（本科）数学建模案例与方法第7章教学课件

1、正版可修改PPT课件（本科）数学建模案例与方法第7章教学课件数学建模案例与方法综合评价方法第 7 章目录CONTENTS交通管理中的黄灯问题7.1加权综合评价法7.2层次分析法7.3模糊综合评价法7.4灰色关联分析法7.5综合评价方法评价是人们采用一定的标准对客观现象的价值或优劣进行评判的一种认知过程，统计评价则强调对总体及其组成部分的数量方面进行判断，属于定量评价。随着统计分析活动的广泛开展，评价对象越来越复杂，简单评价方法的局限性也越来越明显。综合评价，通常是指多指标综合评价技术，它是利用一定的统计指标体系，采用特定的评价模型和方法，对被评价对象多个方面的数量特征进行高度的抽象和综合，转化

2、为综合评价值，进而确定现象的优劣、类型或对现象进行排序的一种统计方法，所以，综合评价方法就是综合考察多个有关因素，依据多个有关指标进行总评价的方法。7.1 综合评价方法概述 评价指标的筛选 7.1.1指标的选择是综合评价的基础。指标选择的好坏对分析对象有着举足轻重的作用。指标太多，事实上是重复性的指标；指标太少，可能会缺乏足够的代表性，会产生片面性。7.1 综合评价方法概述建立指标体系应遵循的原则1.指标体系的建立要视具体问题而定，但一般应遵循以下几项原则：（1）指标宜少不宜多，宜简不宜繁。（2）指标要具有独立性。（3）指标应具有代表性。（4）指标应可行，符合客观实际水平，有稳定的数据来源，易

3、于操作，具有可测性。7.1 综合评价方法概述指标体系的确定方法2.指标体系的确定具有很大的主观随意性，虽然指标体系的确定方法有经验确定法和数学方法两种，但是多数研究中均采用经验确定法。虽然用于确定指标体系的数学方法可以降低选取指标体系的主观随意性，但由于所采用的样本集合不同，因而也不能保证指标体系的唯一性。7.1 综合评价方法概述指标筛选的方法3.在实际工作中，往往综合使用多种方法进行指标筛选，在获得较为满意的专业解释的基础上，优先考虑那些被多种方法同时选入的指标。（1）系统分析法：专家对不同类别的指标进行评价，从中挑选主要的指标作为评价指标。（2）文献资料分析优选法：全面查阅有关文献资料，分

4、析各指标的优缺点并加以取舍。此外，还可用假设检验的方法、多元回归的方法和指标聚类法等方法进行指标筛选。7.1 综合评价方法概述确定评价的目标和目的1.对不同的研究目的和不同的评价对象，所选择的方法和指标应该是不同的。 综合评价的一般步骤 7.1.27.1 综合评价方法概述根据目的建立一套科学的评价指标体系2.根据目的建立一套科学的评价指标体系是综合评价中最基本、最重要的内容，目前较多的是采用目标分解的方法构建不同层次的评价指标。7.1 综合评价方法概述评价方法及其模型的选择3.评价方法及其模型的选择包括权数构造、标准值和评价规则的确定，这是综合评价研究中最复杂、内容最为丰富的部分。目前，常用的

5、方法有层次分析法（analytic hierarchy process，AHP）、判别分析法、多元统计综合评价技术法（包括主成分分析法、因子分析法和聚类分析法等）。此外，像人工神经网络综合评价法、模糊综合评判法和灰色系统理论等新兴综合评价技术还在源源不断地涌现。7.1 综合评价方法概述获取数据，处理数据，统计检验，实施评价4.综合评价过程不是逐个指标顺次完成的，而是通过一些特殊方法将多个指标的评价同时完成的；在综合评价过程中，一般要根据指标的重要性进行加权处理；评价结果不再是具有具体含义的统计指标，而是以指数或分值表示参评单位综合状况的排序。7.2 加权综合评价法加权综合评价法是指在确定一套合

