近世代数课件56可离扩域

1、近世代数课件56可离扩域近世代数课件56可离扩域 引理 1 令 是 的一个不可约多项式，这里 是一个域。若 的特征是，那么 没有重根；若 的特征是 ，那么 有重根的充分与必要条件是： ，这里 是 的一个多项式。 证明 有重根的充分与必要条件是： 与它的导数 在 中有次数 的公因子；由于 不可约，这个条件只在 时才能被满足。令 那么 引理 1 令 是 的一个 情形1. 的特征是。这时 这就是说， ，与 不可约的假设矛盾。所以在这个情形下 不能有重根。 情形2 . 的特征是 。这时 这就是说，只要 ，就必有 。因此 证完 情形1. 的特征是。这时引理 1 特征是的域的任何代数扩域都是可离扩域。 特

2、征是 的域可以有不可离扩域。 引理 2 令 是一个特征为 的域。当而且只当 的每一元 都是 的某一元 的 次幂； 时， 的任何代数扩域都是可离扩域。 证明 假定 的每一元 都可以写成 的形式。这时 的一个多项式 引理 1 特征是的域的任何代数扩域都是可离扩域。 特征在 里一定可约。因为令 ，就有 这样，若 的一个多项式在 中不可约，那么它不能在 中写成 的形式。于是根据引理1， 的每一不可约多项式都没有重根，因而F的代数扩域都是可离扩域。 现在反过来假定， 含有元 而 。看 的多项式 在 里一定可约。因为令 ，就有作 在 上的分裂域E。在E中 有 个根。另其中的一个为 ，那么 ，因而由假设，

3、不属于 。设 在 上的极小，多项式是 ，那么 。但在 中 所以在 中 并且由于 不属于 ，这里的 。这样 在 上的极小多项式 有重根，因而E就是 的一个不可离扩域。证完。满足引理2的条件的域是存在的。例如有限域。作 在 上的分裂域E。在E中 有 定理 2 有限域的任何代数扩域都是可离扩域。 证明 令有限域 的特征是 ，并且 含 个元： 考察 的元 由于当 时， 所以 是 个不同的元，因而是 的全部元素。因此 的每一元都是 的某个元的 次幂.证完。 不满足引理2的条件的域 当然有不可离扩域，但这样的域 仍然可以有非凡（即不属于 ）的可离元。定理 2 有限域的任何代数扩域都是可离扩域。 证明 例

4、考虑特征是3的素域的单超越扩域 。元 显然不是 的某一个元 次幂，因此 有不可离扩域。但 的多项式 显然 在里不可约并且没有重根。因此 有非平凡的可离元。 以下我们要证明，只要一个域 有非平凡的可离元， 就有真（即大于 的）可离扩域。按照可离扩域的定义，这一点并不是显然的。 例 考虑特征是3的素域的单超越扩域 引理 3 令 是一个特征为 的域。那么元 是 上的可离元的充分必要条件是： 证明 假定 是 上的一个可离元。这时， 一定是 上的一个可离元。 是 中多项式 的一个根。作这个多项式 在上的分裂E，那么在E里 因此 在 上的极小多项式可以在E里写成 但 是 上的可离元，所以 。这样 在 上的

5、极小多项式是 。这就是说， ，从而 引理 3 令 是一个特征为 的域。那么元 现在反过来假定， 不是 上的可离元。这时，由引理1， 在 上的极小多项式是 由于 在 里不可约，所以2在 里也不可约。但 是多少 的根，所以 在 上的极小多项式就是 。由于 和 的次数不同，所以 。证完。 现在反过来假定， 不是 上的可离元。这时， 引理 4 令E是域 的单扩域： ，而 是 上的一个看离元。若元 是E上的一个可离元，那么 也是 上的一个可离元。 证明 若 的特征是，引理。 假定 的特征是 。 因为 是 上的可离元，所以由引理3 令 在 上的极小多项式是 那么，因为 引理 4 令E是域 的单扩域： 是

6、的一个多项式。但 ，所以 在 上的极小多项式 整除 。因此有 但 是 上的一个可离元，因此也是 上的一个可离元所以必然有 。这就是说 亦即 于是，由于 我们有 这样，由引理3， 是 上的一个可离元。证完。是 的一个多项式。但 应用引理4，很容易得到 定理 3 若 与 是域 上的可离元，那么 是 的一个可离扩域。 证明 看 的一个任意元 。 是 上的一个看离元，而 是 上的一个看离元，因而也是 上的一个可离元，于是由因理4， 是 上的一个可离元。由于 是 上的一个可离元，再一次应用引理4，得 是 上的一个看离元。证完。应用引理4，很容易得到 定理 3 若 与 是域 推论 若 和 是域上的可离元，

7、那么 和 （当 时）也是 上的可离元。 根据以上定理，给了一个域 ，除非 只有平凡的可离元，也就是说，除非 上的每一个次数大于1的、不是 形状的多项式都可约， 就总有可离扩域。这样，对最常遇到的特征为的域来说，根本没有不可离扩域，而对特征为 的域来说，可离扩域出现的频率也要大的多。所以可离扩域是较重要的一种扩域。 推论 若 和 是域上的可离元，那么 现在我们证明重要的 定理 4 域 是一个有限可离扩域E是 的单扩域。 证明 若 是一个有限域，那么E也是一个有限域。这时，由于有限域是它所含素域2的单扩域，有 而定理成立。 现在假定 有无限多个元素。 E既是 的一个有限扩域，就有 要证明这样的一个

8、可离扩域是单扩域，显然只需证明： 的一个可离扩域 一定是 的单扩域。现在我们证明重要的 定理 4 域 是一个有限可 令 在 上的极小多项式是 ， 在 上的极小多项式是 。作多项式 在 上的分裂 。那么在 里 这里我们可以假定 。 我们看下列的一组方程：（1） 由于 是 上的可离元，所以 没有重根，而 令 在 上的极小多项式是 ，因此（1）中每一个方程 里最多有一个解。但 有无限多元，所以能在 中找出一个元 来使 利用这个 ，我们令 我们断言， 。令 那么 和 都属于 。我们看一看在 里这两个多项式的最大公因子是什么。先考虑，在 里它们的最大公因子是什么。在 里 因此（1）中每一个方程 里最多有一个解。但 有无因此 和 在 里的最大公因子只能是若干 的乘机。但由 的取法 因此 和 在 里的最大公因