专题25《全等三角形的存在性》

1、 专题 25全等三角形的存在性破解策略全等三角形的存在性问题的解题策略有：（1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固 定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或 列方程来求解（2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应 相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角 对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等 例题讲解例 1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2bx4 与 x 轴的一个交点为 A（2， 0），与 y 轴的交点为

2、C，对称轴是 x3，对称轴与 x 轴交于点 B（1）求抛物线的表达式；（2）若点 D 在 x 轴上，在抛物线上是否存在点 P，使得PBDPBC?若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若点 M 在 y 轴的正半轴上，连结 MA，过点 M 作 MA 的垂线，交抛物线的对称轴于点 N问：是否存在点 M，使以点 M、A、N 为顶点的三角形 eq oac(,与)BAN 全等？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由题意可列方程组4a 2b 4 0 b 3 2 a，解得a 3b 214，1 3所以抛物线的表达式为 y x 2 x 4 4 21 3 2 ， 1 2 2 ，

3、解得 ，3 4 2 4m25 1 2 5 215 212 21 2 2 2 4mn 2 （2）显然 OA2， OB3， OC4 所以 BC OB2OC25 BA 若 eq oac(,P) eq oac(, )BDPBC，则 BD BC5，PDPC所以 D 为抛物线与 x 轴的左交点或右交点，点 B，P 在 CD 的垂直平分线上， 若点 D 为抛物线与 x 轴的左交点，即与点 A 重合如图 1，取 AC 的中点 E，作直线 BE 交抛物线于 P （x ，y ），P （x y ）两点1 1 1 2 2 2此时 eq oac(,P) eq oac(, )BC eq oac(,P) eq oac(,

4、)BD， eq oac(,P) eq oac(, )BC eq oac(,P) eq oac(, )BD1 1 2 2由 A、C 两点的坐标可得点 E 的坐标为（1，2）所以直线 BE 的表达式为 y x 2 2联立方程组 1 3y x 2 21 3y x x 4 4 2，解得x 4 26 x 4 26 1 21 26 1 26 y y 2 2所以点 P ，P 的坐标分别为（4 一 26 ， 1 21 2621 26）（4 26 ， ）2若 D 为抛物线与 x 轴的右交点，则点 D 的坐标为（8，0）如图 2，取 CD 的中点 F作直线 BF 交抛物线于 P （x ，y ），P （x ，y ）

5、两点3 3 3 4 4 4此时 eq oac(,P) eq oac(, )BC eq oac(,P) eq oac(, )BD， eq oac(,P) eq oac(, )BC eq oac(,P) eq oac(, )BD3 3 4 4由 C、D 两点的坐标可得点 F 的坐标为（4，2），所以直线 BF 的表达式为 y2x6联立方程组y 2 x 6 1 3y x x 4 4 2x141 x141 y382 41 y482 41所以点 P ，P 的坐标分别为（1 41 ，82 41 ），（ 1 41 ，82 41 ）， 3 4综上可得，满足题意的点 P 的坐标为（4 一 26 ，1 2621

6、26），（4 26 ， ），2（1 41 ，82 41 ）或（1 41 ，82 41 ）（3）由题意可设点 M（0，m），N（3，n），且 m0，则 AM24m2，MN29（mn）2，BN2n2 而AMNABN900， 所以AMN 与ABN 全等有两种可能：当 AMAB，MNBN 时，m 21 m 21可列方程组 ，解得 ；9(mn) n n n 7 7所以此时点 M 的坐标为（0， 21 ）当 AMNB，MNBA 时，可列方程组： 9(mn) 25（舍）， 1 2 2 2 2 1 3 2 4 2 1 2 22 4 8 8BD 1， AE2 2 3， 即点 E 的坐标为（ 2 3 3m m 解

