2010年中考数学真题分类汇编（150套）专题四十七开放探究型问题

1、一、填空题1（2010江苏盐城）写出图象经过点(1，1)的一个函数关系式 【答案】y=-x或y=- eq f(1,x) 或y=x2-2x，答案不唯一二、解答题1（2010安徽蚌埠二中）已知过点（3，4）,点与点关于轴对称，过作的切线交轴于点。 求的值； 如图，设与轴正半轴交点为，点、是线段上的动点（与点不重合），连接并延长、交于点、，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化，请说明理由。yHyHADOOCPFyGDExB【答案】 （2）试探索的大小怎样变化，请说明理由.解：当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变过点作于，并延长交于，连接，交于。因为为等腰三角形， ，所以平

2、分所以弧BN=弧CN，所以， 所以 所以=即当、两点在上运动时（与点不重合），的值不变。2（2010安徽蚌埠）如图1、2是两个相似比为：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。 在图3中，绕点旋转小直角三角形，使两直角边分别与交于点，如图4。求证：； 若在图3中，绕点旋转小直角三角形，使它的斜边和延长线分别与交于点，如图5，此时结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。DADACB图3BAC图2DD图1DDBFE图5CDDBACFFEEAA图4图4 如图，在正方形中，分别是边上的点，满足的周长等于正方形的周长的一半，分别与对角

3、线交于，试问线段、能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由。NNFMEBDAC【答案】 在图4中，由于，将绕点旋转，得， 、。连接 在中有 又垂直平分 代换得 在图5中，由，将绕点旋转，得 连接 在中有 又可证，得V代换得 (3)将绕点瞬时针旋转，得，且 NFMEBDNFMEBDACG 化简得从而可得， 推出 此时该问题就转化为图5中的问题了。由前面的结论知：，再由勾股定理的逆定理知：线段、可构成直角三角形。 3（2010安徽省中中考）如图，已知ABC，相似比为（），且ABC的三边长分别为、（），的三边长分别为、。若，求证：；若，试给出符合条件的一对ABC

4、和，使得、和、进都是正整数，并加以说明；若，是否存在ABC和使得？请说明理由。【答案】4（2010江苏盐城）（本题满分12分）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由AAxyOB【答案】函数的解析式为：y=x+1 或y= eq f(1,4) x2+x+1

5、（3分） （2） eq a(y=ax2+x+1) 是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y= eq f(1,4) x2+x+1，则顶点为B（-2，0），图象与y轴的交点坐标为A（0，1）（4分）以PB为直径的圆与直线AB相切于点B PBAB 则PBC=BAO RtPCBRtBOA ，故PC=2BC，（5分）设P点的坐标为(x，y)，ABO是锐角，PBA是直角，PBO是钝角，x-2BC=-2-x，PC=-4-2x，即y=-4-2x， P点的坐标为(x，-4-2x)点P在二次函数y= eq f(1,4) x2+x+1的图象上，-4-2x= eq f(1,4) x2+x+1（6分）解之得：x1=-2

6、，x2=-10 x0)，则，解得，(舍去)点B的横坐标是当，时，得以下分两种情况讨论情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，OyOyxCBA(甲)11-1-1由此，可求得点C的坐标为(，)，点A的坐标为(，)，A，B两点关于原点对称，点B的坐标为(，)将点A的横坐标代入()式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；将点B的横坐标代入()式右边，计算得，即等于点B的纵坐标在这种情况下，A，B两点都在抛物线上情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，OyOyxCBA(乙)11-1-1点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)经计算，A，B两点都不在这条抛物线上(情况2另解：经

7、判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)存在m的值是1或-1(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1m1当m=1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上因此当m=1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)16（2010江苏泰州）如图，二次函数的图象经过点D，与x轴交于A、B两点求的值；如图，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，

8、使AQPABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由（图供选用）【答案】 抛物线经过点D()c=6.过点D、B点分别作AC的垂线，垂足分别为E、F，设AC与BD交点为M，AC 将四边形ABCD的面积二等分，即：SABC=SADC DE=BF 又DME=BMF， DEM=BFEDEMBFMDM=BM 即AC平分BD c=6. 抛物线为A（）、B（）M是BD的中点 M（）设AC的解析式为y=kx+b，经过A、M点解得直线AC的解析式为.存在设抛物线顶点为N(0，6)，在RtAQN中，易得AN=，于是以A点为圆心，AB=为半径作圆与抛物线在x上方一定有交点Q，连接AQ，再作QAB平分

9、线AP交抛物线于P，连接BP、PQ，此时由“边角边”易得AQPABP17（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA5若抛物线yeq f(1,6)x2bxc过O、A两点（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线y2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；(第22题图1) (第22题图2)（3）如图2，在（2）的条件下，O1是以BC为直径的圆过原点O作O1的切线OP，P为切点(点P与点C不重合)抛物线上是否存在点Q，使得以(第22题图1) (第22题图2)【答案】解：（1）把O（0，0）、A（5，0)分别代入yeq f(

10、1,6)x2bxc，得解得 该抛物线的解析式为yeq f(1,6)x2eq f(5,6)x（2）点C在该抛物线上 理由：过点C作CDx轴于点D，连结OC，设AC交OB于点E 点B在直线y2x上， B(5，10) 点A、C关于直线y2x对称， OBAC，CEAE，BCOC，OCOA5，BCBA10 又 ABx轴，由勾股定理得OB5eq r(,5) SRtOABeq f(1,2)AEOBeq f(1,2)OAAB， AE2eq r(,5)， AC4eq r(,5) OBA十CAB90，CADCAB90， CADOBA 又 CDAOAB90， CDAOAB eq f(CD,OA)eq f(AD,AB

11、)eq f(AC,OB) CD4，AD8 C（3，4） 当x3时，yeq f(1,6)9eq f(5,6)(3)4 点C在抛物线yeq f(1,6)x2eq f(5,6)x上（3）抛物线上存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切 过点P作PFx轴于点F，连结O1P，过点O1作O1Hx轴于点H CDO1HBA C(3，4)，B(5，10)， O1是BC的中点 由平行线分线段成比例定理得AHDHeq f(1,2)AD4， OHOAAH1同理可得O1H7 点O1的坐标为(1，7) BCOC， OC为O1的切线 又OP为O1的切线， OCOPO1CO1P5 四边形OPO1C为正方形 COP900 PO

12、FOCD第22题图 又PFDODC90， POFOC第22题图 OFCD，PFOD P(4，3)设直线O1P的解析式为ykx+B(k0)把O1(1，7)、P(4，3)分别代人ykx+B，得 解得 直线O1P的解析式为yeq f(4,3)xeq f(25,3)若以PQ为直径的圆与O1相切，则点Q为直线O1P与抛物线的交点，可设点Q的坐标为(m，n)，则有neq f(4,3)meq f(25,3)，neq f(1,6)m2eq f(5,6)M eq f(4,3)meq f(25,3)eq f(1,6)m2eq f(5,6)M整理得m23m500，解得meq f(3eq r(,209),2) 点Q的

13、横坐标为eq f(3eq r(,209),2)或eq f(3eq r(,209),2)18（2010江苏无锡）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边AB上截取AE=MC，连ME正方形ABCD中，B=BCD=90，AB=BCNMC=180AMNAMB=180BAMB=MAB=MAE（下面请你完成余下的证明过程）图1图2图1图2（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是AC

14、P的平分线上一点，则当AMN=60时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN=时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）【答案】解：（1）AE=MC，BE=BM， BEM=EMB=45， AEM=135， CN平分DCP，PCN=45，AEM=MCN=135在AEM和MCN中：AEMMCN，AM=MN（2）仍然成立在边AB上截取AE=MC，连接MEABC是等边三角形，AB=BC，B=ACB=60，ACP=120AE=MC，BE=BMBEM=EMB=60AEM=120CN平分ACP，PCN=60，AE

15、M=MCN=120CMN=180AMNAMB=180BAMB=BAMAEMMCN，AM=MN（3）19（2010 黄冈）（6分）如图，一个含45的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EFAE交DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。 第18题图【答案】提示：由HFCE，AHCE，HAEFCE可证HAECEF，从而得到AEEF.20（2010山东临沂）如图1，已知矩形，点是边的中点，且.(1)判断的形状，并说明理由；(2)保持图1中的固定不变，绕点旋转所在的直线到图2中的位置（当垂线段、在直线的同侧）.试探究线段、长度之间有什么关系？并给予证

16、明；（第25题图）（3）保持图2 中的固定不变，继续绕点旋转所在的直线到图3中的位置（当垂线段、在直线的异侧）.试探究线段、长度之间有什么关系？并给予证明.（第25题图）【答案】解：（1）ABC是等腰直角三角形。如图（1）在矩形ABED中，因为点C是边DE的中点，且AB=2AD,所以AD=DC=CE=EB,D=E=90.RtADCRtBEC.AC=BC, 1=2=45.ACB=90.ABC是等腰直角三角形。（2）DE=AD+BE.如图（2），在RtADC和RtBEC中，1=CAD=90, 1+2=90.CAD=2.又AC=BC, ADC=CEB=90,RtADCRtCEB.DC=BE,CE=A

17、D.DC+CE= BE+AD,即DE=AD+BE.（3）DE=BE-AD.如图（3），在RtADC和RtCEB中，1+CAD=90, 1+2=90，CAD=2.又ADC=CBE=90,AC=CB, RtADCRtCBE.DC=BE,CE=AD.DC-CE=BE-AD, 即DE=BE-AD. 21（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由； 当AMBMCM的最小值为时，

18、求正方形的边长.EA DEA DB CNM【答案】解：ABE是等边三角形，BABE，ABE60.MBN60，MBNABNABEABN.即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）. 5分当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小. FEA DFEA DB CNMAMBMCM的值最小. 理由如下：连接MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN是等边三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM. 根据“两点之间线段最短”，得ENMNCMEC最短当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长.过E点作EFBC交CB的延长线于F，EBF906030.设正方

19、形的边长为x，则BFx，EF.在RtEFC中，EF2FC2EC2，（）2（xx）2. 解得，x（舍去负值）.正方形的边长为.22（2010湖北随州）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PMPN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.【答案】（1）a1，b2，c0（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MPMFPF

20、1，故MPF为正三角形.（3）不存在.因为当t，x1时，PM与PN不可能相等，同理，当t，x1时，PM与PN不可能相等.23（2010 内蒙古包头）已知二次函数（）的图象经过点，直线（）与轴交于点（1）求二次函数的解析式；（2）在直线（）上有一点（点在第四象限），使得为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似，求点坐标（用含的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出的值及四边形的面积；若不存在，请说明理由yyxO【答案】yxOyxOBADC(x=m)(F2)F1E1 (E2)解得（2分）（2）当时，得或，当时，得，点在第四象限，（4分）当

21、时，得，点在第四象限，（6分）（3）假设抛物线上存在一点，使得四边形为平行四边形，则，点的横坐标为，当点的坐标为时，点的坐标为，点在抛物线的图象上， 全品中考网，（舍去），（9分）当点的坐标为时，点的坐标为，点在抛物线的图象上，（舍去），（12分）24（2010 湖南湘潭）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直径作C，抛物线过A、C、O三点求点C的坐标和抛物线的解析式；过点B作直线与x轴交于点D，且OB2=OAOD，求证：DB是C的切线；抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由26题图26题图【答案】

22、解：（1）A（6，0），B（0，6） 1分连结OC,由于AOB=90o，C为AB的中点，则，所以点O在C上（没有说明不扣分）过C点作CEOA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3又点C在直线y=-x+6上，故C（3，3） 2分抛物线过点O，所以c=0,又抛物线过点A、C，所以，解得： 所以抛物线解析式为 3分（2）OA=OB=6代入OB2=OAOD，得OD=6 4分 所以OD=OB=OA，DBA=90o 5分 又点B在圆上，故DB为C的切线 6分（通过证相似三角形得出亦可）（3）假设存在点P满足题意因C为AB中点,O在圆上,故OCA=90o,要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形

23、，则 CAP=90o或 COP=90o, 7分若CAP=90o,则OCAP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b又AP过点A（6，0），则b=-6, 8分方程y=x-6与联立解得：， 故点P1坐标为（-3，-9） 9分 若COP=90o,则OPAC，同理可求得点P2（9，-9） (用抛物线的对称性求出亦可) 故存在点P1坐标为（-3，-9）和P2（9，-9）满足题意10分25（2010 甘肃）(12分) 如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗

24、？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）设该抛物线的解析式为，由抛物线与y轴交于点C（0，3）,可知. 即抛物线的解析式为 1分把A（1，0）、B（3，0）代入, 得 解得. 抛物线的解析式为y = x22x3 3分 顶点D的坐标为. 4分说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y = x22x3”不扣分.（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. 5分理由如下：过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.在RtBOC中，OB=3，OC=3， .

