状态波函数和薛定谔方程

1、第二章状态波函数和薛定谔方程本章引入描述量子体系状态的波函数，给出波函数的几率波解释和态的叠加原理两个量子力学的基本假设，在此基础上建立非相对论量子力学的基本方程一一薛定谔(Schr&dinger)方程，并通过几个具体实例介绍定态薛定谔方程的解法。2.1波函数的几率波解释波函数由第一章的讨论可知，微观粒子的波粒二象性是对粒子运动的一种统计性的反映。数学上，把这种具有统计性的物质波(粒子波)用一个物理量屮来描述，称为波函数。它是位置(x,y,z)和时间t的复值函数，表示为屮或屮(x,y,z,t)。微观体系的状态总可以用一个波函数屮(r,t)来完全描述，即从这个波函数可以得出体系的所有性质，帥(r

2、,t)和內(r,t)(C为比例常数)描写同一量子状态。引入波函数来描写微观粒子的运动状态是量子力学的基本假设之一。波函数的几率波解释在历史上，人们对波函数的解释曾有过不同的看法。有人认为波是由它所描写的粒子组成的；也有人认为粒子是无限多波长不同的平面波叠加而成的波包。除以上两种观点外，还有其它一些不同的看法。但是，这些看法都与实验事实相矛盾，而被物理学家们普遍接受的解释是玻恩(Born)提出的统计解释，即几率波解释。为了说明玻恩的解释，我们首先来考察电子的双缝衍射试验。在电子的双缝衍射实验中，电子枪发射强电子束时，荧光屏上马上显示出明暗相间的双缝衍射条纹，这是电子的波动性的表现。当电子枪发射弱

3、电子束时，屏上接收的只是一个一个的亮点(电子)，这体现了电子的微粒性。若对弱电子束的衍射作长时间的曝光，则得到的衍射花样与强电子束的衍射花样完全相同。实验表明，在出现亮条纹的地方，亮点较密集，电子投射的数目较多，即电子投射几率较大；而在比较暗的地方，达到的电子数目较少，即电子投射的几率较小。电子在衍射实验中所揭示的波动性质，可看成是大量电子在同一个实验中的统计结果，也可以认为是单个电子在多次相同实验中显示的统计结果。因此用来描述具有统计性的物质波的波函数也一定具有统计特点。据此，德国物理学家玻恩在1924年提出了波函数的统计解释：空间某点波函数绝对值的平方乘以该点附近的小体积元di三dxdyd

4、z,即I屮(r,t片dt表示在t时刻在r点附近dt小体积元内找到粒子的几率。这表示，描写粒子的波是一种几率波，而不是真实存在的实体，不是可观测的物理量。波函数的统计解释是波函数的一个重要性质。在经典物理中，一个经典波可以用实数也可以用复数表示，用复数表示仅仅是为了数学上的方便，实际上只有实部才有物理意义。在量子力学中，波函数一般必须用复数表示，有物理意义的既不是实部，也不是虚部，而是它的绝对值的平方IW(r,t)I2，它表示粒子在空间r点附近单位体积内出现的几率称为几率密度，通常用w(r,t)表示，而W叫几率振幅，或几率幅。练习1：设粒子波函数为屮（x,y,z），求在Xx+dx范围内发现粒子的

5、几率。解：由波函数的统计解释可知:I屮I2d代表在xTx+dx,yTy+dy,zTz+dz范围内发现粒子的几率,则在xTx+dx范围内不论y,z取何值的几率为（口1屮|2dydz）dx.练习2：设在球坐标中，粒子波函数为屮（r,e,申）求：（1）在球壳（r,r+dr）中找到粒子的几率，（2）在（0,申）方向的立体角d0中找到粒子的几率。解：在球坐标中，体积元的形式为di=r2drsin0d0dq，（1）在球壳（r,r+dr）中发现粒子的几率为I屮（r,0,q）I2sin0d0dqr2dr.q=00=0（2）在（0,q）方向的立体角中找到粒子的几率为卩I屮(r,0,q)I2r2drd0,0其中d

6、0=sin0d0dq.波函数的归一化量子力学第一基本假设告诉我们，I5I2与I屮I2描写同一微观状态，这是因为|C屮|2和I屮(r,t)I2I屮(r,t)I22I屮I2表示的几率分布是一样的。比如粒子出现在空间1与t两点的相对概率可表示成:。这说明量子力学中波函数描述的是相对几率密度分布。这与经典波（声波、光波等）完全不一样，经典波的振幅增加一倍，则其波动能量增加为原来的四倍，为两种完全不同的态。既然I屮（r,t）I2di表示t时刻，r点附近di体积元发现粒子的几率，而非相对论下,实物粒子不会产生或湮灭，必定会在空间某点出现，则对一个粒子而言，它在整个空间出现的几率为1，数学上表示为：1)Jl

7、v(r,t)|2du二1.这称为波函数的归一化条件，满足上式的波函数(r,t)称为归一化的波函数。为方便引入符号2)则归一化条件可简写为：屮，屮=1或屮n=1。由于屮与內描写同一量子状态，所以描写同一量子状态的波函数形式不是唯一的，一般情况下，我们都是选取归一化了的波函数来讨论问题，对不是归一化的波函数二即，通常需要把波函数归一化，即要求W满足下面条件：3)JI刖|2du=1,g式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分。由(3)式有IC|2=-4)JN|2du.gC称为归一化常数，其解具有不确定性，可以是正负实数，也可是复数。如考虑一个常数e/5(为实常数)，因为1eiS|2=1，则|C|2

