd2 (x 2)2 y2x 4x24 205x2- (x9)21

5、5,由于6mm 6,当 x =9 时,d 取得最小值9922点评：对于此类最值问题关键是如何将点点之间的最值问题转化成我们常见函数一一二次函数的最值问题求解。破解策略之四：利用椭圆定义合理转化例4 :定长为d d 泌的线段AB 的两个端点分别在椭圆笋兽1（a b 0）上移动，求AB的中点M到椭圆右准线I的最短距离。*1FJi解：设F为椭圆的右焦点，如图作AAI 于 A,BB丄I于B, MM丄I于M，则| MM / |AA /BB /AFeBFe2eAF 丨 | BFAB2ed2e当且仅当AB过焦点F时等号成立。故 M到椭圆右准线的最短距离为 。2e2b2点评： 乩是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长

6、的最小值a2b2,d 丝是AB过焦点的充要条件。通过定义转化避免各种a烦琐的运算过程。第五类：求线段之和（或积）的最值问题破解策略之五：利用垂线段小于等于折线段之和。2x例7:若椭圆一42y1内有一点P 1,1 , F为右焦点，椭圆上的点 M使得|MP | 2|MF |的值最小，则点 M的32.6(,1) B .3333 ,1)C . (1, 3)D.匹)1提示：联系到e 将2 |MF |用第一定义转化成点到相应准线的距离问题，利用垂线段最短的思想容易得到正确答2案。选B。思考：将题中的 2去掉会怎样呢？破解策略之六：利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边例&如图，在直线l :

7、 x y 90上任意取一点 M，经过M点且以椭圆2x122y1的焦点作椭圆，问当 M在何3处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？分析：要使所作椭圆的长轴最短， 当然想到椭圆的定义。 基本的解题思路如下：长轴最短三点一直线寻求对称对称变换。在一系列的变化过程中巧妙的运用对称，使我们找到一种简明的解题方法。通过此对称性主要利用| NF! | | NF2 | | F2 F1/ |解：椭圆的两焦点分别为 Fi （- 3, 0） 作F1关于直线I的对称点F；，则直线F1F1的方程为x y 3x y3由方程组得p的坐标（一6,3）,x y9由中点坐标公式得的 F；坐标（一9,6 ）,所以直线F2

8、F1的方程x解方程组 2y 3得m点坐标（5,4）。由于F1F2J180 2a 6/5,x y 9点评：对于此类最值问题是将所求的最值转化成三角形两边之和大于第三边或两点连线最短、垂线段最短的思想。解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量 u 1, k 或u m,n ；（2）给出OA OB与AB相交，等于已知OA OB过AB的中点；（3） 给出PM 一 PN0 ,等于已知P是MN的中点；（4）给出AP AQ BP BQ ,等于已知 代B与PQ的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一： AB / AC ；存在实数 ，使ABAC ;若存在实数UULffUUU UUU,且1,

9、使OC OA OB,等于已知A,B,C三点共线. OA OB（6） 给出OP，等于已知P是AB的定比分点， 为定比，即 AP PB1（7） 给出MA MB 0 ,等于已知MA MB ,即 AMB是直角，给出MA MB m 0,等于已知 AMB是钝角， 给出MA MB m 0,等于已知 AMB是锐角，（8）给出MA MBMA MBMP ,等于已知MP是 AMB的平分线/（9）在平行四边形 ABCD中，给出（AB AD） （AB AD） 0，等于已知 ABCD是菱形；uuu uuur uuu uult（10）在平行四边形 ABCD中，给出|AB AD | | AB AD |，等于已知 ABCD是矩形；-2 -2 2（11）在 ABC中，给出OA OB OC，等于已知O是 ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心 是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在 ABC中，给出OA OB OC 0,等于已知O是 ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交 点）；（13）在 ABC中，给出OA OB OB OC OC OA，等于已知 O是 ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在 ABC中，给出OP OAmuuuur(-uuuuuu)(|AB| |AC