高等数学不定积分PPT

1、关于高等数学不定积分第一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月二、 基本积分表 三、不定积分的性质一、 原函数与不定积分的概念第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 第二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月一、 原函数与不定积分的概念引例: 一个质量为 m 的质点,下沿直线运动 ,在变力试求质点的运动速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据牛顿第二定律,加速度因此问题转化为:已知求第三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月机动 目录 上页 下页 返回 结束 在区间 I 上的一个原函数 .定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f

2、(x)满足则称 F (x) 为f (x) 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示 ?第四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月 定理. 存在原函数 .初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月定理. 原函数都在函数族( C 为任意常数 ) 内 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分号; 被积函数; 被积表达式. 积分变量;定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分,其中记作常数C不能丢掉若则( C 为任意常数 )第六张，PPT共七十六页

3、，创作于2022年6月不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线 . 第七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解: 所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,故有因此所求曲线为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月第二节不定积分的概念与性质 第九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月二、 基本积分表 p170-171从不定积分定义可知:或或机动 目录 上页 下页

4、 返回 结束 第十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例2. 求例3. 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月三、不定积分的性质推论: 若则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例4. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例5. 求解: 原式 =例6. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例7. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十五张，PPT共七十

5、六页，创作于2022年6月内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表2. 直接积分法:利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月思考与练习1. 若提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月2. 若是的原函数 , 则提示:已知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月3. 若的导函数为则的一个原函数是 ( ) .提示

6、:已知求即B?或由题意其原函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月4. 求下列积分:提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月5. 求不定积分解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月6. 已知求 A , B .解: 等式两边对 x 求导, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月二、第二类换元法第三节一、第一类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第四章 第二十三张，PPT共七十六页，

7、创作于2022年6月第二类换元法第一类换元法基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设可导,则有第二十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即, 凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例1. 求解: 令则故原式 =注: 当时机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例2. 求解:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例3. 求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十八张，PPT

8、共七十六页，创作于2022年6月例4. 求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似第二十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例5. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月第三十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例6. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例7. 求解: 原式 =例8. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例9. 求解法1解法2 两法结果一样机动 目录 上页 下页 返

9、回 结束 第三十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例10. 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例11. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例12 . 求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例13. 求解:原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例14. 求解: 原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析: 第三十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6

10、月1. 求提示:法1法2法3作业 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习第四十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月二、第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法 .难求，第四十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月定理2 . 设是单调可导函数 , 且具有原函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式第四十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例16. 求解: 令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例17. 求解: 令则 原式机动 目录

11、 上页 下页 返回 结束 第四十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例18. 求解:令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月令于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月原式例19. 求解: 令则原式当 x 0 时, 类似可得同样结果 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例20. 求第四十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例21. 求解: 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结

12、束 第四十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例22. 求解: 令得原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月思考与练习下列积分应如何换元才使积分简便 ?令令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月第三节由导数公式积分得:分部积分公式或1) v 容易求得 ;容易计算 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法 第四章 第五十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例1. 求解: 令则 原式思考: 如何求提示: 令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十三张，PPT共七十六页，

13、创作于2022年6月例2. 求解: 令则原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例3. 求解: 令则 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例4. 求解: 令, 则 原式再令, 则故 原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月解题技巧:把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的顺序,前者为 后者为例5. 求解: 令, 则原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三

14、角函数第五十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例6. 求解: 令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 令第五十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例7. 已知的一个原函数是求解:说明: 此题若先求出再求积分反而复杂.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月第六十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月思考与练习下述运算错在哪里? 应如何改正?得 0 = 1答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月第四

15、节机动 目录 上页 下页 返回 结束 有理函数的积分 第四章 第六十二张，PPT共七十六页，创作于2022年6月一、 有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六十三张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例1. 将下列真分式分解为部分分式 :解:(1) 用拼凑法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六十四张，PPT共七十六页，创作于2022年6月(2) 用赋值法故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六十五张，PPT共七十六页，创作于2022年6月(3) 混合法机动 目录

16、上页 下页 返回 结束 原式 =第六十六张，PPT共七十六页，创作于2022年6月四种典型部分分式的积分: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 变分子为 再分项积分 第六十七张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例2. 求解: 已知例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束 第六十八张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例3. 求解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六十九张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例4. 求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 第七十张，PPT共七十六页，创作于2022年6月例5. 求解: 原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七十一张，PPT共七十六页，创作于2022年6月二. 简单无理函数的积分被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 令令令第七十二张，PPT