初中数学北师大八年级上册（2023年修订） 二元一次方程组(教案)二元一次方程与一次函数

1、二元一次方程与一次函数（教案）一、学生情况学生已经能够正确解方程（组），初步掌握了一次函数及其图像的基础知识，已经具备了函数的初步思想，对于数形结合的数学思想也有所接触.学生能够根据已知条件准确画出一次函数图象，能够认识和接受函数解析式与二元一次方程之间的互相转换在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识.教学目标通过作图、几何画板实验操作理解二元一次方程和一次函数的关系，掌握二元一次方程组的解和对应的两条直线之间的关系；能够用图象法解二元一次方程组，发展学生数形结合的意识和能力通过对比，观察，实验操作等手段得到二元一次方程与一次函数的关系，通过数形结合的思想方法加深对方程

2、与函数之间关系的理解，经历从不同的角度观同一事物，养成严谨科学的学习态度.三、教学重难点教学重点二元一次方程和一次函数的关系教学难点 二元一次方程的图象特征四、教学辅助手机投屏（希沃）五、教学过程引言：诗人苏轼在题西林壁中写到：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”这样的诗句，告诉我们一个道理，认识一个事物要从不同的角度来观察、思考，那同学们请看看式子是方程吗？是函数吗？它们之间有什么内在联系呢？我们开始今天的学习：（一）探究1：二元一次方程与一次函数的关系环节教师活动学生活动设计意图1.写解【ppt1】方程的解有多少个？是方程的解吗？你是怎么判断的？【齐答】无数个【生】代入验证发现等式两边值相等

3、，三组都是方程的解.复习，为后面问题研究作铺垫2.验证点【ppt2】以上述解为坐标的点在一次函数的图象上吗？你是怎么判断的？【提问】方程的解有无数个，对应的点就有无数个，那其它点是否也在函数图象上呢？结合几何画板看一看.为什么呢？【ppt3】事实上，任取方程的一组解，那么有，变形得，显然对应的点也就在直线上，反过来，情况又当如何？【齐答】在.【生】代入验证【齐答】在【生】方程表达的数量关系和函数一样认识到以方程的解为坐标的点都在函数图象上3.验证解【ppt4】在一次函数的图象上任取一点，它的坐标适合方程吗？结合几何画板看一看.你能说说其中的道理吗？【ppt5】事实上，取直线上任意一点，那么，变

4、形就有，自然是方程的解.【齐答】适合【生】点的坐标所满足的数量关系也正好满足方程要求的数量关系，所以点的坐标也适合方程.认识到函数图象上点的坐标都是方程的解4.归纳新知【提问】研究到这里，同学们对二元一次方程与一次函数的关系有什么自己的认识呢？从问题2的研究可以发现二元一次方程的解就是对应的函数图象上点的坐标，反过来呢？【总结】很好，刚才我们是以方程为例进行了研究，那么推广到一般的二元一次方程，会不会也有同样的结论呢？（抓住方程与函数所表示的数量关系一样）由此我们可以得到一个基本事实：【ppt6】以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数图象上；一次函数图象上点的坐标都是相应的二元一次方程

5、的解.【板书】二元一次方程的解直线上点的坐标【提问】方程的解和直线上点的坐标的关系就是今天我们要研究的第一层关系，有个这层关系，说明二元一次方程与相应的一次函数函数在本质上其实是一样的，那么，在直角坐标系中，描出以方程解为坐标的所有点，组成的图象和相应的一次函数图象相同吗？我们通过几何画板来看一看.【ppt7】一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象和相应的一次函数图象相同，是一条直线.那么二元一次方程组与直线有什么关系呢？【生】方程的解与点的坐标一一对应的【齐答】函数图象上点的坐标是对应的方程的解【齐答】会【思考作答】相同【观察演示】归纳总结二元一次方程与一次函数的关系从“形”的角

6、度得到二元一次方程的图象特征，（二）探究2：二元一次方程组与一次函数的关系环节教师活动学生活动设计意图问题探究2.归纳新知【ppt8】方程组的解是多少？你是怎么做的？分别画出方程组中两个方程所对应的一次函数的图象，观察这两个图象有交点吗？若有，请写出交点坐标。【提问】你有什么发现？【追问】你能说说其中的道理吗？【ppt9】回答的很好，这个发现告诉我们，从“数”的角度看，解一个二元一次方程组时，只需确定相应的两条直线的交点坐标即可；当我们要确定两条直线的交点坐标时，只需求相应的二元一次方程组的解，【边说边板书】方程组的解直线交点坐标这样数和形巧妙地结合在一起。这样的结合有什么好处呢？请看下面的问