6、理的指标体系的基础上，对各项指标进行加权平均，计算出综合值，用以综合评价的一种方法。加权综合评价法包括线性加权综合评价和非线性加权综合评价两种方式。7.2 加权综合评价法线性加权综合评价1.线性加权综合评价是指通过线性模型来进行综合评价。式中，y为被评价对象的综合评价值；i为与评价指标xi相应的权重系数； =1，且 0i1(i=1,2，,n)。7.2 加权综合评价法非线性加权综合评价2.非线性加权综合评价又称为乘法加权法，是指通过非线性模型来进行综合评价。式中，i为权重系数，0i1(i=1,2,n)。各项指标的权数要根据其重要程度来决定，它体现了各项指标在综合值中的作用大小，是对重要程度的一种

7、主观度的反映。一般而言，指标间权重差异主要是由以下三个方面的原因造成的：7.2 加权综合评价法（1）评价者对各指标的重视程度不同，反映了评价者的主观差异。（2）各指标在评价中所起的作用不同，反映了各指标间的客观差异。（3）各指标的可靠性程度不同，反映了各指标所提供的信息的可靠性不同。7.3 层次分析法层次分析法是对一些较为复杂、较为模糊的问题做出决策的简易方法，它特别适用于那些不能进行完全定量分析的问题。层次分析法是美国运筹学家萨蒂（Saaty） 于20世纪70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。7.3 层次分析法 层次分析法的建模步骤 7.3.1人们在进行社会、经济及科学管

8、理领域问题的系统分析过程中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：7.3 层次分析法建立层次结构模型1.应用AHP分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次的有关元素起支配作用。这些层次可以分为以下三类：（1）目标层。目标层中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果。（2）准则层。

9、准则层中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则和子准则。 7.3 层次分析法（3）方案层。方案层包括了为实现目标可供选择的各种措施和决策方案等，因此也称为措施层。 层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般来说，层次数不受限制，每一层次中各元素所支配的元素不要超过9个，这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。下面结合一个实例来说明层次结构模型的建立方法。7.3 层次分析法【例7-1】7.3 层次分析法图7-1 层次结构模型7.3 层次分析法构造判断矩阵2.层次结构模型反映了各因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的

10、比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。为看清这一点，可做如下假设：将一块重为 1 kg的石头砸成n小块，你可以精确地称出它们的重量（设为w1，w2，wn），但若要估计n小块石头的重量占总重量的比例，则很难给出精确的比值，甚至可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。7.3 层次分析法设现在要比较n个因子X=x1，x2，xn 对某因素Z的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？Saaty等人建议可以采用对因子进行两两比较建立成对比较判断矩阵的办法，即每次取两个因子xi和xj，以aij表示xi和x

11、j对Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵 A=(aij)nn表示，称A为Z-X之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若xi和xj对Z的影响之比为aij，则xj与xi对Z的影响之比应为aji=1/aij。7.3 层次分析法7.3 层次分析法从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，这样既会增加判断的难度，又会因此而提供虚假数据。Saaty等人还用实验方法比较了各种标度下判断结果的正确性，实验结果也表明，采用19标度最为合适。7.3 层次分析法层次单排序及一致性检验3.判断矩阵A对应于最大特征值max的特征向量W，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权

12、值，这一过程称为层次单排序。上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其他因素的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别；但综合全部比较结果，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足aijajk=aik （i,j,k=1,2,，n）（7-1）7.3 层次分析法定义2 满足关系式（7-1）的正互反矩阵称为一致矩阵。需要检验构造出来的正互反矩阵A是否严重地非一致，以便确定是否接受A。定理1 正互反矩阵A的最大特征根max必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。A的其余特征值的模均严格小于max。7.3 层次分析法定理2 若A为一致矩阵，则（i）A必

