2019届高三数学备考冲刺140分问题34椭圆双曲线抛物线与圆相结合问题(含解析)9895

1、2019届高三数学备考冲刺140分问题34椭圆、双曲线、抛物线与圆相联合问题(含分析)_98952019届高三数学备考冲刺140分问题34椭圆、双曲线、抛物线与圆相联合问题(含分析)_989529/292019届高三数学备考冲刺140分问题34椭圆、双曲线、抛物线与圆相联合问题(含分析)_9895问题34椭圆、双曲线、抛物线与圆相联合问题一、考情剖析经过近几年各地高考试题能够发现,对圆的考察在渐渐加深,并与圆锥曲线相联合在一同命题,成为一个新的动向.与圆有关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想联合能够体现标新立异的新奇试题.二、经验分享1.对于圆与圆锥曲线的订交问题，设出

2、交点，由交点(或韦达定理)联合条件解决问题，在求解过程中、数形联合是常用的翻开思路的方式、形是带路、数是依照、两者携手，解决问题就十拿九稳、设面不求、灵活消参是常用的策略。2.垂直问题的体现有多种形式，办理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形式转变，惯例的思路是:联立方程组消去成y,获得一个二次方程，设交点，韦达定理代人垂直的数目积坐标公式整理求解。3.波及弦长要注意圆的几何性质的应用。三、知识拓展以MN为直径的圆经过点P，则PMPN，可转变为PMPN0四、题型剖析(一)圆与椭圆的联合点1.1圆的几何性质与椭圆相联系【例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】已知椭圆C的中心在原点,离心

3、率为2,其右焦点是圆2：(x1)2y21的圆心1）求椭圆C的标准方程；2）如图,过椭圆C上且位于y轴左边的一点P作圆E的两条切线,分别交y轴于点M、N试推测能否存在点P,使|MN|14？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明原因3【剖析】(1)由已知条件分别求出a,c的值,而b2a2c2,代入求出椭圆的方程；(2)假定存在点P知足题意,设点（0）M(0,m),N(0,n),利用条件求出直线PM方程,依据圆心E(1,0)到直线PMP(x0,y0)x0,的距离为1,求出m与点P坐标之间的关系,同理求出n与点P坐标之间的关系,利用韦达定理求出n,mn的表达式,算出MN,求出P点坐标.【分析】（1）

4、设椭圆方程x2y21(ab0),半焦距为c,a2b2因为椭圆的右焦点是圆E的圆心,则c1,因为椭圆的离心率为2,则c2,即a2c2,2a2从而b2a22x2y21c1,故椭圆C的方程为2（2）设点P(x0,y0)（x00）,M(0,m),N(0,n),则直线PM的方程为yy0mm,即(ym)xxymx0,x0 x000因为圆心E(1,0)到直线PM的距离为1,即|y0mx0m|1,(y0m)2x02即(y0m)2x02(y0m)22x0m(y0m)x02m2,即(x02)m22y0mx00,同理(x02)n22y0nx00由此可知,m,n为方程(x02)x22y0 xx00的两个实根,因此mn

5、2y0,mnx02,x02x0|MN|mn|(mn)24mn4y024x04x024y02x0(x02)2x02(x02)2因为点P(x0,y0)在椭圆C上,则x02y021,即y021x02,22则|MN|2x028x042(x02)2424,(x02)2(x02)2(x02)2令2(x0414,2)23则(x02)29,212因为x00,则x01,y021x0,即y0,222故存在点P(1,2)知足题设条件2【评论】(1)办理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径组成直角三角形(2)圆的切线问题的办理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而成立关系解决问题【小试牛刀】已知椭

6、圆W:x2y21ab0的离心率为3,其左极点A在圆O:x2y216上.a2b22（）求椭圆W的方程；（）若点P为椭圆W上不一样于点A的点,直线AP与圆O的另一个交点为Q,能否存在点P,使得PQ3？若存在,求出点P的坐标；若不存在,说明原因.AP【答案】（I）x2y21；（II）不存在,原因看法析.164【分析】（I）因为椭圆W的左极点A在圆O:x2y216上,令y0,得x4,因此a4.又离心率为3,因此ec3,因此c23,因此b2a2c24.2a2因此W的方程为x2y21.164（II）设点Px1,y1,Qx2,y2,设直线AP的方程为ykx4,ykx4与椭圆方程联立得x2y2,1641化简获

