2022-2023学年人教A版必修第一册 3.1.1 第2课时　函数的定义域和值域的求法 学案

1、第2课时函数的定义域和值域的求法学习目标1.会判断两个函数是不是同一个函数,提升数学抽象的核心素养.2.通过求简单函数的定义域、值域,提升逻辑推理和数学运算的核心素养.同一个函数如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.(1)抽象函数的概念.没有给出具体解析式的函数,称为抽象函数.(2)复合函数的定义.如果函数y=f(t)的定义域为A,函数t=g(x)的定义域为D,值域为C,则当CA时,称函数y=f(g(x)为f与g在D上的复合函数.其中t叫做中间变量,t=g(x)叫做内层函数,y=f(t)叫做外层函数. 函数的定义域类型一根

2、据函数解析式求定义域例1 求下列函数的定义域.(1)f(x)=3-x+x-1;(2)f(x)=(x+1)0 x+2;(3)f(x)=5-x|x|-3;(4)f(x)=x+1-x2-3x+4.解:(1)要使函数有意义,则3-x0,x-10,解得1x3.因此函数的定义域为1,3.(2)由于0的零次幂无意义,所以x+10,即x-1.又x+20,即x-2,所以x-2,且x-1.所以函数f(x)=(x+1)0 x+2的定义域为x|x-2,且x-1.(3)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足5-x0,|x|-30,解得x5,且x3,所以函数f(x)=5-x|x|-3的定义域为x|x5,且x3.(4)要使

3、函数f(x)有意义,则x+10,-x2-3x+40,即x-1,(x+4)(x-1)0,解得-1x1.因此函数f(x)的定义域为x|-1x0,因为x2-x+3=(x-12)2+1140恒成立,所以原函数的定义域为R.(2)要使函数有意义,则x-10,-x2+x+20,所以-1x2,且x1,即原函数的定义域为(-1,1)(1,2).(3)要使函数有意义,则x+20,|x|-10 x-2,x1,解得x-2,且x1.所以原函数的定义域为x|x-2,且x1.(4)由x0,1+1x0,解得x-1,且x0.所以原函数的定义域为(-,-1)(-1,0)(0,+).类型二形如f(g(x)函数的定义域例2 (1)

4、若函数y=f(x)的定义域为1,4,求函数y=f(x+2)的定义域;(2)已知函数y=f(x+1)的定义域是2,3,求函数y=f(x)的定义域;(3)已知函数y=f(2x-1)的定义域为0,1),求函数y=f(1-3x)的定义域.解:(1)因为函数f(x)的定义域为1,4,所以使函数f(x+2)有意义的条件是1x+24,即-1x2.所以函数y=f(x+2)的定义域为-1,2.(2)因为函数y=f(x+1)的定义域为2,3,则2x3,所以3x+14.所以函数y=f(x)的定义域为3,4.(3)因为y=f(2x-1)的定义域为0,1),即0 x1,所以-12x-11,所以f(x)的定义域为-1,1

5、).所以-11-3x1,所以0 x23.所以y=f(1-3x)的定义域为(0,23.(1)已知函数f(x)的定义域为a,b,则函数f(g(x)的定义域是不等式ag(x)b的解集,其实质是由g(x)的取值范围求x的取值范围.(2)已知函数y=f(g(x)的定义域为D,则函数f(x)的定义域是函数y=g(x)在D上的值域.针对训练2:(2021广东期中)已知函数f(x-1)的定义域为-2,3,则函数f(2x+1)的定义域为()A.-1,9B.-3,7C.-2,1D.-2,12解析:函数f(x-1)的定义域为-2,3,即-2x3,所以-3x-12,即f(x)的定义域为-3,2,由-32x+12,得-

6、2x12.所以函数f(2x+1)的定义域为-2,12.故选D. 同一个函数的判定例3 (多选题)下列各组函数是同一个函数的是()A.f(x)=-2x3与g(x)=x-2xB.f(x)=x0与g(x)=1x0C.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1D.f(x)=x+1x-1,g(x)=(x+1)(x-1)解析:A中,f(x)=-x-2x,g(x)=x-2x,对应关系不同,故f(x)与g(x)不是同一个函数;B中,f(x)=x0=1(x0),g(x)=1x0=1(x0),对应关系与定义域均相同,故是同一个函数;C中,f(x)=x2-2x-1与 g(t)=t2-2t-1,对应关系和定义

7、域均相同,故是同一个函数;D中,f(x)=x+1x-1的定义域为x|x1,而g(x)=(x+1)(x-1)的定义域为x|x1或x-1,定义域不同,所以不是同一个函数.故选BC.判断两函数是否为同一个函数,关键是树立定义域优先的原则.(1)先看定义域,若定义域不同,则不是同一个函数.(2)若定义域相同,再化简函数的解析式,看对应关系是否相同.针对训练3:(多选题)(2021重庆期中)下列函数中,表示同一个函数的是()A.y=(x+5)(x-5)x-5与y=x+5B.y=|x|与y=x,x0,-x,x0C.y=x2与y=(x)4D.y=x2与y=x4解析:A.y=(x+5)(x-5)x-5的定义域