13、为正互反矩阵。（ii）A的转置矩阵AT也是一致矩阵。（iii）A的任意两行成比例，比例因子大于零，从而rank(A)=1（同样，A的任意两列也成比例）。（iv）A的最大特征值max=n，其中，n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为零。（v）若A的最大特征值max对应的特征向量W=(w1,wn)T，则aij=1,2,n,即7.3 层次分析法（v）若A的最大特征值max对应的特征向量W=(w1,wn)T，则aij=1,2,n,即7.3 层次分析法定理3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根max=n，且当正互反矩阵A非一致时，必有maxn。根据定理3，可以由max是否等于n来检验判断矩阵A是

14、否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于aij，故max比n大得越多，A的非一致性程度也就越严重，max对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X=x1,xn在对因素Z的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要做一次一致性检验，以决定是否能接受它。7.3 层次分析法对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：（1）计算一致性指标（consistency index，CI）。 （7-3）（2）查找相应的平均随机一致性指标（random index,RI）。对n=1,2,9，Saaty给出了RI的值，见表7-2。7.3 层次分析法RI的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵，随机地从19及

15、其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值max，并定义 （7-4）（3）计算一致性比例（consistency ratio,CR）。 （7-5）当CR0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵做适当修正。7.3 层次分析法层次总排序及一致性检验4.上面得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。我们最终要得到各元素，特别是方案层中各方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。7.3 层次分析法设上一层次（A层）包含m个因素A1，A2，Am，它们的层次总排序权重分别为a1，a2，am。又设其后的下一层次（B层）包含

16、n个因素B1，B2，Bn，它们关于Aj的层次单排序权重分别为b1j，b2j，bnj（当Bi与Aj无关联时，bij=0）。现求B层中各因素关于总目标的权重，即求B层各因素的层次总排序权重b1，b2，bn，计算按表7-3所示的方式进行，即 （7-6）7.3 层次分析法7.3 层次分析法对层次总排序也需做一致性检验，检验仍像层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性；但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性。7.3 层次分析法设B层中与Aj相关的因素的成对比较判断矩阵在单排

17、序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为CI（j），j=1，2，m，相应的平均随机一致性指标为RI（j）,则B层总排序随机一致性比例为 (7-7)当CR0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。7.3 层次分析法 层次分析法的应用 7.3.2在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：一是如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构，二是如何将某些定性的量做比较接近实际定量化的处理。层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在以下几个方面：7.3 层次分析法（1）它

18、在很大程度上依赖于人们的经验，受主观因素的影响很大。它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。（2）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。AHP至多只能算是一种半定量（或定性与定量结合）的方法。7.3 层次分析法AHP经过几十年的发展（许多学者针对AHP的缺点进行了改进和完善），形成了一些新理论和新方法，像群组决策、模糊决策和反馈系统理论近几年已成为该领域的新热点。在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。下面通过一个实例来说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。7.3 层次分析法【例7-2】图7-2 例7-2用图7.3

19、层次分析法7.3 层次分析法7.4 模糊综合评价法现代数学是建立在集合论的基础上的，经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，绝不能模棱两可；对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。7.4 模糊综合评价法由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，要使用一些模糊的词句来形容和描述，如某一事件的发生对经济的影响可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”，灾害性霜冻气候对农业

20、产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通常是属于模糊的概念，为了分析处理这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。7.4 模糊综合评价法根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，两者必居其一，且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是由美国自动控制专家查德(Zadeh)于1965年首先提出来的。模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学在图像识别、天气预报、地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用已初

21、见成效。从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。7.4 模糊综合评价法 模糊集的概念 7.4.1对于一个普通的集合A，空间中任一元素x，要么xA，要么xA，两者必居其一。这一特征可用一个函数表示为 （7-8）A(x)即为集合A的特征函数。将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到在模糊集中为0,1区间。7.4 模糊综合评价法定义1 设X为全域，若A为X上取值0,1的一个函数，则称A为模糊集。例如，给5个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以100，这样就给定了一个从域X=x1，x2，x3，x4，x5到0,1闭区间的映射。 x1：85分，A(x1)=0.85