7、得14k2x232k2x64k2160,因为-4为方程的一个根,因此x1432k2416k22,因此x1214k14k1k2因此AP14k2因为圆心到直线AP的距离为d4k,4k21因此AQ216d221618.1k2k2PQAQAPAQ,因为AP1APAP8代入获得PQ1k214k213k23,11k23AP81k21k21k214k2明显333,因此不存在直线PQ3.k2AP,使得1AP1.2利用椭圆的性质判断直线与圆的地点关系【例2】已知椭圆C：x22y24.（1）求椭圆C的离心率；（2）设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y2上,且OAOB,试判断直线AB与圆x2y22的地点关系,

8、并证明你的结论.【剖析】（1）把椭圆C：2222cx2y4化为标准方程,确立a,b,利用e2求得离心率；（）设点aA(x0,y0),B(t,2),此中x00,由OAOB,即OAOB0,用x0、y0表示t,当x0t或x0t分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,与圆的半径比较,从而判断直线AB与圆x2y22的地点关系.【分析】（1）由题意椭圆C的标准方程为x2y21,因此a24,b22,从而c2a2b2422,42因此ec2a2.（2）直线AB与圆x2y22相切,证明以下：设点A(x0,y0),B(t,2),此中x00,因为OAOB,因此OAOB0,即tx02y00,解得t2y0,x0当

9、x0t时,y0t2,代入椭圆C的方程得t2,此时直线AB与圆x2y22相切.2当x0t时,直线AB的方程为y2y02(xt),即(y02)x(x0t)y2x0ty00,x0t圆心到直线AB的距离为d|2x0ty0|,又x022y024,t2y0,(y02)2(x0t)2x0|2x02y02|4x02|故dx0 x02.故此直线AB与圆x2y22相切.x2y24y02x048x021600 x022x02【小试牛刀】已知椭圆E:x2y21ab0过点0,2,且离心率e2a2b22求椭圆E的方程；(2)设直线l:xmy1mR交椭圆E于A,B两点,判断点G9,0与以线段AB为直径的圆的位4置关系,并说

10、明原因b2a2【分析】解法一：（1）由已知得c2,解得b2,因此椭圆E的方程为x2y21a2c242a22c2bxmy1（2）设点Ax1,y1,Bx2,y2,AB的中点为Hx0,y0由x2y2,4212222my30,因此y1y22m3,得mym2,y1y2m222从而y0m,m22因此GHx092y02my02y02m21y025my025,524421622yy21m2y12ABxx2y21214441m2y1y224y1y21m2y02y1y2,42故GH2AB5my01m2y1y22542165m231m22517m220,因此GHAB2m22m221616m2229故点G,0在以AB

11、为直径的圆外4解法二：（1）同解法一（2）设点Ax1,y1,Bx2,y2,则GAx19,y1,GBx29,y244xmy1,得m22y2由x2y22my30,421因此y1y22m,y1y23,m2m222从而GAGBx19x29my155y1y24y1y24my2443m215m2252522517m2m21y1y2y20,my116m22m221616m224因此cosGA,GB0又GA,GB不共线,因此AGB为锐角故点G9,0在以AB为直径的圆外4(二)圆与双曲线的联合点2.1利用圆的性质解决双曲线的有关问题因为双曲线拥有渐近线,故渐近线与圆的地点关系便成为命题的常考点.圆自己所拥有的几

12、何性质在探究等量关系也常常考察,从而求解双曲线的几何性质,如离心率的求解.【例3】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】已知半圆：，、分别为半圆与轴的左、右交点，直线过点且与轴垂直，点在直线上，纵坐标为，若在半圆上存在点使，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【剖析】依据题意，设PQ与x轴交于点T，剖析可得在RtPBT中，|BT|PB|t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种状况议论，剖析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案【分析】依据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|t|，因为BP与x轴垂直，且BPQ，则在RtPBT中，|BT|PB|t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共

13、点，PT与半圆相切时，|有最大值3，此时t有最大值，QBT当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值，则t获得最小值，0时，P与B重合，不切合题意，则t的取值范围为，0）；应选：A【小试牛刀】【福建省厦门市2019届高中毕业班第一次（3月)质量检查】已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上对于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（）ABCD【答案】B【分析】设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，因此，即，由，得：，因此，因此，因此，因此，的渐近线方程为.应选B2.2圆的切线与双曲线相联系【例4】已知双曲线