8、=CeiS2，eiS称为相因子。由此可见，归一化后的波函数可以含有一任意相因子，仍然不是完全确定的，为了方便，一般规定归一化常数C取正实数，不讨论相因子(=0)，这样归一化的波函数不会有相因子的不确定性。例假设粒子在一维空间中运动，已知描写它的波函数为屮(x,t)=Ae1a2x2-丄t22式中a和为已知常数，A为任意常数。求：(1)归一化波函数；(2)粒子坐标的几率密度分布；(3)粒子在何处出现的几率最大。解：(1)在一维空间中，归一化条件为J”(x,t)|2dx=1,于是有屮(x,t)=Aei(kx-).7)1=|A|2fe-a2x2dx=2|A|2fe-a2x2dxg0=21A12,a所以

9、归一化的波函数为屮(x,t)=丄_丄2e2a2x2丄t22)粒子坐标的几率密度分布为w(x)=1屮(x,t)|2=ae-a2x2兀(3)根据求最大值的条件，令则有dw(x)=odxe-a2x2=0，可得x=0，即在x=0处粒子出现的几率最大。并不是所有的波函数都可以按(1)式或(3)式进行归一化。这种归一化条件要求波函数绝对值平方在整个空间是可以积分的，如果这个积分是发散的，则不能使用上述归一化条件。关于这类波函数如何归一化，以后遇到再介绍。4.自由粒子运动的波函数平面波自由粒子不受外场的作用，其能量E和动量P均不随时间变化。由德布罗意关系知道，与自由粒子相联系的德布罗意波，它的频率和波长都不

10、变，数学上称为平面波。角频率为，波长为九，沿x轴正向传播的平面波可表示为：y=Acos(kxwt)，(5)。有时为了数学上的方便，也用复数形式表示：6)y=Aei(kxwt)，6)式中有物理意义的是其实部。在量子力学中波函数一般取复数形式，所以描写一维自由粒子的平面波波函数取为：pE将德布罗意关系k=,=代入（7）式，得到具有确定动量p的一维平面波波函数：xTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 屮（x,t）=Aei（pxx-Et），（8）Px将（8）式推广至三维情况，具有确定动量p的自由粒子波函数为屮（r,t）=Aei（

11、p.r-Et），（9）p在某一时刻，如t=0，具有确定动量p的平面波函数表示为屮（r）=Ae却.（10）p2.2态的叠加原理微观粒子的量子状态用波函数来描述，这与经典力学的描述方法完全不同。在经典力学中，粒子的坐标和动量有完全确定的数值，并且一旦给定某一时刻粒子的坐标和动量，不但可确定该时刻粒子的状态，而且可以确定以后任何时刻粒子的状态。而在量子力学中，粒子的力学量如坐标、动量等一般可以有许多可能值，这些可能值各自以一定的几率出现。量子力学与经典力学的这种差别来源于微观粒子的波粒二象性，这种性质由波函数的统计解释来表现，还可通过态叠加原理表现出来。态的叠加原理若体系具有一系列不同的可能状态屮屮

12、，屮，则这些不同的可能状态的线性1,2n叠加态屮=c屮+c屮+c屮+=c屮（c为复常数），也是该体系的一个可能1122nnnnnn的状态。态叠加原理是量子力学的一个基本假设，无法从更基本的概念把它推导出来，它的正确性由实验来验证。量子力学对态叠加原理的解释设体系有两个可能的状态屮和屮。当在屮状态下，无论何时测量体系的某物理量121G（如能量）时，都有一个确定值g；当在屮状态下，无论何时测量某物理量G，都有一个12确定值g。根据态叠加原理，屮=c+c屮也是体系可能的状态，那么在屮态下测量21122力学量G，能得到什么样的结果呢？量子力学告诉我们，在屮态下测量力学量G，每次测得的结果是不确定的，即

13、可能是g，也可能是g，但不会是另外的值，而测得g及g的相对概1212率是确定的。从数学上讲，态的叠加原理就是几个函数相加等于另一个函数，没有新的物理意义.从经典物理角度来看，量子力学对叠加原理的解释是不可理解的。量子力学认为当粒子处于叠加态屮时,粒子既处在屮态，又处在屮态，只有这样理解，才能够解释为什么在叠加态屮下测12量力学量G有时测到g，而有时测到g这种事实。叠加原理的正确性是通过实验事实验证12了的。3.任意波函数的平面波展开在经典力学中，任何复杂波都可以看成是许多频率不同的简谐波叠加而成.在量子力学中，波函数也有类似的特点，根据叠加原理，任意一个波函数屮(r,t)都可以看成是各种不同动

14、量的单色平面波的叠加.以一个确定的动量p运动的粒子的波函数为一个平面波，其波函数为屮(r,t)=Aei(”-Et).(1)p任意波函数屮(r,t)可按上述平面波展开：屮(r,t)=工c(p(r,t).pp考虑到动量p可以连续变化，求和应改为积分：2)屮(r,t)=c(p)屮(r,t)dpgp股c(p茴pte-討dpg=aJ+gc(p,t协dp,g3)上式中采用了记号c(p,t)二c(p)eEt取归一化常数A二一J(2nh)2屮(r,t)卜0c(p,t茴”dp.(2兀方)2g4)(4)式表示任意波函数屮(r,t)可以看成是将具有任意动量值p的平面波叠加在一起，在数学上就是屮(r,t)的傅立叶展开

15、。4.动量表象中的波函数(4)式的逆变换为c(p,t)=1(2兀力)2卜屮(r,t)e-ip：dr,g5)(4)、(5)两式互为傅氏变换，由此可见，屮(r,t)和c(p,t)是对应的：已知屮(r,t),c(p,t)就完全确定了，反之亦然。既然屮(r,t)是完全描述粒子状态的波函数，因此c(p,t)也可以用来完全地描述粒子的状态。它们是同一个状态的两种不同的描述方式。两者的区别在于：屮(r,t)是以坐标为自变量，称为坐标表象的波函数；c(p,t)是以动量为自变量，称为动量表象的波函数。由波函数的统计解释：I屮(r,t)bdxdydz表示t时刻，r点附近di体积范围内找到粒子的几率，则c(p,t)

