概率方法在讨论其它数学问题中的一些应用

1、概率方法在讨论其它数学问题中的一些应用摘要20世纪以来，由机会游戏起源的概率论飞速发展，并广泛应用于各个工程技术学科和社会学科。概率论也发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。其内容丰富，结论深刻，趣味性浓厚，有自己独特的概念和方法，已成为数学的一个有特色的分支。本文利用概率论的方法和工具来解决初等代数和数学分析中的一些问题，如：组合恒等式、不等式的证明；级数、积分和极限中的应用。从中可以看到概率与其它数学的联系以及用概率思想解决数学问题的有趣与美妙之处。应用的基本思想是：根据所要解决的数学问题，首先构造一个适当的概率模型，让后利用概率论的性质、公式及定理解决问题。从而使问题的解决方法

2、与过程变得直观、简洁、清晰。关键词：概率方法；组合恒等式；不等式；级数；积分1引言1.1课题的背景和意义近年来，从事数学教学的工作者在其数学观上发生了或者正在发生着深刻的变化，“数学=逻辑”的狭隘观念得到了相当程度的纠正，发展纯粹数学，证明数学定理固然重要，但是应用数学手段解决实际问题显得更有意义和价值。可以想象21世纪，数学将广泛的应用到社会生活的每一个角落。在此大背景之下，探讨和掌握数学这门学科的思想和方法，以便将其应用，形成当前数学教育的热点。概率论是在寻求解决社会日常生活中的一类随机现象发生的概率问题过程中形成自身一整套严密的知识体系，在理论上研究探索随机现象发生的统计规律，同时应用自

3、身丰富的内容和严谨的理论来探讨解决实践中的问题，又在具体实践问题的探索中发现和建立新的概率模型，以此丰富概率论这门学科。近年来数学上的许多重大突破，绝大多数反应了数学的各分支学科之间的相互交叉和渗透，数学发展日益表现出内在的统一性。概率论以其研究对象随机现象的普遍性，从而在科学技术工农业生产和其它学科如物理、生物等各方面具有极其广泛的应用，但作为数学的一门有特色的分支学科，它本身又与数学的其它分支学科紧密联系。本文应用概率论的基本概念，性质和概率模型等有关思想方法证明一些数学问题，从中感悟数学的统一性，同时在思维和意识上取得一种进步。1.2关于用概率方法解决数学问题的模式简介为了要用概率方法计

4、算某些量，先要构造出概率模型（如随机变量，随机向量等），使该模型中的若干数字特征（如事件的概率、数学期望、数学方差等），恰好等于所要计算的量，而这些数字特征又可以通过实验，统计方法求出它们的估值，于是就可以把这些估值作为所求量的近似值，从而得出对所求量的近似值或范围估计。在等式与不等式、极限、级数的证明与计算中，通过构造概率模型，使模型的概率性质与所要证明或求解的式子相同或类似，再利用概率的性质来证明题设的成立。以下本文就应用概率方法对一些数学问题进行证明求解，使大家能比较明确的看到概率方法使用的必要及优点。2概率的发展2.1概率的历史17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊

5、的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生长点，而后都发展成完整的数学分支。除了分析学这一大系统之外，概率论就是这一时期使欧几里得几何相形见绌的若干重大成就之一。2.2概率论的起源概率论是一门研究随机现象的数量规律学科。它起源于对赌博问题的研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。概率概念的要旨只是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论合理分配赌注问题。该问题可以

6、简化为：甲、乙两人同掷一枚硬币。规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。帕斯卡：若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下；乙胜，甲、乙平分赌注 甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：情况：结果 ：甲甲甲乙乙甲乙乙前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。帕斯卡与费马用各自不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确定义概念，但是，他们定

7、义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。2.3概率论在实践中曲折发展在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论的发展，从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率

8、论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。2.4概率论理论基础的建立概率论的第一本专著是1713年问世的雅各贝努利的推测术。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该树种，表述并证明了著名的大数定律。所谓大数定律，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称

9、为概率论的奠基人。为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的概率论的基本概念，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。3概率方法在讨论其它数学问题中的一些应用3.1概率方法在不等式证明中的应用不等式的证明是一个难点，它的形式多种多样，如果能针对不等式的具体形式，构造相应的概率模型，然后利用概率的方法去解决，能使问题简单些。例1 设,试证证明设A，B，C，D是相互独立的事件，其概率依次为a，b，c，d，由事件之间的关系知：()()=由概率的单调性有pP注意到A,B,C,D的独立性有P（）P()(1)又由概率

10、的加法公式有P（）=+=(2)同理有（3）（4）把（2）（3）（4）代入（1）式得得证例2利用事件的独立性及加法公式证明不等式设d 为正数a，b，c中最大的求证证明设A,B,C是三个相互独立的事件，令显然，根据概率加法公式及事件的独立性;=又因为所以0）解 为求此级数的和，我们构造如下概率模型：设随机试验E只有两个基本事件A和，现重复做n次试验，在第k次试验中A出现的概率为，出现的概率为，（k=1,2,3n）设表示“事件A在第i次试验中出现”（i=1,2,3n）则有+=（1）即（2）故可根据，取不同值，来求级数的和。（i=1,2n，）则由（1）（2）可得：=即从而=3.4概率方法在积分中的应用

11、除了用一些常用的积分公式和分离变量法对积分求解，还可以用概率方法。积分的求解在一个区间或区域中进行，首先要考虑分布已知的连续型随机变量，随机变量的取值应该与积分的区间或区域相对应，然后构造连续型随机变量，最后根据连续型随机变量概率密度的规范性及其它性质、定理求解即得。例1 求解解 设连续型随机变量，其概率密度为，利用概率密度的规范性，有所以=例2求的值解由概率论知识可知（标准正态分布）在上式中可令则所以固有即也即从而由对称性得4总结从本文我们可以看到概率方法广泛地应用于各种数学等式、不等式、极限、级数的计算与证明，这只是概率方法应用的一个侧面，其实概率方法还有很多应用，还可以用来解决别的学科的

12、问题，而且在某些情况下，用概率方法来解决问题要比用代数方法更巧妙，更简捷。但是用概率方法解决问题时，必须建立适当的概率模型，将数学问题转化为概率问题，然后应用概率的性质定理加以解决。利用概率方法解决某些数学问题，过程简明了，也体现了数学分支之间的联系，同时使抽象的数学问题在现实生活中找到具体的模型。单纯地照搬模型比较容易，难的是在实际问题中简化条件提炼出恰当的随即模型，把具体问题和概率论的思想方法巧妙地结合起来，我们称之为概率思维。学习概率论的一个目的就是要锻炼概率思维。通过总结，对概率方法在解决数学问题中的应用可归结为以下几个步骤：（1）对于所要解决的数学问题，进行仔细观察和分析；（2）构造

13、适当的概率模型；（3）利用构造的概率模型解决问。参考文献1 熊桂武，概率方法在不等式证明中的应用J，重庆师范学院学报（自然科学版），2003，20，（04）2 贾兆丽，概率方法在数学证明中的应用J，安徽工业大学学报，2002，（01）3 胡学平，概率方法在分析中的若干应用J，高等数学研究，2007，10（01）4 李智明，概率方法在其它数学问题中的应用J，新疆大学学报，（自然科学版），2007，26（04）5 魏宗舒，概率论与数理统计教程M,高等教育出版社1983（01）,1176 张光远，概率方法在证明不等式中的应用J，新疆大学学报（自然科学版）1995，（04）7 张爱武，数学分析中一些问

14、题的概率方法J，辽宁师范大学学报1997，（04）8 陆晓恒，概率方法在证明数学问题中的应用M，高等数学研究，2003，（03）43449 徐向红，求无穷级数和以及多重积分极限的概率方法M，2002，（01）10朱明星，概率方法在其它数学问题中的一些应用J，新疆大学学报，2007,26（04）谢词本学位论文是在我的导师张艳邦老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我。从课题的选择到项目的最终完成，张老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持。在此，我还要感谢张芬老师在我完成论文的这段时间里给予我专业知识方面的指导和资料择方面的帮助！，在这里，还要感谢大学四年学习期间给我诸多教诲和帮助的数学与应用数学专业的各位老师。在此，我还要特别感