初中数学人教九年级下册（2023年新编）第二十八章 锐角三角函数2解直角三角形doc

1、该教学设计曾被出版社出版 解直角三角形一、教学目标：1、知识与技能目标：（1）使学生理解直角三角形的意义；(2)使学生理解直角三角形中五个元素的关系；（3）会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形2、过程与方法目标：（1）使学生经历列方程解直角三角形的过程，培养学生运用代数方法解几何问题的能力；（2）培养学生运用化归的思想方法将未知的问题转化为已知的问题去解决的能力。3、情感、态度与价值观目标：（1）引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。（2）在教学中，渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯二、教学重点、难点：1、重点：解直角

2、三角形的方法；2、难点：解直角三角形中的灵活运用三角函数3、关键:如何选择直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系式。4、突破方法：分析直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系。三、教法与学法导航：遵循教师为主导、学生为主体的原则，结合初三学生的求知欲心理和已有的认知水平开展教学，形成学生自主、生生互助、师生互动，教师着眼于引导，学生着眼于探索，侧重于学生能力的提高、思维的训练。教法：本堂课从学生熟悉的直角三角形中边的关系、角的关系、边角关系引入，引导学生发现在直角三角形中只要有两个条件（至少一个条件是边）就可以解直角三角形，这一结论不是由教师直接给出，而是由学生通过例题总结、讨论交流获得，

3、从而体现学生的自主性。学法：通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形”的含义和两种解题情况。通过讨论交流得出解直角三角形的方法：“当已知或求解中有斜边时，就用正弦、余弦;无斜边时，就用正切；当已知两边求第三边时就用勾股定理”。四、教学准备：教师准备：多媒体、CAI课件。学生准备：三角板，计算器五、教学过程：（一）复习巩固提问：（1）在三角形中共有几个元素？（2）直角三角形ABC中，C=90，a、b、c、A、B这五个元素间有哪些等量关系呢？ 教师根据学生提问归纳：CBAabc如图，在RtABC中，C=90。1、锐角之间的关系：A+B=902、三边之间的关系：3、边角

4、之间的关系： 设计意图：以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用（二）新课：1、探究活动:我们已掌握RtABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素设计意图：这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形2、典型例题分析讲

5、解。例1、如图，在RtABC中，C=90，AC=，BC=。解这个直角三角形。CAB解：，A=60， B=90-A=90-60=30, AB=2AC=例2、如图，在RtABC中，C=90，B=35，b=20。解这个直角三角形）结果保留小数点后一位）。解：A=90-B=90-35=55,ACBb20ca）35，设计意图及注意事项：解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角

6、形？”教师归纳：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底选用关系式归纳为：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，正切余切理当然；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好；已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦，计算方法要选择，能用乘法不用除.（三）课堂练习：（2023浙江杭州）在直角三角形ABC中，已知C=90，A=40，BC=3，则AC=（）A3sin40B3sin50 C3tan40 D3tan50解：B=90A

7、=9040=50，又tanB=，AC=BCtanB=3tan50故选D（四）课堂小结：1、教师向学生提出问题：学习了哪些内容?解题过程中运用了哪些数学思想方法?2、在学生回答的基础上教师归纳出以下几点：(1)解直角三角形的意义；在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素 (2)直接运用直角三角形的边边关系、角角关系、边角关系解四种类型的题：已知一锐角一直角边；一锐角一斜边；一直角边一斜边；两直角边.(3)运用化归的思想方法，将已知条件化为四种类型之一的条件，从而解直角三角形.解决问题要结合图形。六、板书展示：锐角之间的关系：三边之间的关系：边角之

8、间的关系：解直角三角形的类型 典型例题七、课堂作业：1、（2023鞍山）ABC中，C=90，AB=8，cosA=，则BC的长 解：cosA=，AC=ABcosA=8=6，BC=2故答案是：22、（2023包头）如图，在三角形纸片ABC中，C=90，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为 解：BDEBCE翻折而成，BC=BD，BDE=C=90，AD=BD，AB=2BC，AE=BE，A=30，在RtABC中，AC=6，BC=ACtan30=6=2，设BE=x，则CE=6x，在RtBCE中，BC=2，BE=x，CE=6x，BE2=CE

9、2+BC2，即x2=（6x）2+（2）2，解得x=4故答案为：43（2023四川内江）如图，AOB=30，OP平分AOB，PCOB于点C若OC=2，则PC的长是 解：延长CP，与OA交于点Q，过P作PDOA，OP平分AOB，PDOA，PCOB，PD=PC，在RtQOC中，AOB=30，OC=2，QC=OCtan30=2=，APD=30，在RtQPD中，cos30=，即PQ=DP=PC，QC=PQ+PC，即PC+PC=，解得：PC=故答案为：八、教学反思：在教学过程中，始终注重学生的参与意识，注重学生对待学习的积极。同时利用尝试教学，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。在课堂上，尽量留给

10、学生更多的空间，更多的展示自己的机会，让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中，在老师和同学的鼓励与欣赏中认识自我，找到自信，体验成功的乐趣，从而树立了学好数学的信心。 应用举例一、教学目标：1、知识与技能目标：（1）了解仰角、俯角方向角的概念，正确分辨实际问题中的仰角、俯角及方向角。（2）会利用锐角三角函数测量、计算物体的高度及解决航行问题。（3）能把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的数学问题。2、过程与方法目标：通过基本模型，延伸变换形式，让学生感知数学建模的思想和过程.3、情感、态度与价值观目标：（1）培养自主探索的能力，形成解决问题的基本策略与能力，发展学数学用数学的意（2）了解数形结