16、|2dpdpdp表示t时刻，粒子动量取值在xyzpp+dx,pp+dy,pp+dz范围的几率。相应的，I屮(r,t)I2表示t时刻，rxxyyzz点附近单位体积内找到粒子的几率，而|c(p,t)|2表示t时刻，动量为p的粒子概率。I屮(r,t)|2和c(p,t)|2分别称为坐标几率密度和动量几率密度。一般在量子力学中讨论坐标几率密度分布与动量几率密度分布，我们只讨论一维情况，即屮(x,t)=1c(p,t斷dp,(2兀方)2f6)c(p,t)=1J股屮(x,t)e-加dx.(2兀方)2p7)若仅考虑在某一时刻粒子的两表象波函数的关系，在(6)、(7)式中取t=0，则有屮(x)=1J股c(p)e加

17、dp(2兀力)tf8)c(p)=1J股屮(x)e-ipxdx.(2兀方)；卞9)例一维运动的粒子处在屮(x)=v2九2xe-Ax,x0;0,x0。求:(1)粒子在动量表象中的波函数，粒子坐标几率密度分布，粒子动量几率密度分布。解：(1)将屮(x)带入(9)式后做分部积分，便有c(p,t)=（2兀方）tr丄J股屮(x)efpxdxgxe-(九hP)xdx(九-耳)2n2）粒子坐标几率密度分布为I屮(x)|2=屮*(x2(x)=N(x)2=4九3x2e2Ax.3）粒子动量几率密度分布为|c(p)|2=c*(p)c(p)=(2九3加兀（九2方2+p2）22.3薛定谔方程在经典力学中，体系运动状态用坐

18、标和动量描述，它们满足牛顿方程，如果知道初始条件，由牛顿方程可求出体系在其后任何时刻的运动状态。在量子力学中，由量子力学第一基本假设（波函数假设）可知，体系的运动状态由波函数屮（r,t）来完全描述，屮（r,t）如何随时间演化？它满足什么样的运动方程呢？为回答这一问题，我们给出量子力学第二基本假设，即薛定谔方程假设：体系的状态波函数屮（r,t）满足薛定谔方程说理冬=H屮o,dt其中HH为体系的哈密顿（Hamilton）算符。对于薛定谔方程应注意如下几点：薛定谔方程是1926年由薛定谔提出来的,它是量子力学的一个基本假设,不能从理论上推导出来,它的合理性已由实验所验证。/、。屮d却薛定谔方程既然描

19、述波函数屮（r,t）随时间t的演化规律，就必然含项，但不含亍dtdt210)项,否则要用两个初始条恤（,0）及沪.才能确定屮（，t），这就意味着体系的初始状态不能由波函数屮（r,0）完全描述，违反了波函数完全描述量子状态的基本假设。薛定谔方程是虚数域上的方程,所以屮（r,t）一般表述为虚数。薛定谔方程适用于非相对论粒子。当力0时，它能过渡到经典牛顿方程。下面我们来讨论几种情况下的薛定谔方程。1.自由粒子的薛定谔方程一个自由粒子不受势场作用，其波函数为平面波:屮(r,t)=Aei(”-EE)2）2）式是自由粒子薛定谔方程的解，两端对时间求一阶偏导数，可得彷冀0=帥（r,t），（3）dt由（3）式

20、可以看出，粒子能量E与下面作用在波函数上的算符相当：八dE=滴一（4）dt称为能量算符。再求（2）式两端分别对坐标x,y,z的二阶偏导数：.d却(滴)2P2屮，dx2xd却(滴)2=P2屮，dy2yd冲（滴）2=p2屮，dz2z将（5）、（6）、（7）式相加，得(彷)2(+)屮(r,t)=(p2+p2+p2)屮(r,t)dx2dy2dz2xyz(6)(7)8)已知算符v=dij+?k,v2=d-+$+巻，且p2=p-p=p2+p2+p2,dxdydzdx2dy2dz2x所以（8）式可写为yz(滴)2V2屮(r,t)=p2屮(r,t).9)由（9）式可以看出，粒子的动量p与下面作用在波函数上的算

21、符相对应:p=ihV(11)4.算符小结p二-滴吕。zozTOC o 1-5 h zQ0称为动量算符其三个分量式为Pxioxpyi09对于自由粒子,能量与动量的关系满足:卩为粒子的质量。(11)式两边同乘屮(r,t)，得 HYPERLINK l bookmark121 o Current Document 砌(r,t)=PV(r,t).(12)2卩将(4)、(10)两式代入(12)式可得0屮(r,t)加i=-V2屮(r,t)，(13) HYPERLINK l bookmark123 o Current Document Ot2卩这便是自由粒子的薛定谔方程。P2八方2考虑到自由粒子的动能T=，可

22、引入动能算符T=-V2，自由粒子势能为零, HYPERLINK l bookmark183 o Current Document 2卩2卩其总能量就是它的动能，即H=T，H为经典力学中的哈密顿量。由此引入哈密顿算符:2H=T=-V2，贝J(13)式可表示为：2卩0入i屮(r,t)=Hv(r,t).(14)Ot2.势场中粒子的薛定谔方程势场中运动的粒子，其总能量为动能与势能之和.设粒子在势场中的势能为U(r),贝粒子的能量和动量关系式为15)上式两边同乘屮(r,t)，并以(4)、(10)两式代入，可得i丁屮(r,t)=-V2+U(r)V(r,t),(16)Ot2卩该式即为势场中运动粒子的薛定谔方

