复变函数第三章

1、复变函数第三章第1页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二1 复变函数积分的概念1.1 积分的定义有向曲线设函数 w=f(z) 定义在区域 D 内，C 为 D 内起点为 A，终点为 B 的一条光滑的有向曲线，在 C 上从 A 到 B 依次取分点：在弧 上任意取一点 作和式z1z3z kz2z0=Az1z2z3.zk-1B=z1xyOzk第2页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二3当 n 趋于无穷时，不论对 C 的分法及对 的取法如何，只要 趋于零，若 有唯一极限，则称此极限值为 f(z) 沿 C 的积分. 记作注 若C为闭曲线，则沿C 的积分记作若 C 是

2、实轴上的闭区间，而 f(z) 是一个一元实函数，则复积分的定义和一元实函数定积分的定义是一致的.第3页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二4复积分的基本性质第4页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二5例 设 C 为从点 i 到点 3+4i 的直线段，试求积分绝对值的一个上界.如何计算复积分？第5页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二6复积分存在的必要条件若函数 f(z)=u(x, y)+iv(x, y) 沿（按段）光滑曲线 C： 连续，则 f(z) 沿 C 可积，且成立第6页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二7注

3、 形式上看，例 分别沿 y=x 与 y=x2 计算如下积分：第7页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二8变量替换公式例 分别沿 y=x 与 y=x2 计算如下积分：第8页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二9Oxy例 计算 ，其中 C的正向圆周，n 为整数.为以 z0 为中心，r 为半径Oxy例 计算 的值，其中 C 为1）沿直线段 2）沿折线段例 计算 其中 C 为从原点到点3+4i的直线段.第9页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二解：直线段 C 的方程：或 z=3t+i4t, 0 t 1则在 C 上 dz=(3+4i)dt，从而

4、与积分路线 C 无关，只与端点有关.第10页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二11Oxy例 计算 ，其中 C的正向圆周，n 为整数.为以 z0 为中心，r 为半径解：C 的方程：第11页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二12第12页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二13Oxy例 计算 的值，其中 C 为1）沿直线段 2）沿折线段第13页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二142 柯西-古萨基本定理柯西-古萨基本定理 设函数 f(z) 在单连通区域 B 内处处解析，则 f(z) 沿 B 内的任一条封闭曲线 C的

5、积分为零：注 条件若改为 f(z) 在闭区域 上解析，其中曲线 C 为单连通区域 B 的边界，结论仍成立.第14页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二柯西-古萨基本定理 设函数 f(z) 在单连通区域 B 内处处解析，则 f(z) 沿 B 内的任一条封闭曲线 C的积分为零：注 条件若改为 f(z) 在单连通区域 D 上解析，且在其边界 C 上连续，结论仍成立.CC第15页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二16Oxy例 计算 的值，其中 C 为1）沿直线段 2）沿折线段第16页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二计算复积分的方法：找出

6、 f(z) 的实部和虚部写出积分曲线的参数方程 f(z) 在单连通区域内解析且连续到边界C第17页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二3 基本定理的推广复合闭路定理复合闭路定理 设 C 为多连通域 D 内的一条简单闭曲线， 是在 C 内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以 为边界的区域全含于 D，若 f(z) 在 D 内解析，则CC2C3C1简化条件：若 f(z) 在多连通区域 D 内解析，并连续到其边界第18页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二CC1二连通情形：第19页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二20Oxy例 计

7、算 ，其中 为包含 z0 的任意一条简单闭曲线，n 为整数.解：第20页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二求 型积分的步骤：第21页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二xy第22页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二23定理一 若函数 f(z) 在单连通区域 B 内解析，则定理二 设函数 f(z) 在单连通区域 B 内解析，则函数 F(z) 在 B 内解析，且 F (z)=f(z).4 原函数与不定积分与连接起点和终点的路线 C 无关.第23页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二由 充分小及 在小领域内的一致连续

8、性第24页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二25原函数 在若函数 在区域 B 内的导数等于 f(z) ，即 则称 为 f(z) 在区域 B 内的原函数.注 定理二中的 F(z) 就是 f(z) 的一个原函数.不定积分 f(z) 的原函数的一般表达 F(z)+c (c 为任意复常数) 为 f(z) 的不定积分，记作定理三 （牛顿-莱布尼兹公式）若函数 f(z) 在单连通区域 B 内解析， 是 f(z) 的任一原函数，则第25页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二26原函数：原函数：第26页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二计算复积分

9、的方法：第27页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二285 柯西积分公式（复合闭路定理）（积分估值）第28页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二29定理（柯西积分公式）若函数 f(z) 在区域 D 内解析， C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 D，z0 为 C 内的任一点，则注 条件改为 f(z) 在简单闭曲线 C 的内部解析且连续到边界，则结论仍成立.或第29页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二30在上述定理中，若 C 代表圆周： ，则即一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的值的平均数.（解析函数平均值定理

10、）例 求下列积分的值：第30页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二31解：由函数 f(z) =sinz 在 z 平面上解析，且z=0含于 内部，则根据柯西积分公式，第31页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二32(z=-1, z=3含于 内部)第32页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二xy第33页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二第34页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二356 解析函数的高阶导数定理 解析函数 f(z) 的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为：其中 C 为解析区域 D 内

11、围绕 z0 的任何一条正向简单曲线，且它的内部全含于 D. 注 一个解析函数具有无穷阶导数，且它们也是解析的.第35页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二36例 求下列积分的值，其中 C 为正向圆周：B 内任何一条简单闭曲线 C 都有例 设函数 f(z) 在单连通区域 B 内连续，且对证明 f(z) 在 B 内解析. （Morera 定理）第36页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二37定理（柯西积分公式）若函数 f(z) 在区域 D 内解析， C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 D，z 为 C 内的任一点，则注 条件改为 f(z)

12、 在简单闭曲线 C 的内部以及 C 上解析，则结论仍成立.或第37页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二38定理（高阶导数公式） 解析函数 f(z) 的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为：其中 C 为解析区域 D 内围绕 z0 的任何一条正向简单曲线，且它的内部全含于 D. 注 一个解析函数具有无穷阶导数，且它们也是解析的.第38页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二397 解析函数与调和函数的关系调和函数 若二元实函数 H(x, y) 在区域 D 内具有二阶连续偏导，且满足 Laplace 方程 则称 H(x, y) 为 D 内的调和函数.第39页，

13、共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二定理 任何在区域 D 内解析的函数，它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.证：设 D 内的解析函数则两等式分别关于x, y求偏导由解析函数高阶导数定理知，u 和 v 具有任意阶连续偏导，故从而同理因此 u 和 v 调和.第40页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二41共轭调和函数 区域 D 内满足 C.-R.方程的两个调和函数 u, v 中，v 称为 u 在区域 D 内的共轭调和函数.注 区域 D 内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.u+iv = f(z) 调和解析为 u 的共轭调和函数第41页，共45页，2022年，5月20日，13点15分，星期二42例 验证 u(x, y)=y3-3xy2 是调和函数，并求以u(x, y) 为实部的解析函数 f(z).例 已知一调和函数 求一解析函数 f(