沪科版八年级上册数学课件（第13章 三角形中的边角关系、命题与证明）

1、第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系第1课时 三角形中边的 关系1课堂讲解三角形及有关概念三角形按边的关系分类三角形的三边关系2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 三角形是由线段围成的最简单的平面封闭图形，是研究其他多边形的基础. ABC1801知识点三角形及有关概念1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依 次相接所组成的封闭图形叫做三角形用符号“”表 示三角形，顶点是A，B，C的三角形，记作ABC，读 作“三角形ABC” 要点精析： (1)定义中的四要素：三条线段，不在同一条直线上， 首尾依次相接，封闭图形知1讲知1讲 (2)三角形的表示方法中“

2、”代表“三角形”，后 边的字母为三角形的三个顶点字母，字母的顺序 可以自由安排2. 三角形的三元素： (1)顶点：三角形任意两边的公共点； (2)边：组成三角形的三条线段称为三角形的三条边； (3)内角：在三角形中，每相邻两边所组成的角知1讲3. 说明：在三角形中，一个角对着一条边，那么这条 边就叫做这个角的对边同理，这个角叫做这条边 的对角例如： 图中，A所对的边可以用 BC表示， 也可以用a表示； B所对的边可以用AC表示， 也可以用b表示； C所对的边可以用AB表示，也可 以用c表示；AB的对角为C，BC的对角为A， AC的对角为B. 例1 下列选项都是由三条线段组成的图形，其中是 三角

3、形的是()导引：按三角形的定义进行判断观察每一个选项中 的图形，A，B，D中的三条线段都没有首尾顺 次相接知1讲C (1)判断三角形的条件：三条线段，不在同一条直线上， 首尾依次相接，封闭图形四者必须同时满足，否 则不是三角形(2)易错警示：图形是三角形与图形内含有三角形是两个不 同的概念图形是三角形表示整个图形是一个三角形， 图形内含有三角形表示图形内部有三角形如选项A，B， D中的图形内都含有三角形，但整个图形不是三角形总 结知1讲 例2 如图，在ABC中，D，E分别是BC，AC上的 点，连接BE，AD交于点F，问： (1)图中共有多少个三角形？ 请把它们表示出来 (2)BDF的三个顶点是

4、什么？三条边是什么？ (3)以AB为边的三角形有哪些？ (4)以F为顶点的三角形有哪些？知1讲导引：(1)以点A为顶点的三角形有：ABF，AEF，ABE， ABD，ACD，ABC；除此以外，以点B为顶点 的三角形有：BDF，BCE. (2)由三角形的表示法可知BDF的三个顶点是B，D， F，顺次连接B，D，F三点的线段BD，DF，BF是 BDF的三条边 (3)点D，E，F，C都在直线AB外，所以它们都可以和 点A，B组合作为三角形的三个顶点 (4)从(1)中挑出含有点F的三角形知1讲解：(1)图中共有8个三角形，分别是ABF，AEF，ABE， ABD，ACD，ABC，BDF，BCE. (2)B

5、DF的三个顶点是B，D，F，三条边是BD，DF，BF. (3)以AB为边的三角形有ABF，ABD，ABE，ABC. (4)以F为顶点的三角形有ABF，AEF，BDF.知1讲 在复杂图形中数三角形个数的方法：按图形形成的过程去数(即重新画一遍图形，按照三角形形成的先后顺序去数)；按三角形的大小顺序去数；从图中的某一条边开始沿着一定的方向去数；先固定一个顶点，然后按照一定的顺序不断变换另两个顶点去数(如本例中的解析) 易错警示：不管按哪种方法数三角形的个数，都要按照一定的顺序，做到不重复、不遗漏总 结知1讲 1 如图，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画 三角形 (1)其中以AB为一边可以画出_

6、个三角形； (2)其中以C为顶点可以画出_个三角形知1练 2 如图，以CD为公共边的三角形是_； EFB是_的内角；在BCE中，BE所对 的角是_，CBE所对的边是_； 以A为公共角的三角形 有_ _知1练 2知识点三角形按边的关系分类知2讲1. 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形， 其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹 角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角2. 等边三角形：底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三 角形，即三边都相等的三角形是等边三角形知2讲3. 三角形的分类(按边分类)：4. 三角形按边长分类，也可表示为：三角形三边都不相等的三角形(不等边三角形)等腰三角形底