7、得 ， （舍） 5 5n n 2 2所以此时点 M 的坐标为（0，32）综上可得，满足题意的点 M 的坐标为（0， 21 ）或（0， ）2例 2 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，ABO 为等腰直角三角形，ABO 900，点 A 的坐 标为（40），点B 在第一象限若点 D 在线段 BO 上，OD 2DB，点 E，F 在OAB 的边上， 且满足DOF 与DEF 全等，求点 E 的坐标图 1解： 由题意可得 OA4，从而 OBAB 2 2 所以 OD 当点 F 在 OA 上时，（）若DFODFE，点 E 在 OA 上如图 1图 2OB ，BD OB 3 3 3 3此时 DFOA，所以 OFOD

8、 ，所以 OE2OF ，即点 E 的坐标为（ ，0） 2 3 3 3（）若DFODFE，点 F 在 AB 上，如图 2此时 EDOD2BD，所以 sinBED ；所以BED300，ED 2从而 BE 3 BD2 6 6 2 2 6 3 3过点 E 作 EGOA 于点 G则 EGAGAE 2 ， 2 3所以 OG 2 2 3 2 3 2 3， 2 3 3 3）图 3（）若DFOFDE，点 E 在 AB 上，如图 3图 42 48 8 48 x 此时 DEOA，所以 BDBE 从而 AEOD4 23，过点 E 作 EGOA 于点 G， 则 EGAGAE ，2 3所以 OG ，即点 E 的坐标为（

9、， ）3 3 3当点 F 在 AB 上时，只能有ODF AFD，如图 4 此时 DF0A且点 E 与点 A 重合，即点 E 的坐标为（4，0）综上可得，端足条件的点 E 的坐标为（ ，0），3（ 2 2 3 2 3 8 4， 2 ），（ ， ）或（4，0） 3 3 3 3进阶训练1如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y12x 2 3 x 8与 y 轴变于点 C直线 l； y43x与抛物线的对称轴交于点 E连结 CE，探究；抛物线上是否存在一点 F，使得FOEFCE若存在，请写出点 F 坐标；若不存在，请说明理由yOxECl答案：存在点 F 的坐标为（3 17，4）或（3 17，4）

10、2 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 A（1，0）且与 y 轴平行直线 l1 2k过点 B（0，2）且与 x 轴平行，直线 l 与 l 相交于点 PE 为直线 l 上一点，反比例函数 y1 2 2（k0）的图象过点 E 且与直线 l 相交干点 F1（1）若点 E 与点 P 重合，求 k 的值；（2）是否存在点 E 及 y 轴上的点 M，使得以点 M，E，F 为顶点的三角形 eq oac(,与)PEF 全等？ 若存在，求点 E 的坐标：若不存在，请说明理由l 1yyl2B E Pl2B PFOAxOAxl1备用图l1答案：（1）k23 8（2）存在点 E 的坐标为（ ，2）或（

11、 ，2）8 3k【提示】（2）易得点 E（ ，2），F（1，k）如图 1，当 k2 时，只能有MEFPEF过31点 F 作 FHy 轴于点 H，易证BMEHFM，用 k 表示相关线段的长度，从而得到 BM ，2再解 RtBME，得 k3 3，所以点 E 的坐标为（ ，2）；如图 2，当 k2 时，只能有 4 88MEFPFE 过点 F 作 FQy 轴于点 Q，同可得点 E 的坐标为（ ，2）3yyl2BE PQFMMHFl2BPEOxO Ax图1l1图23如图，抛物线yax2bx c经过 A（3，0），B（ 3 3 ，0），C（0，3）三点，线段 BC 与抛物线的对称轴交干 D，该抛物线的顶点

12、为 P，连结 PA，AD线段 AD 与 y 轴 相交于点 E（1）求该抛物线的表达式；（2）在平面直角坐标系中是否存在一点 Q使以 Q，C，D 为顶点的三角形 eq oac(,与)ADP 全等？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由yPCDA O Bx答案：（1）抛物线的表达式为y1 2 3x 23 3x 3（2）存在点 Q 的坐标为（3 3，4），（3，2），（2 3，1）或（0，7）【提示】（2）方法一：易求直线 BC：y33x 3，从而点 D 的坐标为（ 3 ，2），可得 CDPD，所以QCD 与ADP 全等有两种情况设点 Q 坐标，通过两点间距离公式列出 QC， QD，AP，AD 的长再分类讨论列方程组，从而求得点 Q 点坐标方法