初中数学人教八年级上册（2023年更新）第十二章 全等三角形角平分线的性质杜蔺

1、学科数学年级八年级上册（人教版）课题角的平分线的性质（第一课时）教学目标知识与技能1.掌握用直尺和圆规作已知角的平分线的方法。2.利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，理解并能初步应用。过程与方法经历探究作已知角的平分线的方法，形成图形的几何直觉。通过动手操作，观察演示，合作交流，猜想并证明角平分线的性质的过程，掌握证明几何命题的基本步骤，提高分析问题和解决问题的能力。情感态度与价值观1.在探索角平分线的性质的过程中，经历画图、观察、推理、交流等环节，提高探求问题的能力，增强探求问题的信心，体验数学活动的趣味性。重点1、利用尺规作图作已知角的平分线。2、理解角的平分线的性质定理及其应用。难点1

2、、根据角的平分仪器提炼出角的尺规画法。2、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解。教法猜想验证证明归纳应用教具一张三角形纸片，角平分仪， 希沃白板，尺规作图工具教学过程设计问题与情景师生行为设计意图活动1欣赏图片，观察角平分线在生活中的应用。活动2温故知新：1. 判定三角形全等的定理有哪些？2. 从直线外一点到这条直线 的 的长度，叫做点到直线的距离。3. 从一个角的顶点出发，把角分为 的两个角的 线叫做角的平分线。活动3对于纸片上的角，如何作出它的平分线？对于不能折叠的角（画在黑板上），又该如何作出一个角的角平分线？学生实验：通过折纸的方法作角的平分线 学生独立思考，教师随机抽同学作

3、答。（SSS SAS ASA AAS HL、垂直距离、相等、射线）教师拿出画有角的纸片，提示学生用折叠的方法作出角的平分线，学生操作后进行展示。并说明折叠的痕迹就是角的角平分线。学生回答可用量角器进行度量。 感受生活中的数学，提高学生学习的趣味性。为学习角平分线的性质做出铺垫。回顾本节课探究中需要用到的证明角平分线的画法以及性质所需的三角形判定定理、理解角平分线的性质中“点到角两边的距离”为“垂线段长度”等知识，并引出角的平分线的定义，为下一步探求如何作角的平分线奠定基础。体验角平分线的简易作法，通过设置问题串，当折叠和度量不具备操作性和所需精确性时，需要寻求新的方法作出一个角的角平分线。为下

4、一步用尺规作图画出一个角的角平分线设置铺垫。探究新知师生行为设计意图探究1下图为一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DC,将A点放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是这个角的平分线，你能说明它的原理吗？教师拿出角平分仪并介绍其特点，并展示操作过程学生将实物图抽象出数学图形学生独立运用三角形全等的方法证明AE是BAD的平分线。本次活动中，教师重点关注：学生是否能从简易角平分仪中抽象出两个三角形；(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE是BAD的平分线。说明用其他方法可以做一个角的平分线。培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知

5、识解决问题的能力。这个提问为探求如何用直尺和圆规做一个角的平分线做好铺垫，同时为利用尺规作图作出一个角的平分线后证明提供基础，。通过说明角平分仪的原理，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力活动4 问题(1)从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。已知什么？求作什么？(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,如何用圆规刻画这两条边的相等关系?圆规截取的长度要和角平分仪中AB相等吗？(3) 如何确定射线OC中的C点？(4)如何用圆规刻画角平分仪中BC=DC这两条边的相等关系？此时以任意长为半径可以吗？(5)OC与简易平分角的仪器中AE是同一条射线吗?(6)为什么OC是

6、AOB的平分线?如何证明？(7)归纳角平分线的作法教师提问,学生与老师一起完成探究过程. 从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.学生独立说明,学生相互讨论,交流,归纳后教师归纳展示作法.探究2在已画好的角的平分线OC上任意找一点P,过P点分别作OA、OB的垂线交OA、O于D、E。PE、PD的长度是AOB的平分线上一点到AOB两边的距离。量出它们的长度，你发现了什么？在OC上多取几个点试一试.2.你能猜想角的平分线的性质吗?学生实验，分组讨论。教师引导并在几何画板中通过P点的任意性，帮助学生大胆猜想角平分线的性质。引导学生用自己的语言

7、归纳出猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等。本次活动中,教师重点关注(1)学生能否从实验中探索、发现角的平分线的性质;(2)学生能否独立运用三角形全等的条件证明两个三角形全等;(3)说明射线OP是AOB的平分线吗?学生自己动手画图，操作测量，为学生创造猜想的机会。鼓励学生大胆想象，大胆质疑，引导学生合理地进行猜想，可以培养培养学生创新意识。通过几何画板，帮助学生验证猜想，让学生体验成功的喜悦，培养学生对数学学习的趣味性。通过让学生自己总结概括发现的规律，培养数学抽象能力和语言概括能力。探究3猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等。如何证明？对比之前碰到的证明题，有何不同？对于几何命题的证

8、明，要先找到命题的已知和所求，那此处的已知条件是什么？要证明的又是什么？如何将文字语言的已知和求证用符号语言描述？如何根据题意作图？用符号语言写出已知和求证后，如何证明？教师帮助学生分析找出已知条件为：一点在一个角的平分线上；求证：这个点到这个角的两边的距离相等。教师引导学生思考，对比以往碰到的证明题，根据题意做出图形，将文字类型的已知条件和求证转化为符号语言。（该活动对学生有难度，有教师演示讲解完成） 学生独立思考后小组交流讨论，选出一名发言人谈谈证明方法。（利用AAS证明两个三角形全等，从而通过全等三角形的性质得到距离相等）学生发言后教师梳理并板书证明过程。通过设计问题1，帮助学生寻找证明

