自招竞赛数学讲义不等式讲师版

1、自招竞赛 数学讲义不等式学生授课日期教师授长知识定位不等式问题在高考的范围内相对比较简单基础，然而自招竞赛中占了很大的比例，而且对于没有系统知识储备与训练的人来说，较难的不等式问题是让人束手无策的。因而,掌握一些基本不等式及其推论是十分必要的。本节学习不等式，在各校自招中，不等式作为经典不等式经常需要配合使用来帮助求证（求解），而竞赛中虽然没有直接使用不等式也常常作为一个关键环节在解答中出现。不等式即可证毕的不等式问题，知识梳理不等式1.不等式（此处介绍不等式的证明及方法，数量积=9即(b+c+a)*(1/(b+c)+1/(a+c)+1/(a+b)=9/2于是得到 a/(b+c)+b/(a+c

2、)+c/(a+b)3/2【知识点】不等式应用【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】2008 西安交大【题目】设实数 a，b，c 满足a2 2b2 3c2 3 .求证:23a 9b 27c 1【】（证明题）】a,b, c 09 (a2 2 b2 3c2 ) (1 2 3) (a 2 b 3c)2所以(a 2 b 3c) 3(a 2b3c)即原式左边 3 3所以得证。 1 且等号不能同时取到3【知识点】不等式基础【适用场合】当堂练习题【难度系数】2【试题来源】2010 浙大【题目】xn有小于1的 正 数且, 求证:n111 . 432n【由】（证明题）】不等式,111 . n323 2n2

3、n,32n有 13332nnnnn 0,1则 13n1113n故 . n23 0,1,即2n2由条件 n 2 ,所以得证【知识点】不等式【适用场合】当堂练习题【难度系数】2【试题来源】2008【题目】设 a，b，c 为正实数，且 a+b+c=1，求(a 1 )2 (b 1)2 (c 1)2 的最小值。abc】1003】【(a 1 )2 (b 1)2 (c 1)2 (111) (a b c 1 1 1)2abcabc(1 1 1 1)2(a 1 )2 (b 1)2 (c 1)2 abcabc1 3a b c31 111, 93 abc由均值不等式，113abc所以(a 1 )2 (b 1)2 (

4、c 1)2 100a【知识点】b不等式基础c3【适用场合】当堂练习题【难度系数】2【试题来源】2009 浙大【题目】111n已知 0，求证： a ba 2ba nb(a 1 b)(a n 1b)22【】（证明题）【】n a2a2in不等式 i i1由ni1bi1bii111 n . 所以，左边平方2 a b2a )2nb11 a 若ib ，则有) aa ib2n n111111.2 a)b(anb) a ba nb)(a a 2)2(bnn2nn) (，即左，放太大了.a nb aa nbab a111应为i i a iba ib2 ( 1 b)22 a b222则有： nn11111 .2

5、b232352a b2a )2nb(a)()(ab)()2n21 ； n 2 n b1(a )( b) )(a)a(222原不等式成立.注：待 证的 不等式 是小 于号， 故有 可能 要放缩 ，放 缩的幅 度值 得注 意。在 111 中，分母成等差数列，因此用不等式平方后放大裂项求和a ba 2b恰到好处。【知识点】a nb不等式应用【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】a1 1111()6 abcd对正数 a,b, c, d ，证明：3a 2bc222a表示对 a,b, c, d 循环求和，即注：3a 2b c222a a b c d3a2 2b2 c23a2 2b2 c23

6、b2 2c2 d 23c22 b2【】（证明题）】利用均值不等式 a2 b2 2ab, a2 c2 2ac18a18a18a93a2 2b2 c22(a2 b2 ) a2 c24ab 2ac2b c运用不等式常用变形2( 2 1)(2b c) 2 2b 1 c 9 ，所以9 2 12b cbcbcbc18a 2 1故3a2 2b2 c2bc18b 2 1 ，18c 2 1 ，18d 2 1同理3b2 2c2 d 2cd3c23d 2 2a2 b2ab相加得证。注：左边每项是平方和分之一次，右边是一次分之办法分子分母约去一次。在9 2 1 中，分母中的b, c 分开是解题关键2b cbc【知识点

7、】不等式应用【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】1 2nn1a i设正整数 n 2 ，正整数 a , a ,) () n ，求证：, a 满足(a12n2i1i1imaxa1, a2, an 4 mina1, a2, an】(证明题)】【证明：不妨设 a1 a2 an ，22 a )( 1 1 ) n 1 11a1 aan a (a a a n 2 2 n1n12aaaan2n11n1a1anan a 5 ，得 1 2 ，故 a 4an1aa22n11注：不等式是完全对称不等式，可不妨设a1 a2 an ，则maxa1, a2, an an , mina1, a2, an

8、a1 ，只需证明an 4a1 。用 n 元不等式，保留 a1, an 是解题关键。【知识点】不等式应用【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】2007 罗马尼亚【题目】111 1，求证： a b c ab bc ca对正数 a,b, c 满足a b 1b c 1c a 1【】（证明题）【】a b c21由不等式(a b c2 )(a b 1) (a b c)2 ，则，(a b c)2a b 1a2 b ca b2 c11同理，(a b c)2b c 1(a b c)2c a 1a2 b ca b2 ca b c2111 1相加得(a b c)2(a b c)2(a b c)2a b 1

