弹性力学最新试题带答案

1、【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定； 非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。非均匀的各向同性体如：混凝土。【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？ 一般的岩质地基和 土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体， 要判定能否满足四个假定： 连续性，完全弹性，均匀性， 各向同性假定。【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。【1-3】五个基

2、本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的， 也就是假定整个物体的体积都被组成这 个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示 他们的变化规律。完全弹性假定：假定物体是完全弹性的， 即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为 线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。均匀性假定

3、：假定物体是均匀的， 即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的， 因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。各向同性假定：假定物体是各向同性的， 即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次哥或乘积相对于其本身都可以略去不计，使

4、得弹性力学中的微分方程都简化为线性的微分方程。【1-4】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力 和正的面力的方向。【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时），这个面上的应力（不论是正应力还是切应力） 以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。面力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。由下图可以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负面上应力分量与面力分量符号相反。正面0r%负面正的应力正的面

5、力【1-5】试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。【解答】材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负。弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，作用于负坐标面上的切应力以沿坐标轴负方向为正，反之为负。【1-6】试举例说明正的应力对应于正的形变。【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包 括正的正应变与正的切应变，本题应从两方面解答。正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况下，产生轴向拉 应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。正的切应力对应于正的切应变：在如图所示应力状态情况下, 切应力均为正的切应力，引起直角减小，故

6、为正的切应变。【1-7】试画出图1-4中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。正的体力、面力正的体力、应力【1-8】试画出图1-5中三角形薄板的正的面力和体力的方向。【1-9】在图1-3的六面体上，y面上切应力 z的合力与z面上切应力 y的合力是否相 等？【解答】切应力为单位面上的力，量纲为L,MT,单位为N/m2。因此，应力的合力应乘以相应的面积，设六面体微元尺寸如dxxdyxqz则y面上切应力 %z的合力为：yz dx dz(a)Z面上切应力 与y的合力为：- zy dx dy(b)由式(a) (b)可见，两个切应力的合力并不相等。【分析】作用在两个相互垂直面上并垂直于该两面交线的切应力的

7、合力不相等，但对某点 的合力矩相等，才导出切应力互等性。【2-9】试列出图2-17,图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣 维南原理列出三个积分的应力边界条件。y(h2 b)图 2-17图 2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件,若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。【解答】图2-17:上（y=0）左(x=0)右（x=b）l0-11m-100fx s0:g y hg y hfy sDg%00代入公式（2-15）得在主要边界上x=0, x=b上精确满足应力边界条件:二x xf = Dg(y hl), xy xz0 =0；

8、二x x+ g(yxy x/ =0；在小边界y=0上，能精确满足下列应力边界条件:二 y yf = gh, xy y J0在小边界y = h2上，能精确满足下列位移边界条件:U y + ” V =0y半2y印2这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚每=1时，可求得固定端约束反力分别为：Fs =0, Fn - - ：gh1b, M =0由于y=h2为正面，故应力分量与面力分量同号，则有: b网）也 dx = -PghibbToByL2xdx = Ob（、）.dX = 0-o xy y2图2-18上下主要边界y=-h/2 , y=h/2上，应精确满足公式（2

9、-15）i mfxfyhny = o -i o q2hy=01-qi 02（Cy）y_h/2 = -q , （Tyx）y=h/2 =0 , （Cy ）y_h/2 =0 , （Tyx）y0/2 = -qi在x=0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有“ h/2JxyKdx-sh/2/2（二 x）xdx = -FNh/2L2 9x）x3 ydx=-M在x=l的小边界上，可应用位移边界条件 ux=t =0,vx=t =0这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。首先，求固定端约束反力， 按面力正方向假设画反力， 如图所示，列平衡方程求反力:

10、% Fx =0,Fn Fn =ql= Fn =ql -Fnq1lhMM -Fsl 2ql2F l支一Fsl 一 2“ Fy =0艮 Fs ql =0= Fs - ql -Fs TOC o 1-5 h z 121 MA =0,M M FSlql q1lh =0 = HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 22由于x=l为正面，应力分量与面力分量同号，故 h/2,f_h/9(CTx)x,tdy = FN = q1l -Fnh /2 h/2（二 x）x=tydy =M-h /2f_h/2（zxy）x=tdy =F； = ql Fsh/2【2-14】检验下列

11、应力分量是否是图示问题的解答:y q2-20(a)图 2-20, sx2y _2q， ybxy - 0 o(1)平衡微分方(1)将应力分量代入平衡微分方程式，且fx = fy = 0三=0:x；y二二 y：:y【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足: 程(2-2); (2)用应力表示的相容方程(2-21); (3)应力边界条件(2-15)。(2)将应力分量代入用应力表示的相容方程式(2-21),有+ CT应力分量不满足相容方程。因此，该组应力分量不是图示问题的解答。(b)图2-21,由材料力学公式，仃xM-py,七xy*FS (取梁的厚度b=1),得出所示bl3问题的解答