8、为x|x5,y=x+5的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数;B.y=|x|=x,x0,-x,x0的定义域为R,y=x,x0,-x,x0的定义域为R,定义域和对应关系都相同,表示同一个函数;C.y=x2的定义域为R,y=(x)4的定义域为x|x0,定义域不同,不是同一个函数;D.y=x2的定义域为R,y=x4=x2的定义域为R,定义域和对应关系都相同,表示同一个函数.故选BD. 函数值、值域的求法类型一函数值的求法例4 已知f(x)=1-x1+x(xR,且x-1),g(x)=x2-1(xR).(1)求f(2),g(3)的值;(2)求f(g(3)的值及f(g(x).解:(1)因为f(x)=1-

9、x1+x,所以f(2)=1-21+2=-13.因为g(x)=x2-1,所以g(3)=32-1=8.(2)由题意知,f(g(3)=f(8)=1-81+8=-79,f(g(x)=1-g(x)1+g(x)=1-(x2-1)1+(x2-1)=2-x2x2(x0).求函数值的方法(1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则.针对训练4:已知f(x)=1-x21+x2,则f(0)+f(1)=,f(x)+f(1x)=.解析:因为f(x)=1-x21+x2,所以f(0)=1,f(1)=0,所以f(0)+f(1)=1.又f(1x)=1-1x

10、21+1x2=x2-1x2+1,所以f(x)+f(1x)=1-x21+x2+x2-11+x2=0.答案:10类型二函数值域的求法例5 求下列函数的值域.(1)y=x+1;(2)y=2x2-6x+9;(3)y=3-x6+x;(4)y=x+1-2x.解:(1)因为x0,所以 y=x+11,所以y=x+1的值域为1,+).(2)因为y=2x2-6x+9=2(x-32) 2+92322,所以函数y=2x2-6x+9的值域为322,+).(3)y=3-x6+x=9-6-x6+x=96+x-1,因为96+x0,所以96+x-1-1.所以函数y=3-x6+x的值域为(-,-1)(-1,+).(4)设1-2x

11、=t,则t0,x=12(1-t2),y=12(1-t2)+t=-12(t-1)2+1,故y1.所以函数y=x+1-2x的值域为(-,1.求函数值域的方法(1)观察法:有的函数的结构并不复杂,可以通过几种常见函数的值域及不等式的性质直接观察出函数的值域.(2)配方法:配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.解题过程中,要特别关注自变量的取值范围.(3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域.(4)换元法:对于一些无理函数(如y=axbcxd),通过换元把它们转化为有理函

12、数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求解原函数的值域.针对训练5:求下列函数的值域.(1)y=3x+1x-2;(2)y=1-x21+x2;(3)y=6-5-4x-x2;(4)y=x+41-x.解:(1)y=3x+1x-2=3(x-2)+7x-2=3+7x-2.因为7x-20,所以3+7x-23,所以函数y=3x+1x-2的值域为y|y3.(2)y=1-x21+x2=21+x2-1,因为x20,所以021+x22,所以-1y1,函数的值域为(-1,1.(3)因为5-4x-x2=-(x+2)2+9,所以有05-4x-x29,所以05-4x-x23,所以3y6,故函数y=6-5-4x-x2的值域

13、为3,6.(4)设t=1-x0,则x=1-t2,所以原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t0),所以y5,所以函数y=x+41-x的值域为(-,5.1.下列函数与函数y=x是同一个函数的是(B)A.y=x2B.y=3x3C.y=x2xD.y=4x4解析:对于A,函数y=x2=|x|,xR,与函数y=x,xR的对应关系不同,不是同一个函数;对于B,函数y=3x3=x,xR,与函数y=x,xR的定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数;对于C,函数y=x2x=x,x0,与函数y=x,xR的定义域不同,不是同一个函数;对于D,函数y=4x4=|x|,xR,与函数y=x,xR的对应关系

14、不同,不是同一个函数.故选B.2.已知f(x+1)=x-5,则f(f(0)等于(D)A.-9B.-10C.-11D.-12解析:因为f(x+1)=(x+1)-6,所以f(x)=x-6,所以f(f(0)=f(0-6)=f(-6)=-6-6=-12.故选D.3.若函数y=f(x)的定义域是0,6,则函数g(x)=f(3x)x-2的定义域是(C)A.0,2B.(0,2)C.0,2)D.(0,3)解析:因为函数y=f(x)的定义域是0,6,所以由03x6,得0 x2,即f(3x)的定义域为0,2.所以g(x)=f(3x)x-2的定义域是0,2).故选C.4.函数f(x)=11+x 的值域是(D)A.RB.(-,1)C.(-,1D.(0,1解析:因为x0,所以1+x1,所以00时,解ax+10,得x-a或 x0,因为f(x)在-2,-1上有意义,所以-a-1,所以a1,所以a可以取1;当a0时,解ax+10,得x0时,f(x)=2