数学物理方程

1、第四章热传导方程关于函数u = u(t, x1, x2, , xn)的热传导方程具有下述形式ut = k u其中k是热传导系数，是一个正常数。当n = 1时，导热的绝缘导线中的温度分布满足此方程；当n = 3时，导热介质中的温度满足上述方程。此外，在描述扩散过程时，也会出现同类型的方程。本章介绍这类最典型的抛物方程的一些基本概念、方法和结果。在第一节中，以n = 3为例介绍热传导方程的导出以及相应的定解条件。在第二节中第三节中介绍求解热传导方程的Cauchy 问题(也称初值问题)的Fourier变换法。在介绍求解热传导方程的初边值问题的分离变量法。在第四节中着重介绍介绍热传导方程的极值原理以及

2、定解问题解的唯一性和稳定性。在第五节中了热传导方程的Li-Yau Hanarck 不等式。该不等式在几何分析中具有重要作用。第六节了当时间t趋于无穷时热传导方程初边值问题及Cauchy问题解的渐近性态。本章中的可以进行类似的仅限于对一个空间变量的方程进行，对于多个空间变量的情形，有的读者可以参看F. John编著的Partial DifferentialEquations, Springer-Verlag, 1982. 1.热传导方程的导出及其定解条件热传导方程的导出及其相应的定解条件。本节1.1 方程的导出一、热传导方程空间某介质D的热传导问题。以函数u(t, x, y, z)表示介质D在位

3、置(x, y, z)及时刻t的温度。依据传热学中的Fourier 实验定律，介质在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与介质温度沿曲面dS法线方向的方向导数u 成正比，即nudQ = k(x, y, z) ndSdt,(1.1)其中k(x, y, z)称为介质在点(x, y, z)处的热传导系数，它取正值。(1.1)式中的负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此，dQ应和u 异号。n1在介质D内任取一闭曲面S ，它所包围的区域记为，由(1.1)式，从时刻t1到t2流进此曲面的全部热量为 t2uQ =k(x, y, z)dSdt,(1.2)nt1S其中u 表示u

4、沿S 上外法线方向n的方向导数。温度发生变化，在时间间隔(t1, t2)中介质温度从u(t1, x, y, z)变n流入的热量使介质化到u(t2, x, y, z)，它所应该吸收的热量是 (x, y, z)(x, y, z)u(t2, x, y, z) u(t1, x, y, z)dxdydz,其中为介质的比热，为密度。因此就成立 tu2u(t2, x, y, z) u(t1, x, y, z)dxdydz.kdSdt =n(1.3)t1S假设函数u关于变量x, y, z具有二阶连续偏导数， 关于t具有一阶连续偏导数，利用Green公式，可以把(1.3)式写成 t 2 u u uk+k+kdx

5、dydzdtxxyyzzt1 t2ut=dtdxdydz,t1交换积分顺序得到 t u u u u2t xkx yky zkzdxdydzdt = 0.(1.4)t1由于t1，t2与区域都是任意的，于是 u= u u uk+k+k.(1.5)txxyyzz(1.5)式称为非均匀的各向同性介质的热传导方程。如果介质是均匀的，此时k，及均 为常数，记k/ = c2，即得 22uy22ut ux2 uz22= c+.(1.6)如果所的介质有热源(例如介质中通有电流，或有化学反应等)，则在热传导方程(1.5)的推导中还需要考虑热源的影响。若设在时间内体积中所产生的2热量为F (t, x, y, z)，

6、则此时热平衡方程为 ttu22kdSdt +F (t, x, y, z)dxdydzdtnt1St1 =u(t2, x, y, z) u(t1, x, y, z)dxdydz.于是，相应于(1.5)的热传导方程应改为 u= u u uk+k+k+ F (t, x, y, z).(1.7)txxyyzz相应地，此时方程(1.6)为 22uy22ut ux2 uz22= c+ f (t, x, y, z),(1.8)其中F (t, x, y, z)f (t, x, y, z) = .(1.9)(1.6)称为齐次热传导方程，而(1.8)称为非齐次热传导方程。 二、扩散方程在研究分子扩散过也会遇到类似

7、的方程。例如气体的扩散，液体的渗透，半导体材料中的杂质扩散等。下面，程。来建立所介质扩散过程所满足的偏微分方由于扩散方程和热传导方程的导出极为类似，不重复这一过程。只要将扩散过程所满足的物理规律与热传导过程所满足的物理规律作个类比，扩散方程就不难写出。在推导热传导方程的过起基本作用的是Fourier定律与热量守恒定律，即方程(1.1)与方程(1.3)式。在考虑扩散过程时，定律，即碰到的是相应的扩散定律与质量守恒Udm = (x, y, z) n dSdt,(1.10) t2UU (t2, x, y, z) U (t1, x, y, z)dxdydz,dSdt =n(1.11)t1S其中U 表示

