相似矩阵解析课件

1、相似矩阵解析相似矩阵解析相似作为矩阵之间的一种关系，(1) 自反性：AA； (2)对称性：若AB，(3)传递性：若AB，BC，2 性质定理1具有以下三条性质：则AC则BA；定理2 相似矩阵的特征多项式相同，相同的特征值。从而相似矩阵有相似作为矩阵之间的一种关系，(1) 自反性：AA； (2证明设AB，则存在可逆矩阵P满足由此A与B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。(1)相似矩阵有相同的行列式。注(2)有相同的特征值的矩阵不一定相似.例与有相同的特征多项式但不相似(为什么?)证明设AB，则存在可逆矩阵P满足由此A与B有相同的特征多项例1设解:计算得则例1设解:计算得则二 矩阵A 的对角化问

2、题定义2 求与方阵A相似的对角矩阵，简称矩阵A的对角化问题。 1 定义相似对角化问题，可以证明，有些方阵不能与对角矩阵相似。 一个矩阵如果与对角矩阵相似，则称这个矩阵可对角化。2 n阶方阵A可对角化充要条件称为矩阵A的定理3 n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。二 矩阵A 的对角化问题定义2 求与方阵A相似的对角矩阵于是存在一个可逆方阵P使得(1)必要性设n阶方阵A可对角化,将矩阵P用其列向量表示为由(*)得因而有即是A的特征向量,又P可逆,故它们无关故n阶方阵A可对角化,则必有n个无关的特征向量.于是存在一个可逆方阵P使得(1)必要性设n阶方阵A可对角化,注:方阵A可对

3、角化是否能所对任何的可逆矩阵P使得必然是对角矩阵否事实上由证明过程可知:若可逆矩阵P可将A对角化即为对角阵,则(1) P的每列必需均是方阵A的特征向量.(2) 且A相似的对角阵主对线上元素不是别的,正是方阵顺序由P中的特征向量顺序决定.A的全体特征值.注:方阵A可对角化是否能所对任何的可逆矩阵P使得必然是对角矩(2)充分性:设 n阶方阵A的n个无关的特征向量为对应特征值为即作矩阵则P是可逆矩阵.即(2)充分性:设 n阶方阵A的n个无关的特征向量为对应特征值注:由定理及证明可知:矩阵能对角化A线性无关(1) 故n阶矩阵P的每列均是方阵A的特征向量不能说P能对角化AP可能不可逆.(2)能说可逆矩阵

4、P使方阵A满足是对角矩阵,则n阶矩阵P的每列均是方阵A的特征向量且是无关的.且都是A 的特征向量.注:由定理及证明可知:矩阵能对角化A线性无关(1) 故n阶矩定理4则A可对角化，且是由对应的特征向量作为列向量构成的矩阵。相似变换矩阵P即若则分别是的特征向量若n阶方阵A有n个互不相同的特征值注n阶方阵A有n个互不相同的特征值是A可对角化充分而非必要条件.定理4则A可对角化，且是由对应的特征向量作为列向量构成的矩阵例2对矩阵有特征向量对应的特征值为-2有特征向量对应的特征值为1易知线性无关,故矩阵A可对角化作矩阵则必有例2对矩阵有特征向量对应的特征值为-2有特征向量对应的特征值例2对矩阵有特征向量

5、对应的特征值为-2有特征向量对应的特征值为1易知线性无关,故矩阵A可对角化若作矩阵则必有例2对矩阵有特征向量对应的特征值为-2有特征向量对应的特征值例2对矩阵有特征向量对应的特征值为-2有特征向量对应的特征值为1易知线性无关,故矩阵A可对角化.作矩阵则必有例2对矩阵有特征向量对应的特征值为-2有特征向量对应的特征值例2对矩阵有特征向量对应的特征值为-2有特征向量对应的特征值为1易知线性无关,故矩阵A可对角化.作矩阵(1)是否是对角矩阵,(2)作矩阵是否是对角矩阵,(3)作矩阵是否是对角矩阵,例2对矩阵有特征向量对应的特征值为-2有特征向量对应的特征值3 判断n阶方阵A是否可对角化步骤(1)求出

6、A的特征值,不妨设特征多项式为其中(2)对每个特征值求齐次方程组得基础解系为注:不同,即且特征值重数为重.为方阵A所有不同的特征值,对特征值必有即每个特征值所拥有的则则线性无关.(为什么?)线性无关的特征向量个数不会超过特征值的重数.3 判断n阶方阵A是否可对角化步骤(1)求出A的特征值,不妨(3)则不能对角化.若则能对角化.且作矩阵则即至少有一个特征值所拥有的线性无关的特征向量个数小于特征值的重数.则不能对角化.若即每一个特征值所拥有的线性无关的特征向量个数等于特征值的重数,则能对角化.即(3)则不能对角化.若则能对角化.且作矩阵则即至少有一个特征(1) n阶方阵A可对角化的A有n个线性无关

7、的特征向量。注:n阶方阵A可对角化的充要条件(2) n阶方阵A可对角化的每一个特征值所拥有的线性无关的特征向量个数等于特征值的重数,(1) n阶方阵A可对角化的A有n个线性无关的特征向量。注:例3设矩阵为方阵A是否可对角化,若能对角化求矩阵P把A相似对角化解(1)求矩阵A特征值,由得特征值(2)故A不能可对角化例3设矩阵为方阵A是否可对角化,若能对角化求矩阵P把A相似对例4设矩阵为方阵A是否可对角化,若能对角化求矩阵P把A相似对角化.(1)求矩阵A特征值,由得特征值(2)当得基础解系解:当得基础解系故A可对角化,且作矩阵则例4设矩阵为方阵A是否可对角化,若能对角化求矩阵P把A相似对例4设A为3阶方阵且满足矩阵A能否对角化,若能出一个与相似对角的对角矩阵.解:由得即故0是矩阵A的特征值.由可得方程组解空间为2维