年龙门高三数学 第五篇 第二节 空间图形的基本关系与公理课件（理） 北师大

1、第二节空间图形的基本关系与公理考纲点击1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.热点提示1.以空间几何体为载体，考查逻辑推理能力.2.通过判断位置关系，考查空间想像能力.3.应用公理、定理证明点共线、线共面等问题.4.多以选择、填空的形式考查，有时也出现在解答题中.2021/8/8 星期日11平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理 2： 的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 过该点的公共直线两点过不在一条直

2、线上有且只有一条2021/8/8 星期日22直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：(0， 锐角(或直角)2021/8/8 星期日33直线和平面的位置关系位置关系直线a在平面内直线a与平面相交直线a与平面平行公共点 公共点 公共点 公共点符号表示aaAa图形表示有无数个有且只有一个没有2021/8/8 星期日44.两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数2021/8/8 星期日55.平行公理平行于同一条直线的两条直线 6定理空间中如果两个角的两

3、边分别对应平行，那么这两个角 互相平行相等或互补2021/8/8 星期日61分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A异面B平行C相交 D以上都有可能【解析】如图，ab，c与d相交，a与d异面【答案】D2021/8/8 星期日72直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为() A1 B3 C6 D0【解析】以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个【答案】B2021/8/8 星期日83用一个平面去截一个正方体得到的多边形，其中边数最多的是() A四边形 B五边形 C六边形 D七边形【解析】正方体一共六个面，用一个平面去截，最多是六边形，

4、但能否与每个面都相交，可以用实物演示，以增强其空间想像能力，如图所示【答案】C2021/8/8 星期日94三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为_【解析】当三个平面两两平行时，n4；当三个平面两个平行，第三个与这两个都相交时，n6；当三个平面两两相交于同一直线时，n6；当三个平面两两相交，交线平行时，n7；当三个平面两两相交，只有一个公共点时，n8.【答案】4,6,7,82021/8/8 星期日105(2008年青岛模拟)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBCAA12，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为_【解析】取AC的中点E，连接C1E，

5、BE，则四边形ADC1E为平行四边形AB=BC，BEAC，BE平面ACC1A1.在RtBEC1中，BE= ，BC1= ，sinBC1E= ，BC1E=30，即为所求【答案】302021/8/8 星期日112021/8/8 星期日12【思路点拨】2021/8/8 星期日132021/8/8 星期日142021/8/8 星期日15【方法点评】证明点线共面的常用方法纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合2021/8/8 星期日161已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为D1C1、C1B1的中

6、点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：D、B、F、E四点共面【证明】(1)如图所示，因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1.在正方体AC1中，B1D1BD，所以EFBD.所以EF，BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面2021/8/8 星期日17【思路点拨】先证E、F、G、H四点共面，再证EF、GH交于一点，然后证明这一点在AC上2021/8/8 星期日182021/8/8 星期日19【方法点评】证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上2021/8/8 星期日202如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长

7、线交于M，RQ与DB的延长线交于N，RP与DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线【证明】PQCBM，M直线PQ，PQ平面PQR， M平面PQR，又M直线CB，而CB平面BCD，M平面BCD，从而M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线(设为l)上；同理可证K、N也在l上M、N、K三点共线2021/8/8 星期日21如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由【思路点拨】(1)易证MNAC，AM与CN不异面 (2)由图易判断D1B和C

8、C1是异面直线，证明时常用反证法2021/8/8 星期日22【自主探究】(1)不是异面直线理由：连接MN、A1C1、AC.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.又A1A C1C，A1ACC1为平行四边形A1C1AC，得到MNAC，A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线证明如下：ABCDA1B1C1D1是正方体，B、C、C1、D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1、B、C、C1，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾假设不成立，即D1B与CC1是异面直线2021/8/8 星期日23【方法点评】证明两直线为异

9、面直线的方法：1定义法(不易操作)2反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到3客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图2021/8/8 星期日243.如图，直线a、b是异面直线，A、B两点在直线a上，C、D两点在直线b上求证：BD和AC是异面直线【证明】假设BD和AC不是异面直线，则BD和AC共面，设它们共面于.A、B、C、D，AB、CD，即a、b.这与a、b是异面直线矛盾故假设不成立BD和AC是异面直线2021/8/8

10、星期日251(2009年湖南高考)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为() A3B4 C5 D6【解析】根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面， 可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件故选C.【答案】C2021/8/8 星期日26【答案】C2021/8/8 星期日273(2009年宁夏、海南高考)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF ，则下列结论中错误的是()AACBEBEF平面ABCDC三棱锥ABEF的体积为定值DAEF的面积与BEF的面积相等【解析】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中

11、，ACBD，ACBB1，BDBB1B，AC平面BB1D1D，BE平面BB1D1D，ACBE，A对2021/8/8 星期日28【答案】D2021/8/8 星期日294(2009年安徽高考)对于四面体ABCD，下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)相对棱AB与CD所在的直线异面；由顶点A作四面体的高，其垂足是BCD三条高线的交点；若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱【解析】先画出草图，根据图形来判断相关结论是否正确【答案】2021/8/8 星期日301有关空间基本性质的问题，常借助