9、纯文字命题的方法；问题2的设计可以帮助学生顺理成章的得出下一步骤为寻找命题的已知和求证；问题3的作用为强调数学中语言的多重描述的重要性，可以加深学生在今后学习中对“数形结合”思想的理解和应用。让学生自己先独立思考证明，再说思路，可以培养学生的逻辑推理能力；教师帮助梳理后板书过程，帮助学生掌握证明几何命题的基本步骤，提高分析问题和解决问题的能力。新知剖析师生行为设计意图活动5定理剖析角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。如何用图形语言描述这个定理？如何用符号语言描述这个定理？定理的应用条件是什么？定理的作用是什么？教师板书：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。教师引导学生根据

10、定理做出对应的图形，并从定理的证明过程中提炼出符号语言的描述：符号语言为：学生独立思考问题4、问题5并在组内交流后发言。这是本节课的重点。通过强调文字语言、图形语言、符号语言之间的联系，可以帮助学生在今后学习中，在特定的图形和条件下能想到用这个定理，知道应用定理可以添加哪些条件，做到解答过程中能有清晰的思路寻找条件并准确写出步骤。 强调定理的作用为证明线段相等，是为了帮助学生总结方法，将其与“通过证明全等三角形来证明线段相等”放在同一层次，解决学生在今后使用性质时还要证明全等这一难点。方法归纳师生行为设计意图活动61.证明几何命题的一般步骤是什么？教师引导学生回顾证明命题的步骤后，学生与同伴交

11、流结论后发言，教师总结归纳：1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证。3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。 这是学生第一次碰到纯文字的几何证明题，对证明步骤的总结可以为后续学习线段的垂直平分线的性质等几何命题提供方法，奠定基础。应用新知师生行为设计意图活动6判断：1.例1、如图,OC是AOB的平分线,点P在OC上,PEOA,PFOB,垂足分别是E、F,PE=4cm,则PF=_cm.例2:如图，在ABC中，C900，AD平分BAC交BC于点D，若BC8,BD5，则点D到边AB的距离为？学生独立思考并做出判断，教师抽学生展示分析过程和答案，

12、教师给予鼓励和肯定。答案：1.错误，理由为：缺少了AD是BAC的平分线这一条件。2.错误，理由为：此时点D并没有在BAC的平分线上。3.错误，理由为：此时缺少条件DBAB,DCAC，不能使用角平分线的性质。4.正确，此时三个条件都满足。（在本活动中，教师重点关注学生能否找齐使用角的平分线的性质的三个条件：角的平分线、点在角的平分线上、点到角两边的距离）学生独立练习，同组同学交流，抽学生上来展示分析过程。并形成知识结论。（根据角平分线的性质，直接可得 PF=PE=4cm）学生独立练习，同组同学交流，老师根据学生的学习情况适当加以指导，获得正确的结论。(帮助分析出点D到边AB的距离实为点到直线的距

13、离，可通过过点D做直线AB的垂线得到所求为垂线段DE的长度。再使用角的平分线的性质定理解决问题)抽学生上来展示分析过程。通过学生对使用角的平分线性质时必须满足的三个条件针对练习，为学生加深印象。 前三个判断题依次考察了当缺乏角的平分线、点在角的平分线上、点到角两边的距离这三个条件中的任意一个时，都不能直接使用角的平分线的性质证明线段相等。第一个例题的作用时让学生直接通过利用角的平分线的性质进行解题，让学生体会使用定理找线段相等时，比利用证明三角形全等更简捷。第二个例题的设计较第一个例题难度较大，主要是必须通过添加辅助线，作点D到边AB的距离才能想到使用角的平分线的性质，通过有梯度的训练提高学生

14、使用角的平分线的性质解题的能力。拓展提高师生行为设计意图1.在OAB中，OE是AOB的角平分线，EC、ED分别垂直OA、OB，垂足为C、D，且CA=DB。求证：AE=BE。教师进行思路点拨：此时AE=BE是否为垂线段相等？能直接利用角平分线性质得到吗？应当证明哪两个三角形全等？（分析思路：要证AE=BE,需先证明ACEBDE,由题可得到ACE=BDE=90，且CA=DB，还需利用角的平分线的性质证明CE=DE,便可用AAS的判断证明全等）学生理清证明思路后，限时三分钟独立完成，在通过多媒体展示学生证明过程。此题目的设计主要考察学生利用角的平分线的性质定理解决几何问题的能力，让学生在已有成功经验

15、的基础上，继续探究与应用，提升分析解决问题的能力。通过展示多少有点问题的证明过程，在分析的过程中让学生学会严密的证明方法。总结反思师生行为设计意图活动7小结：（1）本节学习了哪些内容？（2）本节我们是利用什么方法探究角的平分线的性质的？（3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？在应用该性质时要注意什么？作业：教科书习题第4，5题教师和学生一起回顾本节课所学的内容，并请学生回答问题。了解学生对本节课所学知识的掌握情况，并引导学生从知识内容和方法上总结自己的收获。 教学反思 本节知识含量多，难度大，主要包含的知识点有：用尺规作出角的平分线、角平分线的性质探究及简单应用。故在设计活动时，难度不宜过大。本节教学设计的思路为：通过角平分仪的原理提炼出