8、扩散物质的浓度，dm表示在无穷小时段dt内沿法线方向n经过一个无穷小面积dS的扩散物质的质量，式中(x, y, z)为扩散系数，其它符号与(1.1)、(1.3)中的含义 相同。3将(1.10)、(1.11)与(1.1)、(1.3)比较，发现其形式是非常类似的。在热传导方引入的量Q、u、k分别相应于扩散过的量m、U 、，而出现在(1.3)式中的因子在扩散问题中相应于常数1。于是，扩散方程可写为 U U U U=+.(1.12)txxyyzz如果是常数，记 = c2，则扩散方程(1.12)就化为与热传导方程(1.6)完全相同的形式。1.2 定解条件从热力学角度来看，如果知道了所介质在边界上的温度状

9、况(或热量交换状况)和介质在初始时刻的温度，就可以确定介质在以后各时刻的温度。这样热传导方程最自然同时也最基本的一个定解问题就是在已给的初始条件和边界条件下求问题的解。自然地，初始条件的提法为u(0, x, y, z) = (x, y, z),(1.13)其中(x, y, z)为已知函数，表示介质在t = 0时刻的温度分布。下面边界条件的提法。类似于第三章第三节，分三种情况进行：第一类边界条件 最简单的情形为介质的表面的温度是已知的，这种条件的数学表达式为u(t, x, y, z)|(x,y,z)S = g(t, x, y, z),(1.14)其中S 表示介质的边界，g(t, x, y, z)

10、是定义在0,T S 上的已知函数，这里T 是一给定的正数。这种边界条件称为热传导方程的第一类边界条件，又称Dirichlet边界条件。 第二类边界条件再另一种情况：在介质的表面上知道的不是它的表面温度而是热量在表面各点的流速，也就是说在表面各点的的热量Q是已知的。根据Fourier定律面积上在时间内所流过udQ = kndSdt可知，这种边界条件实际上表示温度u在表面上的法向导数是已知的，即un = g(t, x, y, z),(1.15) (x,y,z)S4其中u表示u沿边界S 上的外法线方向n的方向导数，而g(t, x, y, z)是定义在0,T nS 上的已知函数。这种边界条件称为热传导

11、方程的第二类边界条件，又称ann边 界条件。 第三类边界条件介质放在另一种介质，不妨称为介质1中的情形：能测量到的只是与所介质接触处的介质1的温度u1，它与所介质表面上的温度u往往并不相同。在u1已知时研究边界条件的提法还必须利用另一个热传导实验定律，即牛顿定律：从所介质流到介质1中的热量和两者的温度差成正比，即dQ = (u u1)dSdt,(1.16)这里的比例常数称为热交换系数，它取正值。流过所介质表面S 的热量，从 所介质来看它应由Fourier定律确定，而从介质1方面来看则应由定律所决定，因此有ukndSdt = (u u1)dSdt,即uu + k= u1.n由于和k都是正数，因此

12、这种边界条件可以写成 un + u= g(t, x, y, z),(1.17) (x,y,z)S这里u 表示u沿边界S 上的外法线方向n的方向导数，而g(t, x, y, z)是定义在0,T nS 上的已知函数，为已知正数。这种边界条件称为热传导方程的第三类边界条件。 和波动方程相比，这三类边界条件虽然从不同的物理角度分别归结出来，但是数学上的形式却完全一样。如果所的介积很大，而所需知道的只是在较短时间和较小范围内的温度变化情况，边界条件所产生的影响可以忽略，这时可以把所的介质视为充满整个空间，而定解问题就变成Cauchy问题，此时的初始条件为 u(0, x, y, z) = (x, y, z

13、)( x, y, z ).(1.18)在此特别：与波动方程的情形不同，对于热传导方程的定解问题，初始条件只能给出一个。5在适当的情况下，热传导方描述空间坐标的变量的数目还可以减少。例如当物体是均匀细杆时，假设它的侧面是绝热的，也就是说不产生热交换，又假设温度的分布在同一截面是相同的，则温度函数u仅与坐标x和时间t有关，就得到一维热传导 方程 u2 2u= cx2 .(1.19)t同样，如薄片的热传导，薄片的侧面绝热，二维热传导方程 22ut ux2 uy22= c+.(1.20)对低维的热传导方程，可以类似地提出上述的Cauchy问题与初边值问题。对扩散方程，有类似的。这里不再重复。习 题1. 一均匀细杆直径为L，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，并服