7、边和腰不相等的等腰三角形等边三角形(底边和腰相等的等腰三角形)不等边三角形等腰三角形等边三角形 例3 下列说法：三角形按边分类可分为不等边三 角形、等腰三角形和等边三角形；等边三角 形一定是等腰三角形；有两边相等的三角形 一定是等腰三角形其中正确的有() A1个 B2个C3个D0个导引：等边三角形是特殊的等腰三角形，应和等腰三 角形分为一类，故错误；正确；为等腰 三角形的定义，故正确知2讲 B 解答这类题的关键是理解并区分各类三角形的定义，以及它们之间的相互关系三角形的分类原则是不重复、不遗漏，而把三角形划分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形，这里出现了重复，原因是等腰三角形已经包括了等边

8、三角形出现这种分类错误的原因是没有区分清楚各类三角形之间的相互关系总 结知2讲 例4 已知ABC的三边长分别为a，b，c.且满足 (1)(ab)2|bc|0； (2)(ab)(bc)0，试判断ABC的形状 导引：要判断三角形的形状，可根据“是否有边相等” 来判断，所以从条件中分析出三边的关系是解 决本题的关键知2讲知2讲解：(1)因为(ab)2|bc|0， 所以ab0，bc0， 所以abc. 所以ABC为等边三角形 (2)因为(ab)(bc)0， 所以ab0或bc0， 所以ab或bc. 所以ABC为等腰三角形 总 结知2讲 只能判定有两边相等的三角形下结论为等腰三角形，能判定三边相等的三角形下

9、结论就为等边三角形1 下列关于三角形按边分类的表示，正确的是()知2练 2 已知ABC的三边a，b，c满足(ab)(bc)0， 则ABC是() A等腰三角形 B不等边三角形 C等边三角形 D以上都不对知2练 3知识点三角形的三边关系知3导 思考： 在一个三角形中，任意两边之和与第三边的大小关系如何？你判断的根据是什么？知3讲 三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边要点精析：(1)三角形三边关系的理论依据：两点之间，线段最短(2)判断三条线段能否围成三角形只需用两短边之和与最 大边相比较即可(3)已知一个三角形的两边长为a，b(ab)，则第三边长c 的取值范围是：a

10、bcab. 例5 (浙江温州)下列各组数可能是一个三角形的三 条边长的是() A1，2，4 B4，5，9 C4，6，8 D5，5，11导引：将每组数中较小两数的和与第三个数比较大 小，若较小两数的和大于第三个数，则能组 成三角形知3讲 C 判断三条线段能否组成三角形，只需看较短两边的和是否大于第三边即可因为只要较短两边的和大于第三边，则任意两边的和都大于第三边，所以用此方法可以很快地判断出三条线段能否构成三角形总 结知3讲 例6 一个三角形两边的长分别为5和3，第三边的长是整 数，且周长是偶数，则第三边的长是() A2或4 B4或6C4D2或6 导引：要求第三边的长，需先求出这条边的范围，再在

11、其范 围内找出满足条件的数设三角形的第三边的长为x， 则第三边的长的取值范围为53x53，即2x 8.又在2到8之间的整数有3，4，5，6，7，而三角形的 周长x35x8应为偶数，所以x也是偶数，所以x 的值只能是4或6，所以三角形的第三边的长是4或6.知3讲B 总 结知3讲 通过多个条件确定三角形第三边的方法：已知两边第三边小于其他两边的和而大于其他两边的差第三边的范围附加条件确定第三边 例7 等腰三角形中，周长为18 cm. (1)如果腰长是底边长的2倍，求各边长； (2)如果一边长为4 cm，求另两边长.解：(1)设等腰三角形的底边长为x cm，则腰长为2x cm. 根据题意，得x2x2

