初中数学北师大八年级上册 一次函数谢敏-数学-从函数观点看方程和不等式

1、 从函数观点看方程和不等式上课教师：谢敏 上课班级：八年级2班一.教材及学情分析1.教材分析 义务教育数学课程标准（2023版）站在知识整体的平台上，关注知识的结构和体系，要求处理好局部知识与整体知识的关系，感受数学的整体性，对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解 函数、方程、不等式的知识是初中数学教学的重要内容，既是学习的重点，也是学习的难点三者知识交汇也是中考、高考考查的热点问题，它们是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型，蕴含着丰富的数学思想和方法。因此，用联系的观点研究它们是很有必要的。函数、不等式、方程它们是动与静的关系，是变量与常量的关系，静是点，动是线，常

2、量是变量的瞬间。在变化中，在规律中，在动静之中函数、方程、不等式既各自独立又相互联系，共同组成了“数与代数”的核心内容。2.学情分析（1）经验基础:从学生认知来看，学生已经学习了二元一次方程（组）、一元一次不等式相关的概念和解法、函数图象的定义及画法、一次函数的定义及图象的性质、一次函数y=kx+b图象上的点的坐标与一次函数y=kx+b中两个变量的对应关系，这些知识和方法为本节课的学习作了铺垫，同时，学生初步具有利用数形结合思想解决问题的意识和能力.故本节课仅研究一次函数与对应的二元一次方程（组）与一元一次不等式的联系。（2）困难预测：函数的学习刚刚开始，学生对函数这一抽象概念的理解还不够深刻

3、，运用函数解决一些问题存在困难。学生很难用自己的 语言表达函数与方程、不等式的关系。整合内容较多，如果学生若没有理解到问题本质，容易混淆。（3）预测学后：学生能够体会数形结合的优势，将抽象的方程、不等式用直观的图形表示出来，通过不同的途径解决问题，建立一次函数与方程、不等式的联系，发展了几何直观，强化数学数形结合思想、转化思想.并为后继各类函数与方程、不等式的学习奠定基础。二、教学目标1.通过观察一次函数图象，求方程的解和不等式的解集，体会一次函数与方程、不等式的内在联系。2.经历探究一次函数与方程、不等式的关系的过程，初步感受三者的辩证与统一，感受数学知识与方法的内在联系，体会数形结合的数学

4、思想,发展几何直观。三、教学重难点1.重点（1）一次函数与二元一次方程(组)的联系；（2）一次函数与一元一次不等式的联系。2.难点：能从函数的角度理解方程、不等式。四、问题群设置1.主问题：一次函数与对应的方程、不等式有什么联系？2.子问题群（1）对同一个关系式两种表达形式（一次函数及对应的二元一次方程）该如何理解？（2）一次函数与对应的二元一次方程有什么联系？（3）一次函数与对应的二元一次方程组有什么联系？（4）一次函数与相关的一元一次不等式有什么联系？五、教学过程教学环节教学活动设计意图一、引入课题1、下面的图你可以看到什么？ 2、y=-x+5又可以看作3、请把二元一次方程-2x+y=-1

5、和2x+3y=2化成对应的一次函数.教师组织学生欣赏图片，学生回答问题.教师提出问题， y=-x+5是什么？因为最近一直在学一次函数，可能大部分学生第一反应是一次函数，如果学生看不出来是方程，教师可以马上将式子变形为x+y=5,加以引导.教师同时强调任何一个二元一次方程都可以化成一个子写成二元一次方程形式。.引导学生理解二元一次方程和一次函数可以在形式上达到一致，为后继学习做铺垫.让同学感受同一个事物可以从不同角度来看，视角不同，感官不同.二、联想探究探究一、借二元一次方程，初论以形助数 1、方程x+y=5 x+y=5 x+y=5 x+y=5有多少个解，请试着写出几个，2、画出函数y=-x+5