14、x2y21的左右焦点分别为F1、F2,O为双曲线的中心,P是双曲线右支上的点,a2b2PF1F2的内切圆的圆心为I,且圆I与x轴相切于点A,过F2作直线PI的垂线,垂足为B,若e为双曲线的离心率,则()A.|OB|e|OA|B.|OA|e|OB|C.|OB|OA|D.|OA|与|OB|关系不确立【答案】C【分析】设内切圆在PF1上的切点为N,PF2上的切点为M,F1F2上的切点为A,A的坐标为(m,0),PF1PF2PNNF1(DMMF)AF1AF2mc(cm)2a,即OAa,延伸BF2交PF1于S,PB是角均分线和垂线,B是SF2的中点,O是F1F2的中点,BO是中位线,BO1F1S1(PF

15、1PF2)a,OAOBa,|OB|OA|.22【小试牛刀】已知点F1、F2为双曲线C：x2y21b0的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线,在xb2轴上方交双曲线C于点M,且MF1F230圆O的方程是x2y2b2（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上随意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为P、P,求PPPP的值；1212（3）过圆O上随意一点Qx0,y0作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点,AB中点为M,求证：AB2OM【分析】（1）设F2,M的坐标分别为(1b2,0),(1b2,y0)因为点M在双曲线C上,因此12y222b01,即y0b,因此MF2bb2在RtMF2F1中,MF

16、1F2300,MF2b2,因此MF12b2由双曲线的定义可知：MF1MF2b22故双曲线C的方程为：x2y212（2）由条件可知：两条渐近线分别为l1:2xy0;l2:2xy0设双曲线C上的点Q(x,y),设两渐近线的夹角为,则00则点Q到两条渐近线的距离分别为|PP1|2x0y0,|PP2|2x0y033因为Q(x0,y0)在双曲线C：x2y21上,因此2x02y0222又cos13,因此2x0y02x0y0cos2x02y021233339（3）由题意,即证：OAOB.设A(x1,y1),B(x2,y2),切线l的方程为：x0 xy0y2当y00时,切线l的方程代入双曲线C中,化简得：(2

17、y2x2)x24xx(2y24)00000因此：x1x24x0,x1x2(2y024)(2yx(2yx2)22)20000又y1y2(2x0 x1)(2x0 x2)12x1x282x02y0y0242x0(x1x2)x022y02y0 x0因此当y00时,易知上述结论也成立因此综上,OAOB,因此(三)圆与抛物线的联合点3.1圆的性质与抛物线相联合【例5】一个酒杯的轴截面是张口向上的抛物线的一段弧,它的口宽是的410,杯深20,在杯内放一玻璃球,当玻璃球的半径r最大取时,才能使玻璃球涉及杯底【答案】1【分析】成立以下图的直角坐标系,酒杯所在抛物线的方程设为x22py(p0),因为过点(210,

18、20),因此(210)22p20,p1,即x22y(0y20).玻璃球涉及杯底,就是小球的截面圆x2(yr)2r2与抛物线x22y有且仅有一个交点,即原点.由x2(yr)2r2与x22y消去x得：y0或y2r2.因为有且仅有一个交点,即原点,因此2r20,r1,即半径r最大取1.【小试牛刀】【广东省2019届天河区一般高中毕业班综合测试（二)】已知抛物线C：的焦点为，准线l与x轴的交点为，是抛物线C上的点，且轴，若以AF为直径的圆截直线所得的FAMAM弦长为2，则()A2BC4D【答案】B【分析】把代入可得，不如设M在第一象限，则，又，直线AM的方程为，即，原点O到直线AP的距离，以AF为直径

19、的圆截直线AM所得的弦长为2，解得应选：B3.2抛物线的性质与圆的相联系x2y21ab06,焦距为22,抛物线C2:x22pyp0的焦【例6】已知椭圆C1：2b2离心率为a3点F是椭圆C1的极点.（）求C1与C2的标准方程；（）设过点F的直线l交C2于P,Q两点,若C1的右极点A在以PQ为直径的圆内,求直线l的斜率的取值范围.【剖析】（）椭圆C1的焦距为2c22,c6,得椭圆的标准方程,获得抛物线焦点,可得抛物线方程；a3（）联立直线与抛物线的方程联合韦达定理得x1x24k,x1x24,A在以PQ为直径的圆内APAQ0,得结果.【分析】（）设椭圆C1的焦距为2c,依题意有2c22,c6,解得a