23、程。p2此种情况下，H=+U(r)，相应的哈密顿算符为2卩代入(16)式得2H二V2+U(r),2卩di屮(r,t)=H屮(r,t)ot17)18)对于不同的运动粒子，方程中的方具有不同的形式。方程(18)称为含时薛定谔方程。多粒子体系的薛定谔方程N个粒子的体系，其坐标分别为r,r,r，体系总波函数屮为r,r,r的函数,TOC o 1-5 h z12N12N即屮=屮(r,r，尸,t)，体系总能量为ET+U，艮卩12NE-艺笙+U(r,ir，r).(19)2卩12N-体系势能U包括N个粒子在外场中的势能U(r)与粒子间的相互作用能ii1V(r,r,r)。TOC o 1-5 h z12N上式两边同

24、乘波函数屮(r,rr,t)，并作代换12N八oEi,pihV,Otii则得i力f屮(r,r，r,t)迓V2+U(r,r,r(r,r,r,t).(20)Ot12N2ui12N12Ni1i这便是多粒子体系的薛定谔方程，按照前述规则，体系的哈密顿算符为H-迟空V(21)2卩i12N练习：写出氦原子(核带有+2e电荷)中的两电子体系的哈密顿算符及相应的薛定谔方程。解：由(21)式，该体系的哈密顿算符为占右212e21e2H乙V2+乙()+2pi4ker4ke|rrIi1i0i1i012相应的薛定谔方程为O八i屮(r,r,t)H屮(r,r,t).Ot12123)动能算符：这里我们对前面给出的算符形式作个

25、小结。能量算符：能量算符：E=滴.333ix3xy3yz3z动量算符：P=一滴V.,其分量p=_i,p=_i,p=_i.势能算符：U(r)=U(r).2哈密顿算符：H二T+U(r)二V2+U(r).能量算符与哈密顿算符是有区别的，当U不含时时，H与E一致，也可以叫能量算符。2对于自由粒子U(r)二0，所以有H二一V2。2.4定态与定态薛定谔方程含时薛定谔方程反映了波函数如何随时间演化问题。此波函数是普遍的，可以描写任意量子态。这些量子态中包括能量本征态(能量具有确定值状态)，动量本征态(动量具有确定值状态)，能量叠加态(能量无确定值状态)等。本节我们讨论一种特殊而常见的状态，即定态；给出定态波

26、函数的形式及其所满足的运动方程定态薛定谔方程。1.定态若势场U(r)不显含时间t，则每次测量体系的能量时均有确定值，体系所处的这种状态称为定态。定态时，体系的波函数及薛定谔方程有什么样的数学形式呢？2.定态薛定谔方程U(r)不含时时，含时薛定谔方程为3t2卩1)设方程的特解为2)屮(r,t)二屮(r)f(t)，代入(1)式，经分离变量可得如下两个方程2TOC o 1-5 h z-V2+U(r)M(r)=刖(r).(4)2卩方程(3)的解是f(t)=Ce-铀,(5)将(5)式代入(2)式，并将常数C归入屮(r)内，则有屮(r,t)=屮(r)e-Et,(6)式中，E是体系处于这个波函数所描写的状态

27、时的能量。由此可见，体系处于定态时，能量具有确定值。描写该状态的波函数(6)式称为定态波函数。引入哈密顿算符2H=-V2+U(r),2卩(4)式可写为H屮(r)=刖(r).(7)该方程不含时间t,称为定态薛定谔方程。这种类型的方程称为本征值方程，E称为算符方的本征值(即能量本征值)，屮称为算符H的本征函数，它所描述的状态称为本征态。练习1自由粒子的单色平面波是否处于定态？答：自由粒子无外场作用处于定态，其波函数形式为屮(r,t)=Aei(”-Et)=屮(r)e鼬.练习2几个不同单色平面波的叠加态是否为定态？答：不是，因为能量不确定。叠加态的波函数为屮(r,t)=c屮(r,t)+c屮(r,t)+

28、PPP2P2=屮(r)eEp11+屮(r)eep2t+P1P2练习3两个沿相反方向传播的具有相同能量(同色)的平面波叠加态是否为定态？答：以上平面波叠加以后形成驻波，处于定态。若所讨论体系所处外场U(r)不显含时间，即为定态问题。这时求体系的波函数屮(r,t)及与此定态相对应的能量E，就归结为解定态薛定谔方程(7)，求出屮(r)和E。函数屮(r)求出后乘上时间因子e鼬，即为定态波函数。有时为了方便，也称屮(r)为波函数。练习2一般来说，方程(7)的解不唯一，即可能的态和可能的能量不只一个，以E表示体系n能量算符的第n个本征值，屮(r)是与E相应的波函数，则相应能量本征值方程为nnH屮(r)=E

29、屮(r)，nnn8)体系第n个定态波函数是屮(r,t)(r)ehEn.nn含时薛定谔方程的通解，可写为这些定态波函数的线性叠加:9)屮(r,t)=工c屮(r,t)=工c屮(r)e品n.nnnnnn在定态问题中，若已知波函数初始值，则可确定任意时刻t时的波函数。设定态波函数10)为屮(r,t)(r)e細，屮(r)为任意时刻波函数的坐标部分。当t=0时，屮(r,0)=屮(r)。在定态下，坐标几率密度分布不随时间变化，即I屮(r,0)12=1屮(r,t)b=1屮(r)b，则屮(r,t)(r,0)e一詛,11)可见U(r)不含时时，知道初始时刻的波函数，乘上时间因子后就是t时刻的波函数。练习1已知一维

