物理5-1波动振动在空间的传播过程叫做,机械振动媒质

1、(Waves)械振动在媒质的第五章波动振动在空间的过程叫做波形成机械波(Mechanical Waves)。媒质中一质点做振动，通过弹性作用迫使邻近质点也在各自的平衡位置附近振动起来。由此，一个质点的振动将由近而远地在媒质中开，这就是弹性波。5.1 简谐波（Simple Harmonic Wave)一、波的产生和1.机械波的产生1) 产生条件:波源媒质2) 弹性波:机械振动在弹性媒质中的横波(Transverse Wave) 纵波(Longitudinal Wave)3) 简谐波:波源作简谐振动, 在波传到的区域,媒质中的质元均作简谐振动 。0 4 8 12 16 20 t = 0 t = T

2、/4 t = T/2 t = 3T/4t = T 结论：质元并未“随波逐流”，波的(1)不是媒质质元的；(2)(3)“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动；某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现-波是振动状态的；(4)同相点质元的振动状态相同。波长相位差2相邻2.波的特征量1)波长:两相邻同相点间的最小距离；2)波的频率:媒质质点(元)的振动频率，即时间传过媒质中某点的完整波的个数；3)波速u :时间波所传过的距离。波速 u又称相速度(相位速度)波速取决于媒质的性质；在波源相对媒质的情况下，波的频率是由波源的频率决定的。同一频率的波在不同媒质中具有不同的波长u T3.波是相位的

3、沿波的方向,各质元的相位依次方向b点比a点的振动时间：uabx图中b点比a点的相位： x4.波形曲线(波形图) utox不同时刻对应有不同的波形曲线波形曲线能反映横波、纵波的位移情况 2 x t x x x xuuTut xu二、一维简谐波的表达式(波函数)1.波函数（Wave Function)媒质中各质点位移随时间与空间的变化规律的表达式-波函数 (t ,x)的一维简谐波(u ,)沿+x方向媒质:假设:收(质元振幅均为A波速)任一点参考点 axodx已知:参考点a的振动表达式为a(t，a )= f ( t )( f(t)为已知函数)a(t，a )= f ( t )考虑p点:波速参考点 a任

4、一点xa 点的振动传到p 点所经历的时间为：odx平衡位置在 p 点的质点，在 t时刻的位移等于平衡位置在 a 点的质点在( t (x-d) / u ) 时刻的位移，即：沿x方向的波的波函数沿x轴负方向的波的波函数 (t , x ) (t x d , a) f (t x d )pauu (t , x) (t x d , a) f (t x d )pauu t x du2 .一维简谐波表达式 (简谐波的波函数)（Wave Function for a sinusoidal Wave)波速已知: 参考点a其振动表达式为做简谐振动，参考点 a任一点 pxodxP 点振动表达式：P : A, 均与a

5、点的相同, 但相位2 ( x d ) (t , x ) (t x d , a ) A cos ( t x d ) pauuaa( t, a )=Acos( t a)波速参考点 a任一点x一维简谐波的波的表达式od选:原点为参考点,初相a为零,则x 2k 2 称作角波数 ( x,x)u()kx) A cos (t x ) ( x,u简谐波的表达式(或称波函数)或 (, t ) cos 2 ( t x )T ( x, 2 ( x d ) a3.一维简谐波表达式的物理意义由(x, t) cos( t-kx)从几方面1) 固定 x, (x= x0): ( x0 ,2) 固定 t, (t = t0 )k

6、x0 )表明该质元做简谐振动； ( x,kx)0表明同一时刻各质元的振移随它们的平衡位置坐标作余弦变化；3) 如 看定某一相位 , 即令 ( t - kx)=常数dx u相速度为dtk(x,t) cos( t-kx)4) 表达式也反映了波是振动状态的xox即同一振动状态从原点传到 x 处需经历x / u 时间。(x+ x, t+ t) = (x,t)x=u t其中 x=u tu或：xott+ t (t , x) (t x , 0)u(x,t) cos( t-kx)表达式还反映了波的时间、空间双重周期性5)T时间周期性空间周期性k4.波的几何描述波线波阵面(同相面)波面平面波球面波波前(波阵面)

