复变函数傅立叶变换

1、复变函数傅立叶变换第1页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 所谓积分变换,就是把某函数类A中的函数(象原函数) 乘上一个确定的二元函数 ,然后计算积分,即 这样变成另一个函数类B中的函数(象函数).根据选取的二元函数(核函数)不同,就得到不同名称的积分变换.第2页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二7.1傅里叶变换的概念与性质第3页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二41、 连续或只有有限个第一类间断点2、 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数. 在高等数学中学习傅里叶级数时知道，研究周期函数实际上只须研究其中

2、的一个周期内的情况即可, 通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件, 即在区间-T/2,T/2上第4页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二5因此, 任何满足狄氏条件的周期函数 , 可表示为三角级数的形式如下:第5页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二6而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:其中第6页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二7如图所示:1-1otf(t)1第7页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二8

3、1-13T=4f4(t)t现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则第8页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二9第9页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二10第10页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二11sinc(x)x第11页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二12w第12页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二131-17T=8f8(t)t第13页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二14第14页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，

4、星期二15w第15页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二16w第16页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二17第17页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二18第18页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二19第19页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二20Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)第20页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二21第21页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二22O w1 w2 w3 wn-1wnw第22页，共56页，2022年

5、，5月20日，22点53分，星期二23第23页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二24此公式称为函数f(t)的傅里叶积分公式, 简称傅氏积分公式,而等号右端的积分式称为 的傅里叶积分(简称傅氏积分).第24页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 若函数 在任何有限区间上满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：(1）连续或只有有限个第一类间断点；(2) 至多有有限个极值点）,并且在 上绝对可积，则有： 为连续点 为间断点第25页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二26第26页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二27

6、最后这个式子就是傅里叶积分的三角形式第27页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二也叫做 的傅氏积分表达式 如果函数 满足傅里叶积分定理,由傅里叶积分公式,设叫做的傅氏变换,象函数,可记做 = 叫做的傅氏逆变换,象原函数,=第28页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二解第29页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二解这个指数衰减函数是工程技术中常遇到的一个函数 tf(t)第30页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 若 上式右端为于是第31页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二 在物理和工程技术中,

7、除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决. 第32页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二（1）看作矩形脉冲的

8、极限（2） 函数的数学定义（3）物理学家狄拉克给出的定义满足下列两个条件的函数称为 函数： 第33页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二1函数用一个长度等于1的有向线段来表示,如下图 o 定义为满足下列条件的函数如下图1第34页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二（1）对任意的连续函数,都有 （2）函数为偶函数,即 第35页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二（3）其中, 称为单位阶跃函数.反之,有 .Otu(t)第36页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二由于 =可见, =1, -11= . 与常数1构成了一个傅

9、氏变换对,即与 也构成了一个傅氏变换对,即第37页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例4 可以证明单位阶跃函数 的傅氏变换为 的积分表达式为 pwO|F(w)|第38页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例5 证明的傅氏变换为证明=所以第39页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例6 求正弦函数的傅氏变换 可以证明pp-w0w0Ow|F(w)|tsint第40页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二1 线性性质 =设为常数则= 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅

10、氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.第41页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二若=则以为自变量的函数 的象函数为 即 3 相似性质 =若则第42页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二若=为实常数,则 （1）象原函数的平移性质第43页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例7 求解 因为 所以第44页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二若=为实常数,则 第45页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例8 已知求解显然一般地第46页，共56页，2022年，5

11、月20日，22点53分，星期二且 则若=一般地,若则（1）象原函数的微分性质第47页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二例9 证明证明 因为所以一般地第48页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二若=则或例10 已知求解第49页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二若=则在这里 必须满足傅氏积分存在定理的条件,若不满足,则这个广义积分应改为 第50页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二7.2傅里叶变换的应用第51页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二在频谱分析中, 傅氏变换 又称为 的频谱函数, 而它的模 称为 的振幅频谱(亦简称为频谱). 由于w是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱.可以证明,频谱为偶函数,即第52页，共56页，2022年，5月20日，22点53分，星期二53f(t)单个矩形脉冲的频谱函数为:tE-t/2t/2第53页，共56页