30、自由粒子在初始时刻的波函数为屮(x,0)=1扣,(2兀方)12求其在任意时刻的波函数屮(x,t)。解：自由粒子U(r)=0，U不显含时间t，属定态问题。由(11)式:E=巴=玄,2m2m式中po为初始时刻动量，所以1丄i-P02屮(r,t)=epxef2m(2兀方)123)设一非定态波函数在t0时为屮(r,0)c屮(r)+c屮(r)求任意时刻该波函数的形式屮(r,t)。解：任意时刻该波函数的形式为屮(r,t)屮(r,t)+屮(r,t)EE屮(r,0)e一冏+屮(r,0)e以勺EE.c屮(r)eEit+c屮(r)e以E2.练习3当体系势能改变一常数，粒子的能量本征函数是否改变？能量本征值是否改变

31、？解：设已知哈密顿算符H的本征方程为H屮(r)E呻(r)，0nnn当体系势能平移u时，即HH土u，则H满足的本征值方程为000Hv(r)(HUN(r)(E0U)屮(r)，n00nn0n所以H与H的本征波函数是一样的，而H的本征值变为E0U。0n02.5几率流密度与几率守恒定律体系波函数随时间的变化规律满足薛定谔方程，而屮本身无经典物理意义，有物理意义的是I屮I2w(r,t)，称之为几率密度。那么一个在势场U(r)中运动的粒子，它的几率密度随时间的变化满足什么样的方程呢？下面就这一问题进行讨论。1.几率守恒定律设描写体系状态的波函数为屮(r,t)，则在时刻t在r点附近单位体积内粒子出现的几率(即

32、坐标几率)是1)2)w(r,t)Iv(r,t)I2v*(r,t)v(r,t)，w随时间的变化率是屮十屮*dtdtdt由薛定谔方程(2.5节(16)式)可得（3）式中，我们假定U（r）不含时，并且为实数，即U*二U（在量子力学中，如不做特别声明，都假定U取实数），则上式的复共轭方程为4)TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark177 o Current Document 竽=Jw屮*-1U(r)屮*.dt2口i方将（3）、（4）式代入（2）式中，得dwdt=V帥*V屮一屮V屮*）（5）2卩令J三3V屮*屮*V），（6）2卩则（5）式可写成 HYPERLINK l bo

33、okmark187 o Current Document 学+VJ二0.（7）dt此方程是经典物理中的连续性方程，量子力学称之为几率守恒定律（微分式），也叫粒子数守恒定律。在方程（7）中，w代表几率密度，而按照连续性方程，J应具有流密度的含义，所以叫做几率流密度。为了进一步说明（7）式的意义，我们将（7）式对空间任意体积V求积分得8)fwdT=JvJdT,dtVVS8)式可进一步写为9)（9）式也称为几率守恒定律的积分式，它表示单位时间内体积V中增加的几率，等于从体积V外部穿过V的边界面S而流进V内的几率。而矢量J的大小表示单位时间内流过垂直于流动方向单位面积的几率，其方向为该点几率流动的方向

34、。几率为什么会流动呢？在外场U（r）的作用下，粒子在r处出现的几率密度w可能会随时间变化，有的地方密度增加了,有的地方密度减少了（非相对论粒子既不产生，也不湮灭，总数目不变），这表明几率在流动。练习：若波函数屮（r,t）与坐标有关的部分是实数，证明几率流密度等于零。证明：屮为实数波函数，即屮*=屮，由（6）式可得J=0，即实数波函数的几率流密度为零。将（9）式的积分区域V扩展到整个空间，这时S界面之外的几率为零，则有II屮卩dT二0,（10）dt这说明II屮I1屮卩=有限值.V以上三个条件称为波函数的标准条件。这些条件在求解量子力学问题中具有重要的作用。实际上在势能间断点处边界条件的实质是，要

35、求几率密度连续和几率流密度连续。在多数情况下，这种要求可以简化为波函数连续和其一阶导数连续。在特殊情况下（如U=g），其波函数一阶导数不连续，但其几率流密度却是连续的。定态波函数的一阶导数在势能存在无穷大时是不连续的,这可以分为三种情况：.U连续或不连续，波函数及其一阶导数连续；dT=常数。（11）g即对一个粒子来说，在全空间发现该粒子的几率与时间无关，为常数；但是在有效体积V内找到粒子的几率与时间有关。初始时刻，如卿为归一化的，则在以后任意时刻t，屮总是归一化的，在全空间内找到粒子的总概率是1。对非相对论实物粒子，无产生、湮灭现象，几率守恒即相当于粒子总数守恒。2波函数的标准条件粒子的状态可

36、以用波函数完全描述。那么怎样的函数才能作为波函数，或者说数学上要求波函数满足哪些条件呢？（1）单值性”（r,t）卩代表粒子的几率密度，物理上要求它是单值的。这样屮（r,t）不一定是单值的,但只要屮（r,t）是r，t的单值函数，I屮I2就是单值的，这就是波函数单值性的含义。（2）连续性由于w及J应当连续，且定态薛定谔方程包含屮（r,t）对坐标的二阶导数，因此要求屮（r,t）及其对坐标的一阶导数连续。当势能跃变为有限值时，上述性质依然成立；当势能跃变为无限值时，屮不连续，波函数的连续性意味着屮I二0，所以一个粒子不可能进U=g入U=g的空间。（3）有限性（平方可积性）这是说粒子在有限的空间范围内出

37、现的几率有限，即6).U趋向无穷大(一阶)，波函数连续，其一阶导数不连续；.U趋向无穷大(二阶以上)，波函数不连续，其一阶导数不连续。2.6定态问题之一维无限深势阱求解薛定谔方程是量子力学的核心任务。从本节起，我们将讨论在几种不同势场下定态薛定谔方程的求解问题。我们只研究较为简单的一维情况，首先讨论一维无限深势阱问题。如图2-1所示，对称势场厂0,Ixla.0图2-1一维无限深势阱称为一维无限深势阱。它是一种最简单的势形式，金属中自由电子的运动就可以简化为在该势场中的运动。在势阱内，体系满足的定态薛定谔方程为力2d即(x)TOC o 1-5 h z-=(x),Ixla，(3) HYPERLIN