12、x18. 解方程，得x3.6. 所以三角形的三边长为3. 6 cm，7. 2 cm,7. 2 cm.知3讲(2)若底边长为4 cm,设腰长为x cm. 根据题意，得2x418. 解方程，得x7. 若腰长为4 cm，设底边长为x cm. 根据题意，得24x18. 解方程，得x = 10. 由于4 +4 10,可知以4 cm为腰长不能构成周长为 18 cm的等腰三角形. 所以，三角形的另两边长都是7 cm.知3讲 1 (中考青海)已知三角形两边的长分别是4和10，则 此三角形第三边的长可能是() A5B6C12D162 (中考南通)下列长度的三条线段能组成三角形的 是() A5，6，10 B5，6

13、，11 C3，4，8 D4a，4a，8a(a0)知3练 3 (中考包头)长为9，6，5，4的四根木条，选其中 三条组成三角形，选法有() A1种 B2种 C3种 D4种知3练 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系第2课时 三角形中角的 关系1课堂讲解三角形按角的大小分类三角形的内角和2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1知识点三角形按角的大小分类1. 三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有 一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角 的三角形叫做钝角三角形 要点精析： (1)从角的角度判断三角形的形状，主要看最大的内角即 可，最大的内角为锐角

14、、直角、钝角，则三角形的形 状分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；知1讲知1讲 (2)直角三角形夹直角的两边为直角边，直角的对边 为斜边，直角三角形ABC可以写成RtABC.2三角形按角的大小可分为：三角形直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形3. 三角形按角的大小分类，也可表示为：知1讲直角三角形锐角三角形钝角三角形 例1 判断： (1)等边三角形是等腰三角形() (2)等腰三角形是等边三角形() (3)三角形按边分类分为等腰三角形、等边三 角形和不等边三角形() (4)三角形按角分类应分为锐角三角形、直角 三角形和钝角三角形()知1讲导引：(1)等边三角形中有两条边相等，所以等边三角

15、 形是等腰三角形故(1)正确(2)等腰三角形分 为腰和底边不相等的等腰三角形和等边三角形 故(2)错(3)三角形按边分类分为三边都不相等 的三角形和等腰三角形故(3)错(4)正确知1讲 此题考查三角形的分类，按角分类的关键是先观察一个三角形中是否有直角或钝角；按边分类应观察一个三角形中是否有相等的边，有几条相等的边总 结知1讲 例2 如图，在ABC中，ACB90，CDAB， 垂足为D，试写出图中所有的直角三角形， 并说出每个直角三角形的斜边知1讲导引：有一个角是直角的三角形就是直角三角形，已 知ACB90，CDAB，可得到ADC CDB90.解： 图中直角三角形有：RtABC，斜边为AB； R

16、tADC，斜边为AC；RtDBC，斜边为BC.知1讲 找直角三角形就是找直角，找斜边也是找直角总 结知1讲 1 (中考呼和浩特)已知ABC中有一个角为130， 则ABC一定是() A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D锐角三角形或钝角三角形知1练 2 已知ABC的三边长a，b，c满足(ab)2|bc| 0，则ABC的形状是() A钝角三角形 B直角三角形 C等边三角形 D以上都不对3 如图，一个三角形被木板遮住了一部分，这个三 角形是() A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D以上都有可能知1练 2知识点三角形的内角和知2导知识点知2讲三角形的内角和等于180.要点精析：(1)在一

17、个三角形中，已知两个角的度数就能求出第 三个角的度数；(2)定理证明的思路：因为180的角有：平角， 邻补角的和，平行线间一对同旁内角的和， 因此证三角形的内角和为180就是要把三角形 的三个内角转化为上述的三种角，而创造平行线 是转化的桥梁 例3 已知ABC中，B的度数是A的度数的2 倍，C的度数是A的度数加20，则A 等于() A40B60C80D90导引：设Ax，则B2x，Cx20，根据三 角形的内角和定理求出x的值知2讲 A本题利用方程思想解答设Ax，将B，C的度数用含x的代数式表示出来，再列出方程求解总 结知2讲 例4 在ABC中，ABC345， 试问ABC的形状如何？ 解： 设A3

18、x，则B4x，C5x， 所以3x4x5x180，解得x15， 所以A45，B60，C75， 所以ABC是锐角三角形知2讲 总 结知2讲 本题运用方程思想解答先求出三角形三个内角的度数，再判断其形状例5 已知：如图，ABC中，BDAC，垂足为 D.ABD54，DBC18.求A和 C的度数. 解： 因为BDAC，(已知) 所以ADBCDB90， 在ABD中，AABDADB180， (三角形的内角和等于180) ABD54，ADB90，(已知)知2讲A180ABDADB 180549036.在ABC中，C180A(ABDDBC) 18036(5418)72.知2讲 1 在ABC中: (1)已知：A1