12、：二x = -2qx4,.xv x lh 3 xy3q x222-q-r(h -4y )。又根据平衡微分方程和边界条件4 lh3得出：二y3qy-2qy3-q-o试导出上述公式，并检验解答的正确性。2 lh lh32 l(1)推导公式在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1,高为h的矩形，其对中性h3轴(Z轴)的惯性矩 =一，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程 122M (x) =x3, F (x -。6l2l所以截面内任意点的正应力和切应力分别为:_ M xx3y“丁 y2qMxy3Fs x2bhA 2、4yh23q42X /3 h lh3/ 2-4y根据平衡微分方程第

13、二式（体力不计）y-X得:_ 3q xy-y .2 lh根据边界条件、#23 xy lh3将应力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式：22一 x y x y ,左=-6q.* 6q = = 0 =右lh3lh3满足第二式自然满足将应力分量代入相容方程（2-23）口 2l.2、CC+口 20 2xxy)+。，尸-侬3-侬常，0 =右应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。【3-9】图3-11所示的墙，高度为 h,宽度为b, h ? b ,在两侧面上受到均布剪力q的作用，试应用应力函数 9 = Axy+Bx3y求解应力分量。【解答】按半逆解法求解。将应力函数代入相容方程（2-2

14、5）显然满足。由公式（2-24）求应力分量表达式，体力为零，有c 一二三:，一12crx = 2 =0 , 仃y = 2 = 6Bxy, zxy = 7yx = -= -A 3Bx.:y.xx.:y考察边界条件：在主要边界x=-b/2上，精确满足公式（2-15）二 x xW/2 = 0，( xy)xf/2 = q第一式自然满足，第二式为32A- - Bb =-q4在主要边界x=b/2上，精确满足式(2-15)二x x+/2 xy x + /2 = q(a)第一式自然满足，第二式为 3 2-A- Bb - -q4在次要边界y=0上，可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件b/2f ） dx=0

15、 满足/2 y y30b/2L2gy）y/dx = 0满足(b)b/2b/232 yxy，dx=/2 -A-3Bx21dx - -Ab Bb =04(c)联立（a） （c）得系数T,B2q b2代入应力分量表达式，得二x =0，二12qb2 xy, xy二q22、/ “ x1 一12二b2J【3-10设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计,l ? h (图3-12),试用应力函数 =Axy + By2+Cy3+Dxy3求解应力分量。【解答】采用半逆解法求解(1)将应力函数代入相容方程(2-25),显然满足(2)由应力函数求应力分量，代入公式(2-24)仃 x = 2B +

16、6By+6Dxy(a)二 y 二02xy =yx = - A 3Dy(3)考察边界条件主要边界y = h/ 2上，应精确满足应力边界条件份/2=0,满足3r,2 c1 瓜=0,得 A+Dh =0 xy y：二:h/24在次要边界x=0上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件 h/2h/2/2 二x xfdy =-FN=/2 2B 6Cy dy = -FN = B =-(b)Fnh/2h/2/2 八 xm ydy 二-M 二/2 2B 6Cy ydy = -M =。2h 2M 不h/23/2h/2xy xdy = Fs=/2A 3Dy2 dy = Fs= Ah ； Dh3 = Fs(c)A

17、3FsA = s2h联立方程(b) (c)得c2Fs,D = - V h3最后一个次要边界(x = l )上，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下是必 然满足的，故不必在校核。将系数A、B、C、D代入公式(a),得应力分量FN 12M12F,3 丫 一3h h-xycryxy3FSS2h【3-6】试考察应力函数=-，-.22、水xy(3h 一4h/2h/2O(l? h)y.图3-9能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）_4 ._4

18、 ._4 .名+2-+T=0，显然满足:x ；x FyFy（2）将中代入式（2-24）,得应力分量表达式一 12Fxy 一 八x - _-3- y _ 0, - xy 一 yxh（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力:在主要边界上（上下边界）上,2-15),应hy = -，应精确满足应力边界条件式（ 2力 y y h/2 =0， yx y .h/2 = 0 y h /2y h/2h因此，在王要边界 y=U上，无任何面力，即2fxhy = -2=0, fyy-:02在x=0,x=l的次要边界上，面力分别为:=0, fy3F1-12Fly -3, yh3F2hh2因此，各边界上的面力分布如图所示:x=0上x=l上、h/2 洞主矢：Fn1= .*/2 fxdy =0,h/2 .G =/2 fxdy =0、h/2 一则主矢：Fs1 = _h/2 fydy = F ,h/2 一FS2 =0/2fydy = F、h/2 一主矩：M1二 fxydy =0,-h/2h/2 一M2 = ./2fxydy - -Flx=l的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式:在x=0,因此，可以画出主要边界上的面力，和