38、K l bookmark387 o Current Document 2pdx20式中U0十。由波函数的连续性和有限性条件粒子进不到势场为8的区域即4)将(2)式变形，得d22pE/、n屮(x)+屮(x)=0.(5)dx22由能量动量关系式2pE二p2及德布罗意关系式p2二加k2,得k2（7）（8）（9）10）（11）n=1,2,3.12)代入（5）式，方程变为d2(x)+k2屮(x)=0,Ixla.dx2其解为屮(x)=csin(kx+c),Ixla.12在边界处由(4)式得csin(一ka+c)=0,12csin(ka+c)=0.12即ka+c=i兀,i=0,1,2；2，ka+c=j兀,j

39、=0,1,2.2将上面两式相减，得2ka=(j一i)k=n兀.式中，取n=1,2,3。当n=0时，k=0,E=0，粒子能量恒为零，没有物理意义。当n为负数时，不给出新的解。将（11）式两边平方后代入（6）式，得到体系的能量为E代表体系的能量本征值，n为量子数。对于量子数n的全部可能值，有无限多个能量值,n因而能量是分立的，它们构成体系的分立能级，又称为能量量子化。将、（1）式联立，确定出分并与En一同代入到（8）式，根据波函数的归一化条件，并考虑到（4）式，可得体系的波函数为1=sin一a2asin巴(x+a),屮(x)=0,IxIa.13)屮（x）称为体系的能量本征函数。n下面对解的物理意义

40、作几点讨论：束缚态与分立能级。由（13）式可见，粒子被束缚在-ax1的状态称为激发态。激发态的能级与量子数的平方成正比，能级分布不均匀；当量子数很大时，能级可以看作是连续的，量子效应消失而过渡到经典情况。图2-2给出一维无限深势阱中粒子的前四个能量本征函数，由图可看出，屮有n-1个节点。na图2-2.一维无限深势阱的能量本征函数阱内驻波。若阱内为驻波则此波在-a与a处为节点处，即n2a,n1,2,32将实物粒子波7占代入上式并平方得竺止-4a2,42卩En2兀2方2体系可能的能量为E-En-丽厂，n-1,2,3，这与（12）式完全相同，说明粒子完全束缚在阱内，形成驻波。对称势阱中波函数的宇称。

41、波函数在空间反演(rt-r)下的奇偶性称为宇称。若屮(-r)=屮(r)，称为偶宇称态；若屮(-r)=呼(r)，称为奇宇称态。对于能量本征函数/、1n兀/、/、，znK、屮(x)=sm(x+a)，当n为奇数时，可化为屮(x)=Acos(x)，则有na2an2an兀屮(x)=屮(x)，是偶宇称态；当n为偶数时，屮(x)=Bsin(x)，即屮(x)=-(x)，nnn2ann是奇宇称态。练习1在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(-x)=U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。练习2：一粒子在一维势阱厂0,Ix12中运动，求其能量本征值E及能量本征函数屮.nn阱内粒子的第n个定态波函数为屮

42、(x,t)=屮(x)e与ejnn=sin(x+a)e与.a2a(14)2.7定态问题之一维线性谐振子在经典力学中，质量为卩的粒子受到弹力F=kx作用时，其势能为其中A为振U=2kx2=2x2，粒子将作简谐振动，其振动方程为x=Asingt+5),22幅,为振动角频率，5为初相。在量子力学中，也把在势场U=2kx2=2叩2x2中运动的微观粒子称为一维线性谐振子，其势能曲线为一抛物线，如图2-3所示。讨论线性谐振子问题具有非常重要的意义。许多微观体系的运动可以近似地看成是平衡位置的线性谐振子运动，如原子核内核子的简谐振动，原子和分子的简谐振动等等。而许多复杂的微观运动也可以看成许多线性谐振子简谐振

43、动的叠加。下面我们就来解量子力学中的线性谐振子问题，即求体系的能级和波函数。图2-3线性谐振子的势能曲线体系的定态薛定谔方程为H屮=线性谐振子的哈密顿算符为21H=T+U=V2+叩2X22卩21）2）2上式中，T=-V2为动能算符，U二U为势能算符，X=x为坐标（位置）算符。于是,2卩方程（1）可写成屮(X)+(丄叩2X2一E)屮(X)=02口dX223）为了方便引入变量4）,却如dg却d斗d斗利用=a及=a2，并引入参数dXdgdXdgdX2dg2.2E入三厂，方程（3）可化为5）d2屮(g)dg2+(九一g2)屮(g)=0.6）方程（6）是变系数二阶常微分方程。可先求出方程在g时的渐进解，

44、然后再求方程在（Y，+8）区间的解。当gT8时，方程（6）可写为7)d2屮(g)dg2它的解是屮点）=e2,根据波函数的标准条件，当时屮为有限，所以取屮（乙）=e-2。于是屮可写成如下形式屮点）=e与HG），（8）式中，待求函数H忆）在E为有限时应是有限的，而当时，H忆）的行为也必须保证屮忆）为有限。将（8）式代入方程（6）中，得到H忆）满足的方程dHg)+(九1)H(g)=0.9)可以证明，只有当九=2n+1,n=0,1,210)时，方程（9）才有一个多项式解，保证”（g）满足波函数的标准条件。将（10）式代入（5）式得E=（n+丄）加,n=0,1,2.（11）n2这是一维线性谐振子的能量本