19、05，BC15，则C_； (2)已知：ABC345，则C_.知2练 2 已知：如图，ACB90，CDAB，垂足是D. (1)写出图中所有相等的角； (2)写出图中所有直角三角形， 并指出它们的斜边.3 (中考泉州)在ABC中,A20,B60,则ABC的 形状是() A等边三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形知2练 4 (中考绵阳)如图,在ABC中,ABC,ACB的平分线BE, CD相交于F,ABC42, A60,则BFC() A118 B119 C120 D1211. 任意一个三角形的三个内角和都等于180，这一性质 是三角形中角的关系的一个非常重要的性质，当已知 三角形的两个内角

20、时，可以很容易求出第三个角例 如，在ABC中，如果A30，B90，那么 C180 AB180309060.2. 三角形的三个内角中至少有两个是锐角，三角形中最 大的角不小于60.第13章 三角形中的边角关系、命题与证明13.1 三角形中的边角关系第3课时 三角形中几条重 要线段1课堂讲解三角形的角平分线三角形的中线三角形的高定义2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 三角形中，三条边、三个角是它的基本元素.此外，三角形还有如下一些重要元素.1知识点三角形的角平分线1. 定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶 点和交点之间的线段叫做这个三角形的角平分线2. 位置图例：任何三角形的三条角平分

21、线都交于一点， 且该点在三角形的内部，这点叫 这个三角形的内心如图.知1讲知1讲3. 表达方式： (1)AD是ABC的角平分线； (2)AD平分BAC交BC于点D； (3)BADCAD 注:上述三种情况都表示同一意义,即AD是ABC的 角平分线,选用哪种表示法,应根据解题需要来定4. 易错警示:角平分线是一条射线,而三角形的角平分线 是一条线段,不要混淆 例1 关于三角形的角平分线，下列说法正确的 是() A是线段B是射线 C是直线 D是射线或线段导引：三角形的角平分线是一条线段，故选A.知1讲A 三角形的角平分线与角的平分线是不同的两个概念：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线

22、；一个三角形的角平分线有三条，一个角的平分线只有一条；在三角形中，三角形的角平分线是三角形的内角平分线上的一部分本题易因混淆概念而错选D.总 结知1讲 例2 如图所示，AD是ABC的角平分线，AE是 ABD的角平分线，BAC80，则EAD 的度数是() A20B30 C45D60知1讲A导引：由角平分线的定义，可得出EAD与BAD、 BAC之间的数量关系 因为AD平分BAC，BAC80， 所以BAD40. 又因为AE平分BAD， 所以EAD20.知1讲 三角形的角平分线将三角形的内角分成相等的两部分，特别是两角之间的数量关系在求角的度数时起着关键作用总 结知1讲 例3 如图，在ABC中，AD是

23、ABC的角平分线， DEAC，DFAB，EF 交AD于点O，请问DO是 DEF的角平分线吗？ 说明理由导引：要知道DO是不是DEF的角平分线，只需要知 道EDO与FDO是否相等若相等，根据三 角形的角平分线的定义即可判定知1讲解：DO是DEF的角平分线理由如下： 因为AD是ABC的角平分线， 所以DABDAC(角平分线定义) 因为DEAC，DFAB， 所以DACADE，DABADF(两直线平行， 内错角相等) 所以ADEADF(等量代换) 所以DO是DEF的角平分线知1讲 本例在解题过程中，先利用角平分线的定义，得出相等的角，再结合相关条件(如平行等)推出新的一组相等的角，最后由角平分线的定义

24、证明角平分线，它经历了定义条件定义的过程，这就是定义法总 结知1讲 1 如图，12，34，下列结论中错误的 是() ABD是ABC的角平分线 BCE是BCD的角平分线 C DCE是ABC的角平分线知1练 2 如图，在ABC中，B67，C33，AD 是ABC的角平分线，则CAD的度数为() A40 B45 C50 D55知1练 2知识点三角形的中线知2讲1.定义：连接三角形一个顶点和它对边的中点，所得的 线段叫做该三角形这条边上的中线2.位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该 点在三角形内部，如图，这 个点叫做三角形的重心知2讲3. 表达方式： (1)AD是ABC中BC边上的中线； (2

