矩阵的运算解读课件

1、矩阵的运算解读矩阵的运算解读一、矩阵的加法下页矩阵加法的定义 设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记为AB 规定为AB(aijbij ) 即 提示 只有当两个矩阵是同型矩阵时 这两个矩阵才能进行加法运算 一、矩阵的加法下页矩阵加法的定义提示 只有当一、矩阵的加法下页矩阵加法的定义 设有两个mn矩阵A(aij)和B(bij) 矩阵A与B的和记为AB 规定为AB(aijbij ) 即 一、矩阵的加法下页矩阵加法的定义矩阵的加法 设A(aij)和B(bij) 则规定AB(aijbij ) 下页矩阵加法的运算规律 设A B C都是mn矩阵 则 (1)ABBA (2)(AB)CA(

2、BC) 负矩阵 矩阵的减法 设矩阵A(aij) 记A(aij) A称为矩阵A的负矩阵 显然有 A(A)O 规定矩阵的减法为ABA(B)矩阵的加法 设A(aij)和B(bij) 则规定A二、数与矩阵相乘 数乘矩阵的定义 数与矩阵A的乘积 记为A或A 规定为A=(aij) 即 二、数与矩阵相乘 数乘矩阵的定义数乘矩阵的运算规律 设A、B都是mn矩阵 、是数 则 (1)()A(A) (2)()AAA (2)(AB)AB 矩阵的加法运算与数乘运算合起来 统称为矩阵的线性运算 数与矩阵相乘 设A(aij) 则规定A=(aij) 数乘矩阵的运算规律数与矩阵相乘 设A(aij) 则规定三、矩阵与矩阵相乘 下

3、页这个线性变换称为前两个线性变换的乘积 它的系数矩阵可以看作是前两个线性变换的系数矩阵的某种乘积 引例 可得线性变换 相继作线性变换 三、矩阵与矩阵相乘 下页这个线性变换称为前两个线性变换的乘积矩阵乘法的定义 设A(aij)是一个ms矩阵 B(Bij)是一个sn矩阵 那么矩阵A与矩阵B的乘积记为AB 规定为mn矩阵C(cij) 其中 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1 2 m；j1 2 n) 下页三、矩阵与矩阵相乘 应注意的问题 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 矩阵乘法的定义 cijai1b1jai2b2j 矩阵乘法的定义 设A(aij)是一个ms矩阵

4、 B(Bij)是一个sn矩阵 那么矩阵A与矩阵B的乘积记为AB 规定为mn矩阵C(cij) 其中 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1 2 m；j1 2 n) 下页三、矩阵与矩阵相乘 按此定义 一个1s的行矩阵与一个s1的列矩阵的乘积是一个1阶方阵 也就是一个数 这表明乘积ABC中的元cij就是A的第i行与B的第j列的乘积 矩阵乘法的定义 cijai1b1jai2b2j 下页矩阵的乘法 设A(aij)ms B(Bij)sn 则规定AB(cij)mn 其中 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1 2 m；j1 2 n) 解 3110下页矩阵的乘法 设A(aij)ms

5、 B(Bij)s下页矩阵的乘法 设A(aij)ms B(Bij)sn 则规定AB(cij)mn 其中 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1 2 m；j1 2 n) 3313107提问 BA是否有意义 解 下页矩阵的乘法 设A(aij)ms B(Bij)s矩阵的乘法 设A(aij)ms B(Bij)sn 则规定AB(cij)mn 其中 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1 2 m；j1 2 n) 解 32161680000 本例说明 乘法一般不满足交换律 从ABO一般不能推出AO或BO 从A(XY)O一般不能推出XY 矩阵的乘法 设A(aij)ms B(Bij)s

6、n下页矩阵的乘法 设A(aij)ms B(Bij)sn 则规定AB(cij)mn 其中 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1 2 m；j1 2 n) 解 31103110 显然ABBA 如果两矩阵A与B相乘 有ABBA 则称矩阵A与矩阵B可交换 下页矩阵的乘法 设A(aij)ms B(Bij)s矩阵乘法的性质 (1)(AB)CA(BC) (2)(AB)(A)BA(B) (其中为数) (3)A(BC)ABAC (BC)ABACA 下页单位矩阵在矩阵乘法中的作用 对于单位矩阵E 容易验证EmAmnAmn AmnEnAmn或简写成EAAEA 可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1

7、 矩阵乘法的性质 (1)(AB)CA(BC)矩阵乘法的性质 (1)(AB)CA(BC) (2)(AB)(A)BA(B) (其中为数) (3)A(BC)ABAC (BC)ABACA 纯量矩阵在矩阵乘法中的作用 矩阵Ediag( )称为纯量阵 由(E)AA A(E)A 可知纯量阵E与矩阵A的乘积等于数与矩阵A的乘积 当A为n阶方阵时 有(En)AnAnAn(En)这表明纯量阵E与任何同阶方阵都是可交换的 矩阵乘法的性质 (1)(AB)CA(BC)应注意的问题 只有当A与B可交换时 才有(AB)kAkBk (AB)2A22ABB2 (AB)(AB)A2B2矩阵的幂 设A是n阶方阵 定义A1AAk1A

8、k A1 A2A1A1其中k为正整数 这就是说 Ak就是k个A连乘 显然只有方阵 它的幂才有意义 矩阵的幂的运算规律 (1) AklAk Al (2)(Ak)lAkl其中k、l为正整数应注意的问题 只有当A与B可交换时 才有矩转置矩阵的定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵 叫做A的转置矩阵 记作AT 四、矩阵的转置下页120311转置矩阵的定义四、矩阵的转置下页13转置矩阵的定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵 叫做A的转置矩阵 记作AT 四、矩阵的转置下页转置矩阵的运算规律 (1)(AT)TA (2)(AB)TATBT (3)(A)TAT (4)(AB)TBTAT 转置矩

9、阵的定义四、矩阵的转置下页转置矩阵的运算规律 解法一因为所以0171413310 解法二0171413310 解法一因为所以0171413310 注 设A为n阶方阵 如果满足ATA 即aijaji(i j1 2 n)则称A为对称矩阵 简称对称阵 对称阵的特点是 它的元素以对角线为对称轴对应相等 例7 设列矩阵X(x1 x2 xn)T满足XTX1 E为n阶单位阵 HE2XXT 证明H是对称阵 且HHTE E4XXT4XXTE4XXT4X(XTX)XTE4XXT4(XXT)( XXT)HHT所以H是对称阵 HT 证明 因为 HE2XXTE T2(XXT)T(E2XXT)T(E2XXT)2H2E注

10、设A为n阶方阵 如果满足ATA 五、方阵的行列式方阵的行列式的定义 由n阶方阵A的元素所构成的行列式称为方阵A的行列式 记作|A|或detA方阵的行列式的运算规律 (1)|AT|A| (2)|A|n|A| (3)|AB|A|B| 五、方阵的行列式方阵的行列式的定义 方阵的行列式的运算规律 由行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的方阵称为矩阵A的伴随矩阵 简称伴随阵 方阵的伴随矩阵 类似地 有A*A|A|E|A|Ediag(|A| |A| |A|)AA*(bij)所以设A(aij) 记AA*(bij) 例8 试证AA*A*A|A|E 证明因为 由行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij