导数的概念教案复习过程

1、导 数 的 概 念 教 案精品文档【教学课题 】：2.1 导数的概念 （第一课时）【教学目的 】： 能使同学深刻懂得在一点处导数的概念,能精确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何说明；能够从定义动身求某些 函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连 续的关系；【教学重点 】：在一点处导数的定义；【教学难点 】： 在一点处导数的几种等价定义及其应用；【教学方法 】：系统讲授,问题教学,多媒体的利用等；【教学过程 】：一）导数的思想的历史回忆 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践；导数的思想最初是 由法国数学家费马（ Fermat）为争论极值问题而引入的,但导数作为微

2、积分的最主要的概念,却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在争论力学与几何学的过程中建立起来的；二）两个来自物理学与几何学的问题的解决 问题 1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：s t 12 gt ,t0,T ,求：落体在0t 时刻（t00,T ）的瞬时2速度；收集于网络,如有侵权请联系治理员删除精品文档0tt问题解决：设 t 为0t 的邻近时刻,就落体在时间段t0, t （或 , t t0）上的平均速度为vs t s t00tt0如tt 时平均速度的极限存在,就极限lim t t 0s t ts tvt0为质点在时刻0

3、t 的瞬时速度；问题 2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线yfx上点Mx 0,y 0,求： M 点处切线的斜率；下面给出切线的一般定义；设曲线C 及曲线 C 上的一点 M ,如图,在 M外 C 上另外取一点 N ,作割线 MN ,当 N 沿着 C 趋近点 M 时,假如割线 MN 绕点 M 旋转而趋于极限位置MT ,直线 MT 就称为 曲线 C 在点 M 处的切线；问题解决：取在 C 上 M 邻近一点 N x y ,于是割线 PQ 的斜率为tan y y 0 f x f x 0 （为割线 MN 的倾角）x x 0 x x 0收集于网络,如有侵权请联系治理员删除精品文档当

4、xx0时,如上式极限存在,就极限0（为割线 MT 的倾角）ktanlim x x0f x f xxx 0为点 M 处的切线的斜率；上述两问题中,第一个是物理学的问题,后一个是几何学问题,分属不同的学科,但问题的解决都归结到求形如x lim x 0fxfx0）（1）xx 0的极限问题；事实上,在学习物理学时会发觉,在运算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中,尽管其背景各不相同,但最终都化归为争论形如（1）的极限问题；也正是这类问题的争论,促使“ 导数” 的概念的产生；三）导数的定义定义 设函数 y f x 在 x 的某邻域内有定义,如极限f x f x 0）x lim x 0 x x 0存在,

5、就称 函数 f 在点 x 处可导 ,并称该极限为 f 在点 x 处的导数 ,记作f x 0 ；即f x f x 0）f x 0 x lim x 0 x x 0（2）也可记作 y x x o,dydx x x o,df xdx x x o；如上述极限不存在,就称 f 在点 0 x 处不可导；f 在0 x 处可导的等价定义：x0,假如设xx0 x ,yfx0 xfx0,如xx 就等价于函数 f 在点x 处可导,可等价表达成为以下几种形式：收集于网络,如有侵权请联系治理员删除精品文档fx 0 x lim x 0f x f x0）fx0lim x0y（3）（4）（5）xx 0 xfx 0lim x 0

6、f x 0 xf x 0）xfx 0lim f x 0 0f x 0）四）利用导数定义求导数的几个例子1 1, 处的切线方例1求fxx2在点x1处的导数,并求曲线在点程；解由定义为f1lim x 0ylim x0f1x f1lim x01x 21xxxlim x 02xxx2lim x02x 2于是曲线在 1,1 处的切线斜率为2,所以切线方程为y12x1 ,即y2x1；例 2 设函数f x 为偶函数,f0存在,证明：f00；证Qf fxfxfx又f0lim x 0f0 xf0lim x 0fx xf0 xlim x 0fx f0lim x 0f0 x f0f0 xxf00留意：fx 0lim

7、 f x 00f x 0）这种形式的敏捷应用；此题的x ；收集于网络,如有侵权请联系治理员删除精品文档x sin 1 , x 0例 3 争论函数 f x x 在 x 0 处的连续性,可导性；0 , x 0解 第一争论 f x 在 x 0 处的连续性：lim x 0 f x lim x 0 x sin 1x 0 f 0即 f x 在 x 0 处连续；再争论 f x 在 x 0 处的可导性：lim x 0 f 0 xx f 0 lim x 0 x sinx 1x 0lim sin x 0 1x 此极限不存在即 f x 在 x 0 处不行导；问 怎样将此题的 f x 在 x 0 的表达式稍作修改,变

8、为 f x 在 x 0 处可导？x n 1sin 1 , x 0答 f x x n 1,2,3 L ,即可；0 , x 0四）可导与连续的关系由上题可知；在一点处连续不肯定可导；反之,如设fx 在点0 x 可导,就lim x 0yfx 0 x由极限与无穷小的关系得：所以当x0 ,有yyfx0 xo x ,0 ；即 f 在点x 连续；五）故在一点处连续与可导的关系是：连续不肯定可导,可导肯定连续；单侧导数的概念例 4 证明函数fx|x|在x0处不行导；fx f 0 lim x 0 x1证明Qlim x 0fx f0 lim x 0 x1,lim x 0 x0 xx0 xlim x 0f x xf

9、0极限不存在；0故fx|x|在x0 处不行导；在函数分段点处或区间端点等处,不得不考虑单侧导数：收集于网络,如有侵权请联系治理员删除精品文档定义 设函数yfx在点x 的某右邻域x0 x0上有定义,如右极限lim x 0ylim x 0f x 0 xf x 0）（0 x）xx存在,就称该极限为f 在点x 的右导数 ,记作fx0；左导数fx 0lim x 0y；x左、右导数统称为 单侧导数 ；导数与左、右导数的关系 ：如函数 y f x 在点 x 的某邻域内有定义,就f x 0 存在 f x 0 ,f 0 x 都存在,且 f x 0 = f x 0 ；1 cos x , x 0例 5 设 f x ,争论 f x 在 x 0 处的可导性；x , x 0解 由于 f x 0 x f x 0 1 cos xf 0 lim lim 0 x 0 x x 0 x f x 0 x f x 0 xf 0 lim lim 1x 0 x x 0 x 从而 f 0 f 0 ,故 f x 在 x 0 处不行导；六）小