北师大版八年级下册数学(直角三角形-知识点整理及重点题型梳理)（提高）

1、北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习直角三角形-知识讲解（提高）【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用.【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（

2、2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：， .（4）勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41 如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.（是自然数）是直角三角形的三条边长；（是自然数）是直角三角形的三条边长； （是自然数）是直角三角形的三条边长.要

3、点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形首先确定最大边（如）.验证与是否具有相等关系.若，则ABC是C90的直角

4、三角形；若，则ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.要点六、直角三角

5、形全等的判定（HL）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类

6、型一、勾股定理1、（2016春卢龙县期末）已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为_ cm时，这三条线段能组成一个直角三角形【思路点拨】本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形【答案】5或【解析】解：当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长=5，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长=，三角形的边长分别为3，亦能构成三角形；综合以上两种情况，第三边的长应为5或，故答案为5或【总结升华】本题考查了勾股定理的逆

7、定理，解题时注意三角形形成的条件：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去2、（2015春黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE从而设BE即可表示AE在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解【答案与解析】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=ABBE=10 x，ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10 x）2+16x=（cm）答：DE的长为cm.【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠

8、的对应线段相等类型二、勾股定理的逆定理3、如图所示，四边形ABCD中，ABAD，AB2，AD，CD3，BC5，求ADC的度数【答案与解析】解： ABAD， A90，在RtABD中， BD4， ，可知ADB30，在BDC中， ， BDC90， ADCADB+BDC30+90120【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理 举一反三：【变式1】ABC三边满足，则ABC是（ ）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形【答案】D；提示：由题意，因为，所以ABC为直角

9、三角形.【变式2】（2015春厦门校级期末）在四边形ABCD中，AB=AD=2，A=60，BC=2，CD=4求ADC的度数【答案】解：连接BD，AB=AD=2，A=60，ABD是等边三角形，BD=2，ADB=60，BC=2，CD=4，则BD2+CD2=22+42=20，BC2=（2）2=20，BD2+CD2=BC2，BDC=90，ADC=150类型三、勾股定理、逆定理的实际应用4、如图所示，在一棵树的10高的B处有两只猴子，一只爬下树走到离树20处的池塘A处，另外一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？【思路点拨】其中一只猴子从BCA共走了

10、(10+20)=30，另一只猴子从BDA也共走了30，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决【答案与解析】解：设树高CD为，则BD10，AD30(10)40，在RtACD中，解得：15答：这棵树高15【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC和DA，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解举一反三：【变式】如图，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(取3)【答案】解：如图所示，由题意可得： ， 在RtAAB中，根据勾股定理得： 则AB15 所以需要爬行的最短路程是

11、155、（2015春武昌区期中）某港口位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里它们离开港口1小时后相距20海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案与解析】解：1小时“远航”号的航行距离：OB=161=16海里；1小时“海天”号的航行距离：OA=121=12海里，因为AB=20海里，所以AB2=OB2+OA2，即202=162+122，所以OAB是直角三角形，又因为1=45，所以2=45，故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行【总结升华】本题考查了勾股定理

12、的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断类型四、原命题与逆命题6、下列命题中，逆命题错误的是（）A平行四边形的对角线互相平分 B有两对邻角互补的四边形是平行四边形 C平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等 D两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】C；【解析】解：A的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形由平行四边形的判定可知这是真命题；B的逆命题是：平行四边形的两对邻角互补，由平行四边形的性质可知这是真命题；C的逆命题是：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是

13、等腰梯形，故是错误的；D的逆命题是：平行四边形的两组对边分别相等地，由平行四边形的性质可知这是真命题；故选C【总结升华】分别写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可此题主要考查学生对逆命题的定义的理解，要求学生对基础知识牢固掌握举一反三：【变式】下列命题中，逆命题是真命题的是（）A对顶角相等 B如果两个实数相等，那么它们的平方数相等 C等腰三角形两底角相等 D两个全等三角形的对应角相等 【答案】C；解：A的逆命题是：相等的角是对顶角是假命题，故本选项错误，B的逆命题是：如果两实数的平方相等，那么两实数相等是假命题，故本选项错误，C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故本选项正确，

14、D的逆命题是：对角线相等的两个三角形是全都三角形是假命题，故本选项错误，故选C类型五、直角三角形全等的判定“HL”7、已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分DAE，AEBE，垂足为E求证：AD=AE【思路点拨】证明线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证ADBAEB即可【答案与解析】证明：AB=AC，点D是BC的中点，ADB=90，AEEB，E=ADB=90，AB平分DAE，EAB=DAB； 在ADB与AEB中，ADBAEB（AAS），AD=AE【总结升华】此题考查线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件8、如图，已知在ABC中，AB=AC，BAC=90，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F（1）如图过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长【答案与解析】（1）证明：BEEA，CFAF，BAC=BEA=CFE=90，EAB+CAF=90，EBA+EAB=90，CAF=EBA，在ABE和CAF中，BEA=AFC=90，EBA=CAF，AB=AC，ABECAFEA=FC，BE=AFEF=EA+AF（2）解：BEEA，CFAF，BAC=