信号与线性系统第4章

1、4.6 能量谱和功率谱 信号的频谱，包括幅度谱和相位谱，是在频域中描述信号特征的方法之一，它反映了信号所含分量的幅度和相位随频率的分布情况。 能量谱/功率谱表示信号的能量/功率密度在频域中随频率变化的情况。特别是对于随机信号，因为不能用确定的时间函数来表示，也就不能用频谱来描述，因此用功率谱来描述它的频域特性。一、能量谱（1） 帕斯瓦尔方程：也称能量等式，反映了信号能量 与频谱函数的关系。证明：例：求下列信号的能量解:（2）能量谱：为了从频域的角度研究信号能量，定义一个能 量密度函数，反映单位频率的信号能量，称为能量频谱 或能量谱。 用E()表示能量谱，在频带df内信号的能量为E()df，因而

2、信号在整个频率区间（-，）的总能量为： 由相关定理知道： 和帕斯瓦尔方程对比，即可得到： 结论：信号的能量谱与其自相关函数是一对傅里叶变换。二、功率谱令：又因为：因此f(t)的平均功率为： 当f(t)为功率有限信号时，信号能量趋于无穷大，因此从信号中截取 的一段，得到函数则 的能量为：功率谱：为了从频域的角度研究信号功率，定义一个功率 密度函数，反映单位频率的信号功率，称为功率谱。 用P()表示功率谱，在频带df内信号的功率为P()df，因而信号在整个频率区间（-，）的平均功率为： 维纳-辛钦关系： 和前面的结果对比，即可得到：结论：功率有限信号的功率谱函数与其自相关函数 是一 对傅里叶变换。

3、三、能量谱和功率谱分析由时域分析知道：y(t)=h(t)*f(t) 令f(t)、h(t)和y(t)的频谱分别为F(j)、H(j)和Y(j)，由卷积定理得： Y(j)= H(j) F(j)由于又由于因此有:同样的方法可推导出：4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号：f(t)傅里叶级数Fn 离散谱非周期信号：f(t)傅里叶变换F(j) 连续谱周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？ 正、余弦函数的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换傅里叶系数与傅里叶变换一、正、余弦函数的傅里叶变换由于常数1的傅里叶变换为： 1 2()由频移特性得： e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) c

4、os(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) /2 (+0 ) +( - 0 ) sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 )频谱图二、一般周期信号的傅里叶变换说明：(1)周期信号fT(t)的傅氏变换由冲激序列组成，冲激函数仅 存在于谐波频率处；(2)谱线的幅度不是有限值，因为F(j)代表频谱密度。例1：周期为T的单位冲激周期函数T(t)= 解：例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。解：周期信号f(t)也可看作一时 限 非周期信号f0(t)的周期拓展。即f(t) = T(t)* f0(t) F(j) = () F0(j) F(j) =其中

5、f0(t) = g2(t)三、傅里叶系数与傅里叶变换关系推导：第一个周期单脉冲f0(t)的傅氏变换F0(j)与周期信号fT(t) 的傅氏系数Fn的关系：比较(1)(2)4.8 LTI系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。对周期信号：对非周期信号：其基本信号为 ej t 基本信号e j t作用于LTI系统的响应 一般信号f(t)作用于LTI系统的响应 频率响应H(j)的求法 无失真传输与滤波 设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率的基本信号ej t时，其响应 而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j )，常称为系统的频率响应函数。y(t

6、) = H(j ) ej tH(j )反映了响应y(t)的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej t一、基本信号ej t作用于LTI系统的响应二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应ej tH(j ) ej tF(j ) ej t d F(j )H(j ) ej t d 齐次性可加性f(t)y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j )频率响应H(j)可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y(j)与激励f(t)的傅里叶变换F(j)之比，即 H(j)称为幅频特性（或幅频响应）；()称为相频特性（或相频响应）。H(j)是的偶函数，()是的奇函数。 频域分析法步骤：傅

7、里叶变换法对周期信号还可用傅里叶级数法。周期信号若则可推导出例：某LTI系统的H(j)和()如图， 若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。解法一：用傅里叶变换F(j) = 4() + 4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10)Y(j) = F(j)H(j) = 4() H(0) + 4(5) H(j5) + (+5) H(-j5)+ 4(10) H(j10) + (+10) H(-j10) H(j)=H(j)ej()= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j) = 2 + 2sin(5t)解法二：用三

8、角傅里叶级数f(t)的基波角频率=5rad/sf(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t)H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t)例：某LTI系统的H(j)和()如图， 若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。三、频率响应H(j)的求法1. H(j) = F h(t) 2. H(j) = Y(j)/F(j)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由电路直接求出。 例1：某系统的微分方程为 y(t) + 2y(t) = f(t) 求f

9、(t) = e-t(t)时的响应y(t)。解：微分方程两边取傅里叶变换jY(j) + 2Y(j) = F(j) f(t) = e-t(t)Y(j) = H(j)F(j)y(t) = (e-t e-2t )(t) 例2：如图电路，R=1，C=1F， 以uC(t)为输出，求其h(t)。解：画电路频域模型h(t)= e-t (t) 例3：如图所示系统，已知乘法器的输入为 ， ，系统的频率响应为 求输出y(t)。四、无失真传输与滤波 系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。 1、无失真传输 （1）定义：信

10、号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号 相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有 波形上的变化。即 输入信号为f(t)，经过无失真传输后， 输出信号应为 y(t) = K f(ttd). 其频谱关系为 Y(j)=Ke jtdF(j) 系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是： (a)对h(t)的要求： h(t)=K(t td) (b)对H(j)的要求： H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd 即 H(j)=K ,()= td 上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号时，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。 (2)无失真传输条件：例：系统的幅频特性|H(j)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是:(A) f(t) = cos(t) + cos(8t)(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t)(C) f(t) = sin(2t) sin(4t)(D) f(t) = cos2(4t)2、理想低通滤波器 具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。c称为截止角频率。 理想低通滤波器的频