25、)D是BC边的中点； (3)BDDC， 注：上述三种情况都表示AD是中线，选用哪种表 示法，应根据解题需要来定4. 易错警示：中线是线段，不要将它与线段所在直线 混淆 例4 (动手操作题)在ABC中，ABAC，AC边上 的中线BD把ABC的周长分为12 cm和15 cm 两部分，求ABC的各边长导引：因为中线BD将ABC的周长分成两部分：(BC CD)和(ADAB)，无法确定谁为12 cm，谁为15 cm，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多,因 此可建立方程的模型，利用设未知数来求解知2讲 解：设ABx cm，则ADCD (1)如图，若ABAD12 cm， 则 即ABAC8 cm，则CD4 c

26、m. 故BC15411(cm) 此时ABACBC，三角形存在， 所以ABC三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm.知2讲解得x8， (2)如图，若ABAD15 cm，则 解得x10，即ABAC10 cm， 则CD5 cm. 故BC1257(cm) 显然此时三角形存在， 所以ABC三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm. 综上所述，ABC的三边长分别为8 cm，8 cm， 11 cm或10 cm，10 cm，7 cm.知2讲 (1)本例中由于条件不确定，因此我们针对因条件的不确定性导致图形出现不同的情况，运用分类讨论思想对题目进行分类讨论；解答中，针对题中涉及的线段这个“形”较多，为了

27、使解答更简练，我们将它们建立方程这个“数”的模型因此本例的解答过程体现了：分类讨论思想、建模思想、数形结合思想、方程思想等(2)警示：求三角形的边时，要注意隐含条件：三角形的三边关系总 结知2讲 例5 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了 于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地 平均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块 田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提 出一种平分的方案 知2讲知2讲导引：根据等底等高的三角形的面积相等，要等分三 角形的面积，只需要作出一条边上的中线即可解：根据要求，平分田地的直线一定经过三角形的顶点 画ABC的中线AD(如上页图)， 则AD就把ABC的面积平分成

28、两份 这是因为AD是ABC的中线， 所以BDDC. 过点A作AEBC于点E.知2讲在ABD和ACD中，因为BD，CD边上的高都是AE，所以由三角形的面积公式，知ABD和ACD的面积相等因此，要把ABC平分成两个三角形，只需画中线AD即可，这是一种平分的方案(本题答案不唯一，作AB，AC边上的中线也可以) 总 结知2讲 (1)三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相 等的两部分，即等底等高的三角形面积相等；(2)拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量， 如果有其中的两个量分别相等，那么第三个量也 相等1 三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个() A形状相同的三角形 B面积相等的三角形

29、C直角三角形 D周长相等的三角形知2练 2 如图，已知BD是ABC的中线，AB5，BC3， ABD和BCD的周长的差是() A2B3 C6D不能确定3 如图，在ABC中，D，E分别为BC，AD的中点， 且SABC4，则S阴影为() A2 B1 C. D.知2练 3知识点三角形的高知3讲1. 定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做该三角形这条 边上的高一个三角形有三条高2. 位置图例： (1)锐角三角形：三条高都在三角 形内部，其交点也在三角形内 部(如图)知3讲(2)直角三角形：一条高在三角形内部， 两条高在三角形边上，其交点为直 角顶点(如图1)(3)

30、钝角三角形：一条高在三角形内部， 两条高在三角形外部，其交点在三 角形外部(如图2)图1图2知3讲3表达方式： (1)AD是ABC的边BC上的高； (2)ADBC于D； (3)ADC90,ADB90或ADCADB90. 注：上述三种情况都表示AD是高，选用哪种表示 法，应根据解题需要来定知3讲4易错警示： (1)三角形中大于90的角的两边上的高的作法(高均 在三角形外部) (2)任何三角形的三条高所在直线交于一点(垂心) 例6 (动手操作题，易错题)画出图中ABC的三条 高(要标明字母，不写画法) 知3讲导引：“作一边上的高”可看作“过一点(这边所对角 的顶点)作已知直线(这边所在直线)的垂线