45、征值。对于不同的E，方程（9）有不同的解H（g），它可用下列微分式表示：ndne_g2TOC o 1-5 h zH（g）=（_1）n-eg2-，（12）ndgn称为厄密（Hermitian）多项式。它满足如下递推关系=2nH_i（g），（13）H（g）2gH（g）+2nH（g）=0.（14）n+1nn_1下面列出前面几个厄密多项式fH（g）=1,0H（g）=2g,J1H（g）=4g22,2H（g）=8g312g.（15）3由（8）式，对应于能量E的波函数是n屮(g)=NH(g)e2,nnn或屮(x)=NH(ax)e-1x2,(16)nnn其中，N是归一化常数，由波函数的归一化条件可定出n17)

46、:a2nn.丘线性谐振子前面几个波函数为18)第n个定态波函数形式为屮(x,t)=NH(2x)e-2a2x2e4Ent,n=0,1,2.(19)nnn下面对解的情况作几点讨论：由于线性谐振子的势能在x时，趋于无穷大，则粒子不能运动到无限远处，处于束缚态，这与一维无限深势阱中的粒子情况相同。所以其能量也取分立值：E=(n+1)h，能量是量子化的(图2-4)。n2谐振子的基态能量E=丄力，称为零点能，与经典力学不同，量子力学中没有能o2量为零、静止的波。图2-4线性谐振子的能级谐振子相邻能级差为AE=E-E=恥，是均匀分布的。n+1n线性谐振子的波函数满足关系式屮（-x）=（-l）n屮（X）,屮（

47、x）的奇偶性由n决nnn定。当n为奇数时，屮（x）为奇宇称态，当n为偶数时，屮（x）为偶宇称态。通常称谐振子nn波函数屮（x）的宇称为（-1）n。n谐振子的基态波函数为屮0（x）=善e-対2，相应几率密度为aWo（x）T屮o（x）|2=肩心2，这是一种正态分布，也称作高斯分布。如图2-5所示，在图2-5基态波函数x=0处，几率密度最大，即找到谐振子的概率最大。但按照经典力学，谐振子在x=0处（图中虚线部分），势能最小，动能最大，即速度最大，所以在x=0附近逗留时间最短，即在x=0附近找到粒子的几率最小。这与量子力学结论相反。图2-6给出线性谐振子几率密度分布。可以看出粒子在原点出现的几率要么最

48、大（n为偶数），要么为0（n为奇数）且粒子有一定的几率出现在经典禁区内（即粒子的总能量小于势能U（x）的区域），这是一种量子效应。当量子数n增大时，几率密度分布与经典情况的相似性在增加，两种情况在平均上已相当符合，差别只在2点）|2的迅速振荡而已（见图2-6（b）。25)x图2-6线性谐振子的几率密度分布以上是对一维线性谐振子的讨论，如果是二维各向同性谐振子，则其哈密顿算符为方=7($+t)+2(x2+y2).2udx2dy22(20)定态薛定谔方程为H屮(x,y)=E屮(x,y),21)利用分离变量法，设E=E+Exy屮(x,y)=屮(x)9(y)22)代入(21)式，得到两个方程：厂(+u

49、2x2)屮(x)=E屮(x),2udx22x1时，与能级E对应的态有多个(这些态之间是线性无关的)，这种情况叫n做能级简并。例如当n=1时，可以有n=0,n=1或n=1,n=0，与能级E对应的态有xyxy1两个，我们称为基态能级的简并度为2，以此类推，能级E的简并度为f=n+1。nn同理，三维各向同性线性谐振子其能量本征值及本征函为1113(26)E=(n+)力+(n+)力+(n+)力=(n+)力，nx2y2z22屮nnnxy可以证明，(x,y,z)=NNNH(ax)H(ay)H(az)e-2x2+y2+z2)nnnxnyznxnyz第n个能级的简并度为：f=(n+1)(n+2)。n2(27)

50、练习1：d利用厄密多项式的求导关系证明-练习2：利用厄密多项式的递推关系，证明Wn2.8定态问题之一维势垒隧穿在2.6，2.7两节中我们分别讨论了一维无限势阱及一维线性谐振子问题，这两个问题均属于定态问题中的束缚态问题，其条件是体系的势能在无限远处为无限大，波函数在无限远处为零。从而使得体系的能级是分立的。本节中，我们将讨论定态问题的一个非束缚态问题一维势垒隧穿。该问题中，体系势能在无限远处为有限，粒子波函数在无限远处不为零，由于没有无限远处波函数为零的约束，体系能量可以取任意值，组成连续谱。考虑能量为E的粒子沿x轴正向入射到一维方势垒的运动，其势场为(见图2-7)U0,0 xa;U(x)斗0

51、0,x0.(1)在经典力学中，只要EU，则粒子可以越过势垒运动到xa的区域，若EU的粒子有可能越过势垒，但也0有可能被反射回来；Ea的0区域.U(x)Ix0a图2-7一维方势垒首先我们来讨论EU情况下粒子的运动。此时，三个区域中粒子的波函数所满足的0定态薛定谔方程分别是屮”(x)+k2屮(x)=0,111屮(x)+k2屮(x)=0,222屮(x)+k2屮(x)=0,333k1k2方22u(E-U)0-k=k,31x0;0 xa(2)方程(2)的解为屮(x)=Aeik1x+Ae-ik1x,x0;1屮(x)=Beik2x+Be-ik2x,0 xa.3i由于定态波函数为屮(x,t)=v(x)e-i3