25、6分在RtCDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1， . 7分在RtBDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2， . 8分 ， 故BCD为直角三角形. 9分（3）连接AC，可知RtCOA RtBCD，得符合条件的点为O（0，0） 10分过A作AP1AC交y轴正半轴于P1，可知RtCAP1 RtCOA RtBCD，求得符合条件的点为 11分过C作CP2AC交x轴正半轴于P2，可知RtP2CA RtCOA RtBCD，求得符合条件的点为P2（9，0） 12分符合条件的点有三个：O（0，0），P2（9，0）.26（2010福建南平）如图1，在ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接

26、CP，以PA、PC为邻边作APCD，AC与PD相交于点E，已知ABC=AEP=（090）.（1）求证：EAP=EPA；（2）APCD是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到MEN（点M、N分别是MEN的两边与BA、FP延长线的交点）.猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.图1A图1ABDCEP图2ABDCEPMNF【答案】(1)证明：在ABC和AEP中ABC=AEP，BAC=EAP ACB=APE在ABC中，AB=BCACB=BAC EPA=EAP答： APCD是矩形四边形APCD是平行四边形 AC=2EA, PD=2E

27、P 由（1）知 EPA=EAP EA=EP则 AC=PDAPCD是矩形答： EM=EN EA=EP EPA=90 eq f(1,2)EAM=180-EPA=180-(90- eq f(1,2)=90+ eq f(1,2)由（2）知CPB=90,F是BC的中点， FP=FBFPB=ABC= EPN=EPA+APN=EPA+FPB=90- eq f(1,2)+=90+ eq f(1,2) EAM=EPN AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到MEN AEP=MEN AEP- AEN=MEN-AEN 即 MEA=NEP EAMEPN EM=EN27（2010 甘肃）(12分) 如图，抛物线与x轴交于

28、A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）设该抛物线的解析式为，由抛物线与y轴交于点C（0，3）,可知. 即抛物线的解析式为 1分把A（1，0）、B（3，0）代入, 得 解得. 抛物线的解析式为y = x22x3 3分 顶点D的坐标为. 4分说明：只要学生求对，不写“抛物线的解析式为y = x22

29、x3”不扣分.（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. 5分理由如下：过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.在RtBOC中，OB=3，OC=3， . 6分在RtCDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1， . 7分在RtBDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2， . 8分 ， 故BCD为直角三角形. 9分（3）连接AC，可知RtCOA RtBCD，得符合条件的点为O（0，0） 10分过A作AP1AC交y轴正半轴于P1，可知RtCAP1 RtCOA RtBCD，求得符合条件的点为 11分过C作CP2AC交x轴正半轴于P2，可知RtP2CA RtCOA RtBCD，求得符

30、合条件的点为P2（9，0） 12分符合条件的点有三个：O（0，0），P2（9，0）.28（2010 福建莆田） 如图1，在中，ACB= ,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，垂足为M，垂足为N。 当AD=CD时，求证：DEAC；探究：AD为何值时，BME与CNE相似？探究：AD为何值时，四边形MEND与BDE的面积相等？【答案】29（2010天门、潜江、仙桃）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DBDC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M.点P为线段FG上一个动点(与

31、F、G不重合)，PQy轴与抛物线交于点Q. (1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式； (2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：能否成为菱形；能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.【答案】（1）设函数解析式为y=a(x+2)(x-4)，则a2(-4)=4，解得a=-所以经过B、E、C三点的抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-4)=-x2+x+4.(2) y=-x2+x+4=-（x-1）2+.易知直线AD解析式为y=x+2

32、，所以M（1，3），过点M作MRPQ于点R，因为AOD是等腰直角三角形，结合题意可知MPQ是等腰直角三角形，设MN=m，则PQ=2m，所以P(1-m，3-m)，Q(1-m，3+m)，所以-（1-m-1）2+=3+m，解得m1=1，m2=-3（不合题意，舍去）此时P(0，2)30（2010年福建省泉州）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你 可以利用这一结论解决问题.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点、.（1）直接判断并填写：不论取何值，四边形的形状一定是 ;

33、（2）当点为时，四边形是矩形，试求、和有值；观察猜想：对中的值，能使四边形为矩形的点共有几个？(不必说理)（3）试探究：四边形能不能是菱形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.【答案】解：（1）平行四边形（3分）（2）点在的图象上，（4分）过作，则在中，=30（5分）又点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，点B、D关于原点O成中心对称 （6分）OB=OD=四边形为矩形，且（7分）； （8分）能使四边形为矩形的点B共有2个；（9分）（3）四边形不能是菱形.（10分）法一：点、的坐标分别为、四边形的对角线在轴上.又点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.对角线与不可能垂直.四边形不能是菱形法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线ACBD，且AC与BD互相平分，因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上. （