31、” 按照“过一点作已知直线的垂线”进行作图， 顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注 意AB， BC边上的高在三角形的外部，作高时 先延长AB与CB.知3讲解：如图所示知3讲 (1)作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高的 步骤就是“过一点作已知直线的垂线”的步骤： 一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、 二找(移动三角尺使另一条直角 边通过要作高的顶点)、三画线 (画垂线段)，如图.(2)注意：高是线段，垂线是直线总 结知3讲 例7 (动手操作题)如图，在32的正方形网格中， 小正方形的边长为1，以图中A，B，C，D， E中的三点为顶点的三角形中，面积为1的三 角形有哪些？ 知3

32、讲 导引：首先要清楚以五点中的三点为顶点的三角形有 多少个，注意C，D，E三点在一条直线上，不 能组成三角形；再从这些三角形中找出面积为 1的三角形；而要找面积为1的三角形，根据这 些三角形的特征，实质上是要找底为1，高为2 和底为2，高为1的所有三角形知3讲 解：以A，B，C，D，E中的三点为顶点的三角形有 ABC，ABD，ABE，ACD，ACE， ADE，BCD，BCE，BDE其中面积 为1的有ABC，ADE，BCE，ACD.知3讲 (1)三角形的面积与高是密不可分的，只要涉及三角 形的面积就要联想到高，因为三角形的面积等于 底与高乘积的一半；(2)解答本例的关键是找准底和高，注意钝角三角

33、形 中大于90的角的两边上的高在三角形外部，这 是难点，也是易错点总 结知3讲 例8 如图，在ABC中，BC4 cm，AC5 cm. (1)若BC边上的高AD4 cm，试求ABC的 面积及AC边上的高BE的长； (2)试求ADBE的值导引：利用三角形的面积公式及等积原理求解知3讲解：(1)SABC 因为SABC 所以 所以 (2)ADBE4知3讲 求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题中常用的思想方法之一用同一个三角形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系是一种很重要的数学方法等积法总 结知3讲 操作：1. 分别画出图中各个三角形三条边上的高.2. 任意画一

34、个三角形，画出三边上的中线.再任意画一 个三角形，画出三角形三个角的平分线.知3讲一个三角形中共有几条角平分线，它们是否交于 一点？同样，各有几条中线、几条高，它们是否 各交于一点？知3讲1 (中考长沙)过ABC的顶点A，作BC边上的高，以 下作法正确的是()知3练 2 下列说法中正确的是() A三角形的三条高都在三角形内 B直角三角形只有一条高 C锐角三角形的三条高都在三角形内 D三角形每一边上的高都小于其他两边知3练 3 下列结论：三角形的角平分线、中线、高都是 线段；直角三角形只有一条高；三角形的中 线可能在三角形外部；三角形的高都在三角形 内部其中正确的有() A1个B2个C3个D4个

35、知3练 4知识点定义知4讲 像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义.今后我们还会学习许多定义. 下列不属于定义的是()A两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离B两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形C同角的余角相等D由不等号连接的式子叫做不等式知4练 11. 三角形的角平分线 角平分线三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交， 顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.2. 三角形的中线 中线三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三 角形的中线.3. 三角形的高 高线从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做 三角形的高线，也叫做三角形的高.第13章 三角形中的边角关系、命题与

36、证明13.2 命题与证明第1课时 命 题1课堂讲解命题 真命题和假命题 互逆命题与举反例2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 前面，已经学习了一些几何图形的性质.在认识这些性质时，使用了观察、操作和实验等方法，并对它们作出一些说理与解释. 研究几何图形，如果仅限于观察、操作和实验等方法，难以使人确信结果的正确性，比如上一节研究三角形性质时, 通过折叠、剪拼或度量得到三角形三个内角的和是 180(如图是剪拼）.对于上面的结果，如果有同学提出以下疑问：(1)在剪拼时，发现三个内角难以拼成一个平 角，只是 接近180的某个值；(2)度量三个角，然后相加，有的接近179， 有的接近 181,不是很准确

