数理方程新行波法

1、6:25 下午1第三章 行波法与积分变换法一、行波法因式分解为作特征线性变换由链式法则,有则原振动方程化简为6:25 下午2此即为原方程的通解。利用初值条件确定函数 F，G一维波动方程的达朗贝尔公式其中 为任意一点，而C为积分常数，6:25 下午3达朗贝尔解的物理意义右传播波(右行波)6:25 下午4左传播波(左行波)把定解问题的解表示为左、右行进波相叠加的方法称为行波法。右传播波(右行波)6:25 下午5解：将初始条件代入达朗贝尔公式，得例1 求解初值问题6:25 下午6影响区域、依赖区域、决定区域波动是以一定的速度 a 向两个方向传播的。 如果在初始时刻 t0，扰动仅仅在有限区间上存在，则

2、经过时间 t 后，扰动传到的范围为影响区域定义：上式所定义的区域称为区间 的影响区域。6:25 下午7定义:区间称为解在（x，t）的值的依赖区间。从达朗贝尔公式中可以看出，u(x, t) 仅仅依赖于中的初始条件。依赖区间它是过（x，t）点，斜率分别为的直线与 x 轴所截而得到的区间（如右图）。6:25 下午8过作斜率为的直线过作斜率为的直线则它们与区间一起围成的三角形区域中的任意一点 ( x, t ) 的依赖区间都落在区间内，因此该三角区域称为决定区域。决定区域特征线特征变换行波法又叫特征线法6:25 下午9无界弦的强迫振动问题（非齐次问题的齐次化原理)怎么求解此定解问题？利用叠加原理将问题进

3、行分解：6:25 下午10齐次化原理 (Duhamel原理或冲量原理)设是问题的解，则是非齐次方程初值问题的解。齐次化原理的证明需要用到含参变量积分的求导公式。6:25 下午11下面来求解定解问题令利用达朗贝尔公式可得则以上定解问题化为：即于是定解问题的解为6:25 下午12从而原定解问题的解为一维非齐次波动方程的基尔霍夫( Kirchhoff) 公式。例2 求解定解问题解: 由Kirchhoff 公式，定解问题的解为于是原定解问题的解为6:25 下午13例3 求解定解问题解: 特征方程作特征变换：两族特征线：于是，原方程的通解为：其通解为：6:25 下午14例4 求解Goursat问题解：作

4、特征变换其中的通解为：6:25 下午15二、 三维波动方程的柯西问题球对称情形所谓球对称是指与无关，则波动方程可化简为6:25 下午16这是关于 v = r u 的一维半无界波动方程的定解问题.6:25 下午17一般情形: 球面平均法从数学上看，总希望把高维化为一维情形来处理。所谓球面平均法，即对空间任一点（x，y，z），考虑 u 在以（x，y，z）为球心，r 为半径的球面上的平均值其中6:25 下午18如把 x, y, z 看作参变量，则是 r，t的函数，若能求出 ，再令则为此把波动方程的两边在以x，y，z为中心，r为半径的球体 内积分，并应用Gauss公式，可得（*1）同时有由（*1）(*

5、2)可得（*2）6:25 下午19关于r 微分，得（3）利用球面平均值的定义,(3)可写成（4）(4)又可改写为的通解为令 r 0,有关于 r 微分，于是，有（6）接下来，求满足初值的解。对（5）关于 t 微分，（7）代入上式，得（5）（6）和（7）相加即得6:25 下午20即把代入上式，得从而有Kirchhoff公式于是，三维波动方程初值问题的解为对三维波动方程的初值问题，我们得到Poisson公式：例球面坐标变换解：例解：三，降维法得到二维公式注意到上下半球面上的积分都化成同一个圆上的积分，因此2倍！6:25 下午30利用极坐标有例解：方程解体现的物理现象蓝色初值非零区域（初值扰动区）红色前阵面：t时刻其以外波尚未传播到绿色-后阵面：t时刻其以内波已经过去。惠更斯（Huygens）原理（无后效现象）当初始