20、3,b1,故椭圆C1的标准a3方程为x2y21,又抛物线C2:x22pyp0张口向上,故F是椭圆的C1上顶31点,F0,1,p2故抛物线C2的标准方程为x24y.（）由题意可设直线的方程为：ykx1,设点Px1,y1,Qx2ykx1,y2,联立得x24yx24kx40,由韦达定理得xx4k,xx24.121A在以PQ为直径的圆内APAQ0 x1x23x1x23y1y2016xx163xx248x2x2012112641634k48160k0.【小试牛刀】已知抛物线：y22px(p0)的焦点为F,直线y4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,C且|QF|5|PQ|.4（I）求C的方程；（II）过F的

21、直线l与C订交于A,B两点,若AB的垂直均分线l与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.【分析】（I）设Q(x0,4),代入y2=2px,得x0=8,PQ=8,QF=p+x0=p+8.由题设得pp22pp+8=5?8,解得p=-2（舍去）或p=2,C的方程为y2=4x；（II）由题设知l与坐标轴不垂直,故2p4p可设l的方程为x=my+1m?0),代入2得2设(1)(2)则y+y=4m,12(y=4xy-4my-4=0,Ax,y,Bx,y12y1y2=-4故AB的中点为D(2m2+1,2m),AB=22m,m+1y1-y2=4(m+1)又l的斜率为-l的方程为1222

22、42x=-y+2m+3将上式代入y=4x,并整理得y+y-4(2m+3)=0设Mx3,y3),Bx4,y4,则m()m4,y3y4=-42m2骣22,MN14(m2+1)2m2+1y3+y4=-+3故MN的中点为E?+2m2+3,-=1+y-y=2()?2234m?桫mmmm因为MN垂直均分线AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于AE=BE=1,从而1AB+DE=1MN,MN22224422222()2骣2骣24(m+1)(2m+1)即2鼢,2-1=04m+1珑+2=化简得m+2m+鼢24,解得珑珑m鼢桫m桫mm=1或m=-1所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0四、迁徙运用1【

23、江西省南昌市2019届高三第一次模拟】过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线的右支于点，且切点为，已知为坐标原点，为线段的中点（点在切点的右边），若的周长为，则双曲线的渐近线的方程为()ABCD【答案】B【分析】解：连OT，则OTF1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|b连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点OMPF2，|MO|MT|PF2（PF1F1T）（PF2PF1）+bba又|MO|+|MT|+|TO|=，即|MO|+|MT|=3a故|MO|=,|MT|=,由勾股定理可得：，即渐近线方程为：应选：B2【山东省淄博市2018-2019学年度高三3月模拟】已知直线与双曲线交于两点，以为直

24、径的圆恰巧经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为ABC2D【答案】D【分析】由题意可得图像以下列图所示：为双曲线的左焦点为圆的直径依据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形又，可得：此题正确选项：3【河南省濮阳市2019届高三下学期摸底】双曲线的两极点为，虚轴两头点为A，两焦点为B，若以C为直径的圆内切于菱形D，则双曲线的离心率是（）【答案】C【分析】由题意可得，且，菱形的边长为，由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D由面积相等，可得，即为，即有，由，可得，解得，可得，或(舍去)应选：C4【广东省潮州市2019届高三上学期期末】已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，且双曲线

25、C与圆在第一象限订交于点A，且，则双曲线C的离心率是ABCD【答案】A【分析】双曲线C与圆在第一象限订交于点，A可得，由，可得，由，可得，即为，即有，即有应选：A5.【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（）ABCD【答案】D【分析】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，因此抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，获得最小值，最小值为，应选D.6【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三上学期期末】已知椭圆的右焦点为，离心率为e，过原点斜率为k的直线与椭圆交于A、B两点，M、

26、N分别为线段AF、BF的中点，以MN为直径的圆过原点O，若，则e的取值范围是ABCD【答案】D【分析】记线段MN与x轴交点为C的中点为M，BF的中点为N，B为椭圆上对于原点对称的两点，原点O在以线段MN为直径的圆上，设，易得由，可得得，直线AB斜率为，因为，离心率e的取值范围为应选：D7【山东省临沂市2019届高三2月教课质量检测】是双曲线的左、右焦点，直线l为双曲线C的一条渐近线，对于直线l的对称点为，且点在以F为圆心、以半虚轴长b为半2径的圆上，则双曲线C的离心率为ABC2D【答案】B【分析】因为直线l为双曲线C的一条渐近线，则直线因为是双曲线的左、右焦点因此（-c，0），（c，0）因为对