6、的图象3、你能说说二元一次方程和对应的一次函数有联系吗？如果有，是什么？为什么？二元一次方程的解是对应的一次函数图象上点的坐标. 学生写出二元一次方程的解，画出y=-x+5的图象后，教师引导学生从联系的眼光看两者，小组讨论二元一次方程和对应的一次函数有联系吗？如果有，是什么？为什么？鼓励学生用自己的语言表述出这种关系，并能深入本质，找到产生这种联系的原因.本节课的暗线是y=-x+5既是方程又是函数，以它为基础，不断变化演绎深化，直击问题本质.第一部分内容是基础，同时让学生初步体会用联系的眼光寻找一次函数和二元一次方程的关系，初步体会数形结合思想.探究二、用二元一次方程组，再论以形解数请用不同的

7、方法解方程组x+y=5 -2x+y=-1二元一次方程组的解是对应的两个一次函数图象的交点坐标. 灵活用1：请用不同方法解下列方程组：(1) x+y=5 x-y=3 (2) x+y=52x+2y=2 (3) x+y=52x+2y=10 你能用函数的观点解释以上方程组的解吗？二元一次方程组 两个一次函数 一个解 一个交点（两直线相交）解 无数解 无数交点（两直线重合） 交点 无解 无交点（两直线平行） 数 形 探究三、引一元一次不等式，实现梯度深化 已知y=-x+5y0,求x的取值范围. 灵活用2：一次函数ykx+b（k0）的图象如图，当y0时，x的取值范围是_在已有函数图象不变的情况上，请你尝试

8、改编题目.延伸拓展1：如图，已知：函数y1-x+b和y2ax3的图象交于点P（2，3），则不等式-x+bax3的解集是_延伸拓展2：如图所示，函数y1|x|和y2x+的图象相交于（1，1），（2，2）两点当y1y2时，x的取值范围是 三、揽全局，形通法学到这里，请同学们回顾一下，本堂课什么地方给你的感受是很深的？ 或者你有什么样的感悟要与大家分享？四、布置作业探究一的学习，学生初步有了从函数角度来看方程的意识，教师组织学生以小组为单位先讨论解法，再自己操作.然后教师再请学生讲解.学生可能谈到代数方法，也可能通过图象法解决.当学生说出交点坐标就是方程组的解时，教师继续追问，为什么你觉得交点就是方

9、程组的解呢？直击问题本质.学生先独立完成，再请学生用不同方法讲解，最后请学生总结通过解以上三个方程组，又有什么发现和体悟.教师引导学生用不同的方法解决.从代数角度考虑，求x范围就是解一元一次不等式-x+50;从函数角度就是一次函数y值大于0，即图象上的点的纵坐标大于0时，对应点的横坐标的取值范围. 学生先独立完成灵活用2，再尝试改编题目，对学生的能力提出更高的要求.当然也有学生可能先求出一次函数解析式，转化成不等式，解不等式.教师予以鼓励，但也请学生自己感受图象法的直观.学生独立思考，再分享自己的方法.教师引导学生用函数的观点应该如何来看这个不等式呢？非一次函数与不等式的问题，是否也可以观察图

10、象解决问题，根据学情，灵活把握时间，可以当场处理，也可以留到课下完成.学生总计梳理，本节课的收获.重温华罗庚先生诠释数形结合思想的诗句，结束本节课的内容“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休. ”六、板书设计在y=-x+5的基础上又加 y=2x-1变成二元一次方程组去研究，过渡的很自然.已有的结论也作为新知探索的基石，继续寻找方程组的解和函数交点坐标之间的关系.灵活用1的安排，让学生进一步理解方程组的解和对应函数交点坐标的关系，是对探究二的深化.让学生体会到还可以形解数，数形结合的思想.从函数的角度看可以看方程，还可以看不等式.利用图象将一次函数与一元一次不等式联系起来学生利用所学，通过图象直观解决不等式问题，加深对一次函数与不等式之间的关系