7、波线球面波平面波u T例1有一平面简谐波，其波函数为y 0.02cos(10t 6x) (m)试求：(1) 周期、频率、波长和波速；(2) 波谷经过原点的时刻；(3) t = 6s 时，各波峰的位置。解：（1）沿x负方向的平面简谐波的波函数一般式：y( x, t ) A cos (t x ) A cos 2 ( t x )uT而已知的平面简谐波的波函数表达式：y 0.02cos(10t 6x) 0.02 cos 2 (5)3二式相比较，即：（2）波谷为：y 0.02cos(10t 6x) 0.02可求得经过原点的时刻：t 2k 1 (s)(k 0,1,2,3.)10（3）波峰为：y 0.02c

8、os(10t 6x) 0.02x k 10(m)t = 6s 时波峰的位置：(k 0,1,2,3.)3A 0.02m;T 0.63s;v 1 1.6Hz; 1.05m;u 1.67m / s5T3T例2一平面简谐波沿x向y/m10.5o波长 = 4m,周期T = 4s,已知x = 0处质点的振动曲线。求：写出x=0处质点的振动表达式；写出波的表达式；画出t =1s时时刻的波形曲线。t/s-： 2 (rad/s)解：1)由已知由振动曲线T2 1m/s相速度为：u：初位相为：3Tx = 0处质点的振动表达式为： y cos( 2 t 3 )(m)2）波的表达式为：y cos (t x ) (m2u

9、3y/m1整理后得： y cos( t x )(m)2233）t =1s 的波形曲线为整个上面的波t/so2383/4空间距离。形向前(右)-1二、媒质中的波速YY 杨氏弹性模量 体密度G 切变模量u纵1.一般固体Gu横 G Yu横波 u纵波TT 绳的初始张力 绳的线密度2. 弦上横波u横kk 容变弹性模量3. 流体纵波u纵0三、三维平面波波动方程 2 2 2 2 2t 2u ( x 2 y2 z 2 )四、固体棒中纵波的波动方程1.某截面处的应力、应变关系xx + xox状态t 时刻(x,t)(x+x, t)(x+ x,t) - (x,t) / xx段的平均应变:x处截面 t 时刻 :长应变

10、为 /x；正应力为 F(x,t)/S正应力 、长应变关系：定律F YS xxx截面x+x截面F Y x2.波动方程Sxxxx12o x F2F1(x,t)x1截面x2截面截面S 2 2 FF, t 2xt 2SS将应力、应变关系代入 2 x)2 x)1Yx t 2 2 Y 2 x0比较波动方程t 2 x 2 2 1 2 t 2u Y一、弹性波的能量能量密度= 波的能量振动动能 + 形变势能(以细长棒中的平面简谐波为例)1.弹性波的能量密度 2 1 12Wm 2 Sx动能k t22 1 WkSx动能密度 t wk2：一段质元所受的弹性力F k 又：F Y Sx该小段杆的弹性势能： 2 11 YS

11、 122 2YSxk2 x x 2 2W 12pY 势能密度 wp x 棒中有纵波时能量密度 1 21 2能 w 2 t 2 Y x 1 2p 2 x 2.平面简谐波的能量密度能量密度w 1 2 A2x )sin 2 (t k2uw 1 2 A2 sin 2 (t x )p2u w 2 A2 sin 2 (t x ) wwkp能u平均能流密度：w 1 2 A2能2k 2 u 1 21 2w能 wk wp 2 t 2 Y x u Y ( x, x )ux = x01 2 12x 21 2in w)w wY t 能2 x2uwkwp(1/4) 2A2o物理意义Tt(1)定xwk、w p均随 t 周

12、期性变化，同步变化t = t0uwkwp(2)定t(1/4) 2A2oxwk、w p随x周期分布=0(平衡位置)wwp最大k能量也以波的形式向前传输且速度不变， 这样的 最大 ww 为 0kpTTuu(3)对位移波称为行波2(traveling wave)。对能量密度固w k = w p固二、能流密度、波的强度u时间通过某个面积S的能量1.能流(能通量)： S此柱体内的能量：w w(t, x)x S能流： w wu S这里：x utxt能流x2.能流密度: 通过垂直于方向的面积的能流S w wu考虑方向，能流密度为： t S平面简谐波：3. 波的强度：能流密度的时间平均值平面简谐波：特性阻抗: Z =u1 wu u 2 A212I SZ 2 A2波强：I A2能2S wu u 2 A2 sin2 (t x )uS wuwu S三、平面波、球面波的能流若媒质不吸收，相同的时间内通过围在同一束波线中