27、于直线l的对称点为，设为（x，y）则解得因此为（）因为是以为圆心，以半虚轴长b为半径的圆，则圆的方程为将以的（）代入圆的方程得化简整理得，因此因此选B8【河南省中原名校（即豫南九校)2018届高三第六次质量考评】已知抛物线C:y24x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于点A,B，以线段AB为直径的圆E上存在点P,Q，使得以PQ为直径的圆过点D2,t，则实数t的取值范围为（）A,13,B1,3C,2727,D27,27【答案】D【分析】由题得直线AB的方程为y0 x1即y=x-1,设Ax1,y1,Bx2,y2，yx1x26x10 x1x26x1x21联立4xy2因此x1x23y1y2

28、x11x212，|AB|=12364222118因此AB为直径的圆E的圆心为（3,2），半径为4.因此该圆E的方程为x322.y216因此点D恒在圆E外，圆E上存在点P,Q，使得以PQ为直径的圆过点D(-2,t)，即圆E上存在点P,Q，使得DPDQ，明显当DP,DQ与圆E相切时，PDQ最大，此时应知足PDQEP42，整理得t24t30.解之得，因此2DE22t223227t27，应选D.9【河北省石家庄市2018届高三下学期一模】x2y21(a0,b0)的左焦已知F1，F2分别为双曲线b2a2点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，AF1F2的内切圆半径为r1，BF1F2的内切

29、圆半径为r2，若r12r2，则直线l的斜率为（）A.1B.2C.2D.22【答案】D【分析】设AF1F2的内切圆圆心为I1,，BF1F2的内切圆圆心为I2,，边AF1、AF2、F1F2上的切点分别为M、N、，E易见I1、E横坐标相等，则AMAN，F1MF1E，F2NF2E，由AF1AF22a，即AMMF1（ANNF2）2a，得MF1NF22a，即F1EF2E2a，记I1的横坐标为x0，则E（x0，0），于是x0c（cx0）2a，得x0a，同理心里I2的横坐标也为a，则有I1I2x轴，设直线的倾斜角为，则OF2I22，IF1O290，则2tanr2,tanI1F2Otan9021r1，r12r2

30、2F2Etan2F2E122tan2,tantan222.应选D.tan22.2212tan210【河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量展望】如图，已知抛物线C1的极点在座标原点，焦点在x轴上，且过点2，4，圆C2:x2y24x30,过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P,Q,M,N,则PN4QM的最小值为()A.23B.42C.12D.52【答案】A【分析】由题意抛物线过定点（2，4），得抛物线方程y28x，焦点为F(2,0).圆的标准方程为x22y21，因此圆心为（2，0），半径r=1.因为直线过焦点，因此有1121，又PFQFP2PN4QMPF14QF4PF4QF5=2PF4Q

31、F115PFQF254QFPF523，当且仅当PF2QF时等号成立。选A.PFQFp211【湖北七市（州）教研协作体2018年3月高三联考】已知圆E：xy2r2与抛物线C：2y22px(p0)订交于A，B两点，分别以点A，B为切点作圆E的切线.若切线恰巧都经过抛物线C的焦点F，则sinAEF5131A.B.22【答案】A（）211C.D.22【分析】由题得设AxA,yA，sin2AEFAF2p2p2r2，联立圆E和抛物线得：EF2x23pxp220，代入点A2p2r20,又AF为圆的切线，故r得xA3pxA44AF2EF2r2p2r2，由抛物线得定义可知：AF=xAp，故p2r2xAp222化

32、简得：xAr2p，将点Ar42r22r2p2512p2代入圆得：p2pr，而2sin2AEFAF2p2r=235，故sinAEF51应选AEF2p22212【福建省2019届适应性练习】椭圆的右焦点为，左极点为，线段的中点为，圆过点，且与交于，是等腰直角三角形，则圆的标准方程是_【答案】【分析】如图设A（a，0），可得a1，c1，b2a21，线段AF的中点为B（，0），圆F的圆心为F（1，0），半径r|BF|，设D（m，n），（m0，n0），E（m，n），由BDE为等腰直角三角形，可得kBD1，即1，即nm，由D在圆F：（x1）2+y2（）2上，可得（m1）2+（m）2（）2，化简可得（m1）

33、（2m1+a）0，解得m1或m（舍去），则n，将D（1，）代入椭圆方程，可得1，化简可得a2或（舍去），则圆F的标准方程为（x1）2+y2，故答案为：（x1）2+y213【福建省龙岩市2019届高三下学期教课质量检查】已知抛物线为，过点作直线与抛物线交于两点若以为直径的圆过点【答案】4，则的焦点为，其准线与轴的交点的值为_【分析】假定k存在，设AB方程为：yk（x1），与抛物线y24x联立得k2（x22x+1）4x，即k2x2（2k2+4）x+k20设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），以为直径的圆过点,QBA90，（x12）（x1+2）+y120，2x1+y14，2x1+4x110（

