微积分a1第10次习题课题目

1、微积分 A(1)第十次习题课题目（第十五周）一、一阶微分方程 y x 2 y 21.已知 y y(x) 在 , 内满足条件：，试研究该函数的单调性，凹y0 0凸性，奇偶性及无穷远处的性质。 y x3 xy 22.试研究之解所确定函数的增减区间，极值点及凸凹区间。y0 0 xy 3xy2 1 ex3已知函数 y y(x) 满足条件，若x 0, y(x) Ax2 求 A 的最小值.y(0) y(0) 024设 y(x) c e c 是某个方程的解,求该方程.x15解下列方程（1） y 2（2） xy yln y ln x.(4) y 1 x y 2 xy 2dy 1 y sin x（3）dxxx

2、0 ,2xy（6） (x 2xy y 2 ) y y 2 0（8） xy =x2 y2 y(5) y y(0) 1 4x 2（7） tan ydx cot xdy 0求曲线y y( x),使其上每点 M ( x, y)的法线平分过这点的水平线与矢径所交之角。在XOY 坐标平面上,连续曲线 L 过点 M (0,1) ，其上任意点 P(x, y)(x 0) 处的切线低斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax （常数 a 0 ） () 求L 的方程:() 当L 与直线 y ax 所围成平面图形的面积为 8 时,确定 a 的值.38.与曲线族 y ax3 ,a R 正交的曲线是.9.解下列方程：xy（1

3、） y e（2） y2 xy y 0（3） x2 y2 1y10. 设 f (x) 在0, ) 上连续，且 lim f (x) 0 ，求证：方程xdy y f (x) dx的一切解 y(x) ，均有 lim y(x) 0 xx11. 设 f (x) 满足 f (x)f (t)dt 1 ，求 f (x) 的表达式。0 x12.设 f (x) sin x e f (x t)dt ，其中 f (x) 为连续函数，求 f (x) 。t0513.设函数 f (x) 在(0, ) 内连续， f (1) ，且对所有的 x, t (0, ) ，满足条件2Page 1 of 3yxtxt1f (u)du tf

4、(u)du xf (u)du ，求 f (x) 。10dy14设 f (x) 是以T 为周期的连续函数,而 y (x) 是方程 y f (x) 的解,且满足dx(T ) (0) ,求证: (x) 是以T 为周期的周期函数. 15.证明 Gronwall 不等式1）设 f (t),(t), (t) 是0，T 上的非负可积函数，且对于任意的 t 属于0，T 有：f (t) (t) f (t) (t) 成立 证明：对于任意的 t 属于0，T，有t ( s )dst f (0) (s)dsf (t) e002) 设 (t) 是 0， T 上的 非负可 积 函数， 且 对于任 意 的 t 属于 0， T

5、 有： t(t) C(s)ds C ，其中常数C , C 大于 0.证明：对于任意的 t 属于0，T，有12120(t) C (1 C te) .C t 121二、可降阶的高阶微分方程1 ( y)216.解方程 y .2 yd 2 ydydycos y dx 2 sin y( dx )2dx17求解二阶微分方程的定解问题12 y(1) , y(1) 618.求曲线方程，在该曲线上任意点的曲率半径等于夹在该点与横轴之间的法线之长，如果曲线:(1) 下凸；(2) 上凸.三、物理应用19.将质量为m 的物体, 以初速v0 垂直向上射出，设空气阻力与运动速度的平方成正比, 比例系数 k 0 。求物体到

6、达的高度，到这最高处的时间，落到原地时的速度及下落时间？ 20.某湖泊水量为V ，每年入湖含污物 A 的污水，入湖污水量V ，入湖不含 A 的水量为V ,66V流出量。己知 1999 年底湖中有污物5m ，超过30。为治污从 2000 年初开始，限m0定入湖污水含 A 浓度不超过，问多少年后湖中含污物的量降至 m 。0V21.一容器总高为 H , 在高度为 h 处的断面面积为 S S h ，在底部有一面积为 s0 的小Page 2 of 3孔，若水流出速度v 是水深 h 的函数, v 2gh ,若在容器装满水后, 将底部小孔打开，问多久水将流尽？一个 1000m3 的大厅中的空气内含有 a %的废气，现以 1m3min 注入新鲜空气，混合后的空气又以同样的速率排出，求 t 时刻空气内含有的废气浓度，并求使废气浓度减少一半所需的时间。半径为 1m，高为 2m 的直立的圆柱形容器中充满水，拔去底部的一个半径为 1cm 的塞子后水开始流出，试导出水面高度 h 随时间变化的规律