37、地都得180.如何回答上面的问题呢？1知识点命题推理的问题： 推理是一种思维活动.人们在思维活动中，常要对事物的 情况作出种种判断.判断是通过语言来表达的，例如： (1)北京是中华人民共和国的首都； (2)如果1与2是对顶角，那么1 = 2; (3)1+1b，则2a2b知2练 下列语句：若AB180，则A与B互 为邻补角；120的角和60的角都是补角； 连接AB，并延长到点C；同角的余角相等 其中真命题有() A1个 B2个 C3个 D4个4 下列命题中，假命题有() 若a24，则a2； 若ab，则a2b2； 若ab，bc，则ac；若|a|b|，则a2b2. A1个 B2个 C3个 D4个3知

38、识点互逆命题与举反例知3讲1.互逆命题 将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到 一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题 称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做 原命题的逆命题2.反例的定义 像这种符合命题条件，但不满足命题结论的例子，我 们称之为反例（counter example).要说明一个命题是 假命题，只要举出一个反例即可. 知3讲3.反例的应用 （1）要说明一个命题是假命题，只要 举出一个反例即可 （2）易错警示：一个命题是真命题 时，它的逆命题不一定是真命题 知3讲 解：（1）逆命题是“两直线平行，内错角相等”， 是真命题. （2）逆命题是“如果ab

39、=0，那么a=0”， 是假命题. 反例，当a=1，b=0时，ab=0. 例5 写出下列命题的逆命题，并判断所得逆命 题的真假,如果是假命题，请举一个反例： （1）内错角相等，两直线平行； （2）如果a=0,那么ab=0. 例6 写出下列命题的逆命题： (1)两条直线被第三条直线所截，如果有一对 同位角相等，那么这两条直线平行； (2)角的平分线上的点到角的两边的距离相等； (3)若r2a，则r是a的平方根； (4)如果a0，那么 a.知3讲解：(1)两条平行线被第三条直线所截，有一对同位 角相等； (2)到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； (3)若r是a的平方根，则r2a； (4)如果

40、a，那么a0. 知3讲解：不正确 例如：当n7时，n26n70. 例7 在学习中，小明发现：当n1，2， 3时，n26n的值都是负数于是小 明猜想：当n为任意正整数时，n2 6n的值都是负数小明的猜想正确 吗？请简要说明你的理由总 结知3讲 举反例是说明一个命题为假命题的常用而有效的方法 知3练 (中考厦门)已知命题A：“任何偶数都是8的整 数倍”在下列选项中，可以作为“命题A是 假命题”的反例的是() A2k B15 C24 D42 有下列命题：同旁内角互补，两直线平 行；若|a|b|，则ab；直角都相等； 相等的角是对顶角，这些命题的逆命题是 真命题的有() A4个 B3个 C2个 D1个

41、知3练 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角” 举反例，正确的反例是() A60，的补角120， B90，的补角90， C100，的补角80， 2. 理由如下：1是ABC的一个外角， 13. 3是FGC的一个外角， 32.12.总 结知2讲 “三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”是证明有关角的不等关系的一条重要定理，它常常结合不等式的性质(如本例中不等式的传递性)来解决有关角的不等关系；用它可判断与三角形有关的角的大小问题本题通过3把属于两个三角形的1和2联系在一起是关键知2讲 例5 青海，改编下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后 按要求作答： 探究1：如图，在ABC中，O

42、是ABC与ACB的平分线BO 和CO的交点，通过分析发现：BOC90 A.(不要求证明) 探究2：如图，O是ABC与外角ACD的平分线BO 和CO的交 点，试分析BOC与A有怎样的数量关系？请说明理由 探究3：如图，O是外角DBC与外角ECB的平分线BO和CO 的交点，则BOC与A有怎样的数量关系？图图图知2讲导引：探究2：如图，根据三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和，用A与1表示出2，再利用 BOC与1表示出2，然后整理即可得到BOC与 A的关系；探究3：根据三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出 OBC与OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式 整理即可得解解：探究2结论：BOC A. 理由如下：如图，BO和CO分别是 ABC和ACD的平分线， 1 ABC，2 ACD. 又ACD是ABC的一个外角，知2讲ACDAABC.2 (AABC) A1.