52、，所以(3)中右边第一项代表由左向右传播的平面波,第二项代表由右向左传播的平面波。Aeik11代表入射波，Ae-ik11代表反射波，Ce吋代表透射波，由于在xa区域，没有反射，故没有反射波Ce-ik咅。利用波函数及其微商在x=0及x=a处连续的条件，可得A+A=B+B,kA+kA=kB+kB,TOC o 1-5 h zv1122Beikga+Be-ik2a=Ceik1a,kBeik?。kBe-今=Ckeikf.(4)221解这一组方程，消去B和B，可以得出C、A和A的关系是4kke-ik1a(5)C=A，(k+k)2e-ik2a(kk)2eik2a1221222i(k2-k2)sinkaA=1

53、22A(k-k)2eik2a-(k+k)2e-ik2a122122(11)(10)（5）和（6）两式给出透射波和反射波振幅与入射波振幅之间的关系。由这两式可以求出透射波和反射波的几率流密度与入射波几率流密度之比。由几率密度的定义式可得入射波的几率流密度为Aeik1x(A*e-ik1x)一A*e-ik1x(Aeik1x)dxdx透射波的几率流密度为反射波的几率流密度为=客|A|2R卩反射波几率流(7)透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数，用D表示密度与入射波几率流密度之比称为反射系数，以R表示。由上面的结果，=|C|2=4k2k2+|AI2(k2k2)2sin2ka+4k2k212

54、212A2（k2-k2）2sin2ka.小=+22=1D|A|2（k2k2）2sin2ka+4k2k2这两式说明入射粒子一部分贯穿势垒到xa区域，是守恒的。R=(8)212另一部分被势垒反射回去，而总的几率现在来讨论EJ情况下粒子的运动。此时k2为虚数，可令i2卩(U=ia2(9)在上面的结论中用法代替勺，即可求得E化情况下粒子的透射系数和反射系数:4k2a2D=1(k2+a2)2sh2aa+4k2a211厂(k2+a2)2sh2daR=i-(k2+a2)2sh2aa+4k2a221式中sh为双曲线正弦函数。如果粒子的能量E很小，则a越大，当aa1时，有sh2aa(eaae-aa)2Ue2aa

55、4于是（10）式可写为Zg+a)2e2a+44ak1因为k和a同数量级，aa1时，e2%4，所以上式可写为iD二De-2aa二De触2卩。-E）a，（12）00式中D为常数，其数量级接近于1。由此式可看出，D随着势垒的加宽或加高而减小。若0势垒不是方势垒，我们总可以把它看成是由许多方势垒组成，如图2-8所示。设每个方势垒的宽度为dx，则粒子贯穿每个势垒的透射系数为D二De-22血（x）-Edx0，(13)则穿透所有方势垒的透射系数的乘积等于粒子穿透整个势垒的透射系数，即DDe-22pu（x）-Edx0a我们把这种粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应。金属电子冷发射和a粒子

56、衰变等现象都是由隧道效应产生。隧道二极管具有隧道效应的特性，而近年来发展起来的纳米科学也是与隧道效应有关的一门新兴学科。图2-8任意形状的势垒2.9一维定态问题的一般特点这一章的前几节已经求解了几个简单的定态问题,初步掌握了求解定态薛定谔方程的基本方法,下面将其归纳总结成几个基本步骤,以便于记忆和使用.另外,本节还讨论一维定态的一般性质.2.9.1解题步骤求解一维定态问题的基本步骤为:存在束缚态解的条件由问题给出的位势V(x)的具体形式画出势能曲线图，明确要讨论的能量区域。将正负无穷远处的位势称为外区位势，把其他区域的位势称为内区位势。若欲求的能量低于两个外区位势的低者，并且，高于内区位势中的

57、最低者，则存在束缚态的解，否则只有非束缚态的解。如果是非束缚态(势垒隧穿)问题，则将在下一章解决。势能在全空间连续可以利用波函数应满足的自然条件(单值，有限和连续)来求解。例如，线谐振子问题。势能分区均匀时的波函数可以根据势能的性状，把求解区间分为几个区域，比较欲求能量E与第i个区内位势V.i的大小，可以直接写出每个区域内波函数的形式。当EV时，有振荡解，通常可以选取如下三种形式之一i屮(x)=Aeikx+Ae-ikxi12(2.9.3)(2.9.4)屮(x)=Asin(kx+5)i屮(x)=Csin(kx)+Dcos(kx)i其中：2m(E-V)kln4势能分区均匀时波函数的边界条件若势能存

58、在间断点a，困为在势能间断处波函数的二阶导数不存在，在数学上并不要求一阶导数一定连续，而在物理上要求概率流密度连续。当间断点两边的势能皆为有限值时，要求波函数一阶导数连续是适当的，即(a)二屮i+1(a);i+1mi+1(2.9.5)在下面两种情况下，不要求位势间断点两边的波函数一阶导数连续。(1)当间断点两边有一边的位势为无穷大时，只要求波函数连续，在3.2.1中，无限深势阱即属于这种情况。(2)对于5函数位势(x)=af(x(x)(2.9.6)则要求波函数一阶导数满足屮，6+)-屮一)=2maf(0(0)i+1i力2i(2.9.7)5求出能量本征值及归一化的本征波函数确定能量的解析表达式或能量满足的超越方程，后者可用图解法或数值解法求出能量的数值。再利用波函数的归一化条件，确定波函数中剩下的最后一个常数，得到归一化的波函数。6特殊条件下的解设已知哈密顿算符H的解，即0H屮(x)=E0(x)0nnn(2.9.8)如果H=H土V，或者x=x土a，则可以直接得到它们的本征解，式中V与a皆为实0010常数。当势能平移土V时，即H=H土V满足的本征方程为000H屮(x)=H屮(x)V屮(x)=(E0土Vb(x)(2.9.9)n0n0nn0n显然，H与H的本征波函数是一样的，而H的本征值变成e0V0n0当坐标平移土a时，即X=xa时，本征方程(3.6.8)变成Hb(xa)=E0