7、题【生】方程组的解为，（代入）加减消元法。有交点，坐标为【生】方程组的解就是直线交点的坐标，反过来，直线交点的坐标也是方程组的解【生】方程组的解是方程与的公共解，那么方程组的解所对应的点（2，3）自然就是函数与图象图象的交点，反之亦然研究方程组的解与一次函数图象（直线）交点坐标的关系知识应用环节教师活动学生活动设计意图例1【ppt10】(1)已知一次函数与图象的交点是（1，2），方程组的解为 (2)已知关于的方程组的解是，则直线与的交点坐标为 .【生】简述思路和解答过程【生】简述思路和解答过程加深对所学知识的理解例2例33.反思提升【讲评】这个题并不好计算，但仔细观察后我们发现，方程组中的方程

8、通过变形整理后和后面的函数是一样的，根据刚才所学，方程组的解与直线交点坐标是一样的，当你充分理解这层关系后，那么这两个问题就变得简单了.请看下面的问题2.用作图的方法解方程组【提问】 在动笔之前我们讨论一下应该怎么做？【提问】在找交点坐标的时候，会不会有困难吗？【点评】是的，说的很好，比如说下面这个问题3.如图，直线与：的图象交于点A，求点A的坐标.【提问】我们能够直接看出来吗？那怎么办呢？【板书】很好，当我们想求出两条直线交点坐标的精确值时，可以直接将函数解析式视为方程联立后求方程组的解即可，师示范一下解答过程。通过刚才的练习我们可以看到，在例1中我们求方程的解可以转化为求相应直线的交点坐标

9、，在例2中我们求交点坐标可以转化为求相应的方程组的解，这样一种解题的过程，和我们学过的什么思想方法有关呢?【点评】是的，我们又再次感受到了数形结合的魅力。接下来请看下面的问题想一想：方程组 有解吗？观察一次函数与的图象之间有什么位置关系？【提问】你有什么感悟？【生】先把方程变形为一次函数形式，然后在画图，观察交点的坐标，从而得到方程组的解【生】有，比如点的坐标不是整数的时候，就很难得到准确的值【生】直接看有困难,无法得到准确值【生】将函数解析式联立求方程组的解【齐答】数形结合【生】简述理由和答案【生】无解，平行的关系【生】事实上这样的两个问题，前者就是“数”的问题，后者就是“形”的问题，从方程

10、的角度看，没有同时适合这两个方程的数，也就是方程组无解，那么相应的函数图象就没有交点，所以呈现的就是平行的位置关系，反过来，当两条直线平行时，它们所对应的方程组就无解学会用图象法解方程组学会通过解方程组来确定直线的交点坐标体会数学结合思想的魅力通过对比发现方程组无解的几何意义，从侧面认识到方程组有解的几何意义六、课堂小结环节教师活动学生活动设计意图学生总结2.教师总结【提问】同学们，学到这里请大家回顾一下刚才的学习过程，本节课什么地方给你感悟最深？又或者把你学到的知识和大家分享一下，比如二元一次方程与一次函数的关系【总结】正如同学所说，这节课首先我们明确了1.二元一次方程和一次函数的关系2.二

11、元一次方程组的解与直线交点坐标的关系，同时也学到了解方程组的一种新方法图象法，其三了解到重要的数学思想方法数学结合。现在我们把这些知识整合一下，如果说方程是“数”的问题，那么直线就是“形”的问题，由此“数”和“形”就这样结合了起来，通过刚才问题的解决我们也能够感受到这种思想方法的妙处，此时的我忍不住想吟诗一首：“数却形时少直观，形却数时难入微，数学结合百般好，隔离分家万事休”华罗庚，希望我们同学能爱上数学这门研究数和形的科学。【生1】给我感触最深的就是数形结合思想【生2】我知道了二元一次方程的解对应这一次函数图象上的点的坐标，方程组的解就是相应函数图象的交点坐标【生3】我还学到了用图象法来解二

12、元一次方程组引导学生做好学习总结，再一次加深对知识的认识和理解，培养学生学会总结，及时总结反思的良好学习习惯七、作业1.如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是 1题2.若方程组没有解，则一次函数与的图象必定（）A重合 B平行 C相交 D无法确定 3.方程组的解是什么？两个方程对应的函数的图象有怎样的位置关系？你能从中悟出些什么？八、 板书设计1.二元一次方程与一次函数的关系 解：二元一次方程的解 直线上点的坐标二元一次方程组的解 直线的交点坐标 数 形九 、设计反思1.重视学生操作实验能力的培养.这节课在研究二元一次方程与一次函数关系的时候，通过学生自己作图，观察，总结归纳得到有关结论.2.重视数学思想方法的引导.这节课在设计时充分考虑了数学结合思想，特殊到一般等数学思想方法的渗透，既能发展学生的几何直观，又能更好地体会研究问题的一般方法，通过观察，猜想，验证，总结等手段获取