11、合的思想方法，培养转化、化归、方程的思想方法。二、教学重点、难点：1、重点：能运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.2、难点：提高把实际问题转化为数学问题的能力.3、关键:如何把实际问题划归为数学模型。4、突破方法：分析实际问题，得出其中隐含的三角形模型。三、教法与学法导航：创设问题情境，以学生感兴趣的，并容易回答的问题为开端，让学生在各自熟悉的场景中轻松、愉快地回答老师提出的问题后，带着成功的喜悦进入新课的学习。在教师的启发下，让学生成为课堂上行为的主体。教法：本节课采用“探究式”教法。本节课，在以最简洁的方式回顾原有知识的基础上，创设问题情境，引导学生从实际应用中建立数学模型

12、。接着通过例题，让学生主动探索解直角三角形所需的最简条件。学生在过程中克服困难，发展了自己的观察力、想象力和思维力，培养团结协作的精神，可以使他们的智慧潜能得到充分的开发，使其以一个研究者的方式，突出了学生在中的主体地位。学法：采用小组合作的学习方式，让学生遵循“观察猜想验证归纳总结”的主线进行学习。通过直角三角形边角之间关系的和例题的应用，学会把实际问题转化为解直角三角形的问题。自主探索、合作的方式能使学生在这一过程中主动获得知识，通过例题的应用，能提高学生分析问题，的能力，以及提高综合运用知识的能力。四、教学准备：教师准备：多媒体、CAI课件。学生准备：三角板、计算器。五、教学过程：完整的

13、课堂教学步骤，在这里是教师导演课堂的剧本，学生是演绎的场所。（一）复习巩固： 1、解直角三角形指什么？CBAabc2、解直角三角形主要依据什么？如图，在RtABC中，C=90。1、锐角之间的关系：A+B=902、三边之间的关系：3、边角之间的关系： （二）情景导入与典型实例： 例3、2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接。“神舟”九与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行。如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6400km，取。结果取整数）

14、？分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点。如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的O的有关问题，其中点F是组合体的位置，FQ是O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点。弧PQ的长就是地球表面上P、Q两点间的距离。为计算弧PQ的长需先求出POQ（即）的度数。解：设POQ=，在图中，FQ是O的切线，FOQ是直角三角形。OFpQ。弧PQ的长为（km）仰角水平线铅直线视线视线俯角由此可知，当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km。（三）仰角、俯角问题：测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水

15、平线下方的角叫俯角。注意：俯角和仰角都是视线与水平线的夹角，与铅直线无关。但视线与铅直线互相垂直。例4、热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30。看这栋楼底部的俯角为60，热气球与楼的水平距离为120米。这栋楼有多高（结果取整数）？分析：我们知道。在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角。因此。在图中，=30，=60。ABDC在RtABD中，=30，AD=120。所以可以利用解直角三角形的知识求出BD。类似地可以求出CD，进而求出BC。解：如图，=30，=60, AD=120。BD=ADtan=120tan30=120=40.CD=ADtan=1

16、20tan60=120=120.BC=BD+CD=40+120=160277(m).因此，这栋楼高约为277m。（三）巩固练习：（2023山东潍坊）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是450，然后：沿平行于AB的方向水平飞行104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是600，求两海岛间的距离AB解答：如图，过点A作AECD于点E，过点B作BF上CD，交CD的延长线于点F，则四边形ABFE为矩形，所以AB=EF， AE=BF， 由题意可知AE=BF=1100200=90

17、0，CD=19900在RtAEC中，C=450, AE=900, 在RtBFD中，BDF=600，BF=900，BF=900 AB=EF=CD+DFCE=19900+900=19000+ 答：两海岛之间的距离AB是(19000+3003）米 （四）方向角问题：东西南北东北方向北偏东45西北方向北偏西45西南方向南偏西45东南方向南偏东45北偏东度北偏西度南偏西度北偏东度4545（4545PACB6534例5、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处。这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？解：如

18、图，在RtAPC中，PC=PAcos(90-60)=80cos25.在RtBPC中，B=34sinB=.PB=.因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距离灯塔P大约130nmile。（五）巩固练习：1、（2023江苏苏州）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A4kmB2kmC2kmD（+1）km解：如图，过点A作ADOB于D在RtAOD中，ADO=90，AOD=30，OA=4，AD=OA=2在RtABD中，ADB=90，B=CABAO

19、B=7530=45，BD=AD=2，AB=AD=2即该船航行的距离（即AB的长）为2km故选C2、（2023山东临沂）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15方向的A处，若渔船沿北偏西75方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60方向上，则B、C之间的距离为（）A 20海里B10海里C20海里D30海里解：如图，ABE=15，DAB=ABE，DAB=15，CAB=CAD+DAB=90又FCB=60，CBE=FCB，CBA+ABE=CBE，CBA=45在直角ABC中，sinABC=，BC=20海里故选：C（六）课堂小结：利用解直角三角形的知

20、识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案。六、板书展示：锐角之间的关系：三边之间的关系：边角之间的关系：1、解直角三角形的类型： 2、解直角三角形的应用七、课堂作业：1.（ 2023年河南)在中俄“海上联合2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为300位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为680.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.（结果保留整数。参考数据:sin680,cos680,ta

21、n680. 解：过点C作CDAB,交BA的延长线于点D.则AD即为潜艇C的下潜深度 根据题意得 ACD=300，BCD=680 设AD=x.则BDBA十AD=1000 x. 在RtACD中，CD= 在RtBCD中，BD=CDtan688 1000+x=xtan688 x= 潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米。阅读并解答下列问题：hl(i=h:l坡度问题的相关概念：我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母i表示，即。坡度一般写成1:m的形式。如1:3。如果把坡面与水平面之间的夹角记作（叫做坡角），那么=tan.2、（2023四川凉山州）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