2015北京大学金秋营数学试题(部分含答案)

1、2015年北京大学金秋营数学试题1、设厶ABC的垂心为H,中点三角形的内切圆为T,圆心为S。直线/IIAB,mllAC，且都与T相切(AB,/；AC,m分别在S同侧)，/与m交于T。射线AT上一点N满足AN=2AT,Q是优弧(BAC)的中点，点R让四边形AHRQ成为平行四边形。证明：HR丄RN。32、给定整数k3.证明：方程mn+nr+rm=k(m+n+r)至少有3k+3L+1组整数解(m,n,r).3、给定正整数k.A,B,C三个人玩一个游戏(A边,B和C一边)：A先从集合1,2,，n中取k个数交给B,B从这k个数中选择k-1个有序地给C,若C能够确定B没给C的数是什么，则B,C赢了，求最大

2、的正整数n,使B,C有必胜策略。4、确定全部fWZx(degf2),使存在gWZx,满足x3-1|f(x)g(x)-1.设S,TcN.满足OeS,且存在正实数u,v,使|帥且2严用|多Lin,T门12孑vn,对任意正整数ri成立。证明：若u+vlfl则乙匚S+T&6、平面上是否存在某个有限点集A和某个有限直线集B,满足A中的每个点恰好在B中三条直线上，且B中每条直线恰好经过A中的三个点。7设p是奇素数，目百叮喝站=讥，kEN一设其中広佃-1)-(a?-A：+1)kl证明：勺為且沪訓勺=0丄机町128、设keZ+,S=(m+k,n)|m,nWZ,T=(m+,n)|m+k,n)|m,neZ.求所有

3、正整数k,使得存在a,b,c,dWR及映射F:R2fR2,F(x,y)=(ax+by,cx+dy),满足F(S)=T.【部分试题参考解答】第1题参考解答如虱AABC內接于06垂心対凡D、E、F分剧宵三边中点，作ADEF內切圆OS,直线m/AB；直线11”卫6且都与相切（皿在5同侧dACxn在S同侧）：直线叭n交于点T；在射线AT上取点皿便得AN=2AT,Q为弧BA2中点，四边形应为平行四边形，证明：師丄瓯，C2O15年北京大学秋令营试题*Q证明二如虱延长曲交O0于L则氐J关于號对称，取血得内心为延长曲交于心则K为弧BC中点，所以AQKJ为等腰梯形进而知屈关于肌对称即D为RK申点。*连结娥BE交

4、干点贝iG为滅重心，也为山吓重心MADEF与厶皿关于点G1:2位似*于是知$、咲于点G1：2位似即IG=2SG；且SDAlo+J连结NB交直线in于连结毗交崖対于Y,贝I斑与AAK关于点N以1辽位似,又注意到叫用匀与OS相切，故0S为俯的内切圆进而知乩I关于点.N以_1;2位似,故NI中点注意到D为曲中点且SD/AI,故RM/AI,进而知RN丄撅，也即朗丄HR,命题得证！dQ第2题参考解答a给定翱七，证明:*万手丘jrm+?ir+rwz=t(w+n+r)至少有珀十亍严组整sm辆叫心我们指出箕实上这个不走方程的整数薛有无数梦组+iH明因为mn+wr+rw=!km+ft+0O?VneN十有：sn1,2,.,起陰肚削|Snl?2,.|v/z证明：若尢+王i,贝i)z+匸s+丁证：先证：SjT=N/mo:|SH1,2,.,用|izmIT7ril,2?.,m|vm=m-1im,m-1vmv)mmiQssiblQ:.SJTN下面证明；寸FE了斗，卩E+let.宛二Itisniioj7ni)ivo-