初中数学北师大八年级上册（2023年修订） 一次函数 一次函数与正比例函数 教案

1、北师大版数学八年级上册 一次函数与正比例函数 教学设计课题 一次函数与正比例函数单元第四单元学科数学年级八学习目标知识与技能：理解一次函数和正比例函数的概念,以及两者之间的关系,利用一次函数和正比例函数解决实际问题.过程与方法：能够根据所给条件写出简单的一次函数表达式,并利用它解决实际问题.情感态度与价值观：1.通过函数与变量之间的联系,一次函数与一次方程的联系,提高学生的数学思维能力.2.经历利用一次函数解决实际问题的过程,发展学生的数学应用能力.重点理解一次函数和正比例函数的概念.难点能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导

2、入新课师：(1)什么是函数?在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.(2)函数有哪些表示方式?函数有图象、表格、关系式三种表达方式.假设某学生骑自行车的速度为10km/h,则他骑自行车用的时间t(h)和所走过的路程s之间的关系是什么?上网费用是2元/小时,则上网t(小时),费用y(元)的关系式是什么?学生思考回答问题。生：s=10ty=2t为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,讲授新课师：某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧

3、限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表:（2）你能写出x与y之间的关系式吗?做一做 某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L.（3）完成下表：（4）你能写出耗油量y（L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？(5)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？上面的两个函数关系式:1)y=3+2)y=60这两个函数关系式有什么特点?生：若两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）的形式，则称y是x的一次函数.（x为自

4、变量，y为因变量.）y=有什么特点？它是一次函数吗？定义：一般地，形如ykx(k是常数，k0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数也就是一次函数中当b=0时，称y kx是x的正比例函数.即正比例函数是特殊的一次函数.【例】下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？（1）yx4;（2）y5x26；（3）y2x;(4)y8x2x(18x)解：(1)是一次函数，不是正比例函数；(2)不是一次函数，也不是正比例函数；(3)是一次函数，也是正比例函数；(4)是一次函数，也是正比例函数【总结归纳】1.判断一个函数是一次函数的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零；2.判断一个函数是正比例函数

5、的条件：自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零【例1】写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;（2）圆的面积y（cm2)与它的半径x (cm)之间的关系；（3）由圆的面积公式，得y= x2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数；（4）某水池有水15m3,现打开进水管进水，进水速度为5m3/h,xh后这个水池内有水ym3.（5）这个水池每时增加5m3水，xh增加5xm3水，因而y=15+5x,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.例2我国自2023

6、年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入不超过3500元的部分不收税；月收入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的所得税如某人月收入3860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为（3860-3500)3%=(元）.(1)当月收入超过3500元而又不超过5000元时，写出应缴纳个人工资、 薪金所得税y(元）与月收入x (元）之间的关系式；解：（1）当月收入超过3500元而不超过5000元时，y=(x-3500)3%,即y=;(2)某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？（2）当x=4160时，y=4160-105=(元)；(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪

7、金所得税元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？（3）因为（5000-3500)3%=45(元），45,所以此人本月工资、薪金收入不超过5000元.设此人本月工资、薪金收入是x元，则=,x=4140.即此人本月工资、薪金收入是4140元.【总结归纳】一次函数y=kx+b(k,b为常数,k0)中,自变量的取值范围是全体实数,但是在实际问题中,要根据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围.本例题的关键是确定问题当中的x的取值范围.生：3；4；5；生：y=3+.生：6；12；18；24；30；36生：z=学生在教师的引导下总结归纳学生通过所学知识做例题。生：解：(1)由路程=速度时间，得y =

8、60 x，y是x的一次函数，也是x 的正比例函数；生：从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量)出发,通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.从两个具体问题的函数表达式出发，互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立障,引导学生大胆猜想,勇于探索,鼓励学生积极思维,总结出一次函数的定义，提高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力.主要从函数解析式这一角度去研究一次函数，这是学生第一次正式接触函数的表达式，教学中可根据学生状况多加一些例子，让学生逐步学会从函数表达式去认识函数，进一步掌握一次函数的定义.通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数

9、的概念,根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式,让学生体会数学的广泛应用,发展学生的抽象思维能力.充分加强数学与现实的联系,促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展.根据已知条件写出简单的一次函数的表达式,教学时,学生会出现一定的差异,此时,要给予学生足够的思考时间,必要的时候可组织学生交流讨论,而不能是简单的“告诉”.另外,在教学上还必须注意培养学生的书面表达能力,这些都是逻辑思维训练的一部分.课堂练习1.一根弹簧的原长为12cm,它能挂的重量不能超过15 kg并且每挂重物1kg就伸长,则在弹性限度内,挂重物后的弹簧长度y(cm)与所挂重物x(kg)之间的函数关系式是y=+12(0

10、x15)=kx+b是一次函数,则k为(D)A.一切实 B.正实数C.负实数 D.非零实数3.下列函数中,y是x的一次函数的是(A)=-3x+5=-3x2=24.下列说法不正确的是(D)A.一次函数不一定是正比例函数B.不是一次函数就一定不是正比例函数C.正比例函数是特殊的一次函数D.不是正比例函数就一定不是一次函数5.容积为800L的水池内已蓄水200L,若每分钟注入的水量是15L,设池内的水量为Q(L),注水时间为t(min).(1)请写出Q与t的函数关系式;(2)注水多长时间可以把水池注满?(3)当注水时间为时,池中水量是多少?Q=200+15t,0t40注水40min可以把水池注满.当注

11、水,即12min时,池中水量为380L.6.（2023梧州）下列函数中，正比例函数是（A）Ay=-8x By=Cy=8x2 Dy=8x-47.（2023广安）某油箱容量为60L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油大约消耗了？如果加满汽油后汽车行驶的路程为xkm，油箱中剩油量为yL，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（D）Ay=，x0 By=，x0Cy=，0 x500Dy=，0 x500学生认真做课堂练习。通过课堂习题练习，进一步理解并掌握新知。提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学。课堂小