34、x10），x12，x1x21，x22，|AF|BF|（x2+1）（x1+1）4，故答案为：414【北京市顺义区2019届高三期末】已知，分别是双曲线的左、右焦点，P是以，为直径的圆与该双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率是_【答案】【分析】设，因为P是以为直径的圆与该双曲线的一个交点则是直角三角形，由，则，故答案为：15【河南省许昌高级中学2019届高三复习诊断（二)】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于点，以线段为直径的圆上存在点，使得以为直径的圆过点，则实数的取值范围为_【答案】【分析】由题意可得，直线的方程为，联立方程组，可得，设，则，设，则，又，因此圆是以为圆心，4为

35、半径的圆，因此点恒在圆外圆上存在点，使得以为直径的圆过点，即圆上存在点，使得，设过点的两直线分别切圆于点，要知足题意，则，因此，整理得，解得，故实数的取值范围为16【宁夏吴忠市2019届高三下学期第一次模拟】在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为.过的直线交于，两点，且的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）圆与轴正半轴订交于两点，（点在点的左边），过点任作一条直线与椭圆订交于，两点，连结，求证.【分析】(1)设椭圆C的方程为(ab0)因为离心率为，因此，解得，即.又PQF2的周长为|PQ|PF2|QF2|(|PF1|PF2|)(|QF1|QF2|)2a2a4a，因此又PQF

36、2的周长为，即a2，b2，因此椭圆C的方程为.(2)把y0代入(y2)2,解得x1或x4，因为点在点的左边，即点M(1，0)，N(4，0)当ABx轴时，由椭圆的对称性可知ANMBNM.当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为yk(x1)联立(k22)x22k2xk280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为y1k(x11)，y2k(x21)，因此kANkBN.因为(x11)(x24)(x21)(x14)2x1x25(x1x2)88，因此kANkBN0，因此ANMBNM，综上所述，ANMBNM.17已知x2y21ab0的左、右焦点分别为F1、F2,F1F225,点P

37、在椭圆a2b2上,tanPF2F12,且PF1F2的面积为4.（1）求椭圆的方程；（2）点M是椭圆上随意一点,A1、A2分别是椭圆的左、右极点,直线MA1，MA2与直线xE,F两点,试证：以EF为直径的圆交x轴于定点,并求该定点的坐标.【答案】（1）x2y21；（2）证明看法析,351,0或351,0.9422【分析】（1）因为tanPF2F12,因此sinPF2F125,cosPF2F15.55125PF2254PF14由题意得25,解得.PF12PF2222PF2255PF22255从而2aPF1PF2426a3,联合2c25,得b24,故椭圆的方程为x2y21.94（2）由（1）得A13

38、,0,A23,0,设Mx0,y0,则直线MA1的方程为yy0 x3,x0335分别交于2它与直线x3535y0353,的交点的坐标为E,3222x0直线MA2的方程为yy0 x3,它与直线x3535y0353,x03的交点的坐标为F2,322x0y0353x032再设以EF为直径的圆交x轴于点Qm,0,则QEQF,从而kQEkQF1,即35m2y0353922x0321,即4y035m,解得m351.935mx02222故以EF为直径的圆交x轴于定点,该定点的坐标为351,0或351,0.2218已知椭圆D：x2y210b1的左焦点为F,其左、右极点为A、b2,椭圆与轴正半轴的交Cy点为B,F

39、BC的外接圆的圆心Pm,n在直线xy上.0（I）求椭圆D的方程；（II）已知直线l：x2,N是椭圆D上的动点,NMl,垂足为M,能否存在点N,使得FMN为等腰三角形？若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明原因.【答案】(I)x22y2；(II)N2,14或0,2.1362【分析】（I）由题意知,圆心P既在FC的垂直均分线上,也在BC的垂直均分线上,设的坐标为,则的垂直均分线方程为x1cFc,0c0FC21b因为BC的中点坐标为,的斜率为22BCb因此的垂直均分线的方程为yb1x12b2BC1c联立解得:x2,yb2c2b即m12c,nb2c2b因为Pm,n在直线xy0上,因此1cb2c0（4分）22b即1bbc0因为1b0,因此bc