9、b c 1c a 1展开后化简即为 a b c ab bc ca【知识点】不等式应用【适用场合】当堂练习题【难度系数】3习题演练【试题来源】2007 复旦【题目】给定正整数 n 和正常数 a ，对于满足不等式 a 2 a2 a 的所有等差数列a , a , a，和式1n1123,2n1 ai 的最大值=.in110a10a5a5an 1n 1nn【选项】A.B.C.D.2222【】A】2n1an1 a2n13an1 a1所求= ai in1n 1 n 122【知识点】不等式基础【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】已知 a、b、c、d 是不全相等的正数，证明： a2 +b2

10、 +c2 +d 2 ab bc cd da【】（证明题）】证明：(a2 b2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 ) (ab bc cd da)2数， a b c d a, b, c, d 是不全相等的不bcda成立. (a2 b2 c2 d 2 )2 (ab bc cd da)2即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da【知识点】不等式基础【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】38【题目】求函数 f (x) (x R) 的最小值。2sin2 x 13cos2 x 24913【】【】916f， 26sin2 x 36 cos2 x 49 4) (3 4)2由(6s

11、in(3 4)291649) ，得(6sin2 3) (6 cos2 x 4)136sin2 x 3 6 cos2 x 43，即tan x 时取等号2当34所以当tan x 3 时，函数 f (x) 38(x R) 取最小值 49 。2sin2 x 13cos2 x 22不等式13【知识点】【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】正a3b3c31【题目】 设 a,b, c R ， ab bc ca 1，求证： b c c a a b 2【】（证明题）】a3b3c3)a(b c) b(c a) c(a b) (a b c )222 2(，b cc aa ba3b3c3(a2 b2 c2

12、 )2(ab bc ca)21) (b cc aa ba(b c) b(c a) c(a b)2(ab bc ca)2【知识点】不等式【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】nn 1，求 xi 的最大值与最小值。i1设 xi 0 （i=1，2，n），且ji11k jn 1 2n】最大值为 (k k )12【，最小值为 1 k 1【】先求最小值，nnnn 1 xi 1，i1因为(k xji1i11k jni11k jn等号成立当且仅当存在 i 使得xi =1，xj =0，jin xi 的最小值为 1i1yk ，再求最大值，令knky2 2 1ky ykk jk 1n1nn设 M

13、 = xk = ykkk 1k 1 a1 , yn a ,2n2令.则 a2 a2 a2 112nn令 an+1=0，则 M= k 1k1nnnnn= k 1kak k 1 akk 1k 1k 1ak k 1k k )ak k 1k由不等式得11 2 21n nnM ( k k 1)2 (a) (k k 1)2 22k k k k 111等号成立1)21)2(a222a212nk1 ( 2 1)2 ()1(22)11 a k=1，2，n）（k12 2n()1 k 1由于 a n ，从而2 k() 0 ，即 xa 0 kkk 1k12 2n(k k )1 k 11 2n所求最大值为 ( k k

14、)12 k 1注：条件与结论跨度太大，需换元变形后再用不等式。换元的作用是消去各式不同的kj。求最值时，一定要求出取得最值时的相应变量的值。【知识点】不等式应用【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】ABC 的三边长为 a、b、c，其外接圆半径为 R，求证：111(a b c2 )() 36R2sin 2 Asin 2sin 2【】（证明题）】a证明：由三角形中的正弦定理得sin A ，2R4R 24R 24R 2111所以，同理，sin 2 Aa 2sin 2 Bb2sin 2 Cc2R2R24R22RaRbR于是左边= ( c )(222 a a) 36R 。c22aa2

15、b2c2【知识点】不等式基础【适用场合】课后两周练习【难度系数】2【试题来源】【题目】111已知正数x,y,z 满足x+y+z=xyz,且不等式 恒成立,求 的范围.x yy zz x3【】,+)2】由二元均值不等式及【不等式,得1x zz x111 1 (2zxy)zzz2xy2 zy2 zx 12zxy3 1 )() (故 的 取 值 范 围 是z z z23,+).2【知识点】不等式应用【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】设 a1, a2 , an 为正实数，求证：a2 a aaaa12n 1 2 na aa aa a2 a a a22223341212n【】（证明

16、题）】固定一个 a2, a2, a2 的位置，再让另一个 a2, a2, a2 进行轮换12n12na2 a2 a2 a2 12n1na2 a2 a2 a2 2(a a a a aa )n12n11 22 3n1 na2 a2 a2 a2 a2 n1n123a2 a2 a2 a2 a2 2(a a a a aa )n1 n345121 22 3所以有a2 a2 a2 aa a a a a ，12n1 22 3n 1a2 a2 a2 aa a a a a ，12n1 32 4n 2相加得 2(a2 a2 a2 ) a (a a ) a (a a ) a (a a ) ，12n123234n12a1a2an2 a a a222 a所以12naa aa a 233412 a (a a ) a (a a ) a (a a ) a1a2an a123234n12aa aa a 233412 a2 。所以得证。 a a12n【知识点】不等式应用【适用场合】课后一个月练习【难度系数】4【试题来源】【题目】a,b, c, x, y, z 0 ， a b c x y z ，求证：ax(a x) by(