22、x2：75分，A(x2)=0.75 x3：98分，A(x3)=0.98 x4：30分，A(x4)=0.30 x5：60分，A(x5)=0.60这样就确定出一个模糊子集A=(0.85,0.75,0.98,0.30,0.60)。7.4 模糊综合评价法定义2 若A为X上的任一模糊集，对任意01,记A=x|xX,A(x)称A为A的截集。A是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的边界是模糊的，如果要把模糊概念转化为数学语言，需要选取不同的置信水平（01） 来确定其隶属关系。截集就是将模糊集转化为普通集的方法。模糊集A 是一个具有游移边界的集合，它随值的变小而增大，即当1 c2cm，且间距相等，则模糊向量可单

23、值化为 （7-11）式中，k的含义和作用同式（7-10）中的k。7.4 模糊综合评价法多个被评事物可以依据式（7-11）由大到小排出次序。以上三种方法可以依据评价目的来选用，如果需要序化，可选用后两种方法；如果只需给出某事物一个总体评价结论，则用第一种方法。7.4 模糊综合评价法多级模型模糊综合评判的步骤2.有些情况因为要考虑的因素太多，而权重难以细分；或因各权重都太小，使得评价失去实际意义，为此，可根据因素集中各指标的相互关系，把因素集按不同属性分为几类。先在因素较少的每一类（二级因素集）中进行综合评判，再对综合评判的结果进行类之间的高层次评判。如果二级因素集中有些类含的因素过多，可对它再做

24、分类，得到三级以至更多级的综合评判模型。注意要逐级分别确定每类的权重。7.4 模糊综合评价法以二级综合评判为例给出其数学模型：设第一级评价因素集为U=u1,u2,um各评价因素相应的权重集为W=1,2,m第二级评价因素集为Ui=ui1,ui2,uik,i=1,2,m相应的权重集为Wi=i1,i2,ik相应的单因素评判矩阵为Ri=rijkn，i=1,2,k7.4 模糊综合评价法二级综合评判数学模型为7.4 模糊综合评价法 模糊综合评判的应用举例 7.4.3某地对区级医院20142015年医疗质量进行总体评价与比较，按分层抽样方法抽取两年内某病患者1 250例，其中，2014年600例，2015年

25、650例。患者年龄构成与病情两年间差别没有统计学意义，观察三项指标分别为疗效、住院日和费用。规定很好、好、一般、差的标准见表7-6。7.4 模糊综合评价法两年病人按医疗质量等级的频数分布见表7-7。7.4 模糊综合评价法现综合考虑疗效、住院日、费用三项指标，对该医院2014年和2015年两年的工作进行模糊综合评价。（1）根据评价目的确定评价因素集合。评价因素集合U=疗效，住院日，费用（2）给出评价等级集合。如评价等级集合V=很好，好，一般，差（3）确定各评价因素的权重。设疗效、住院日、费用各因素权重依次为0.5、0.2、0.3，即W=(0.5,0.2,0.3)7.4 模糊综合评价法（4）201

26、4年和2015年两个评价矩阵R分别为7.4 模糊综合评价法（5）综合评价。做权系数矩阵W与评价矩阵R的模糊乘积运算。如果突出疗效，且只需对该地区级医院20142015年医疗质量的总体情况给出一个总体评价结论，可采用M（,）算子确定模糊评判集S，按最大隶属度原则进行评判：7.4 模糊综合评价法按最大隶属度原则，两年最大隶属度均为0.500，可以认为对某地区区级医院2014年和2015年医疗质量的评价结果均为“好”。如果突出疗效，且对该地区级医院20142015年医疗质量进行排序，也可采用 M(,)算子确定模糊评判集S，按加权平均原则进行评判。将评价等级很好、好、一般、差分别赋值为4，3，2，1。2014年的评价结果为7.4 模糊综合评价法2015年的评价结果为2014年的工作质量略好于2015年。以上评判结果均没有充分兼顾住院日和费用的作用，如果充分考虑各因素的作用，在做权系数矩阵W与评价矩阵R的模糊运算时可以采用M(,)算子或M(,)算子。7.5 灰色关联分析法 “灰”表示部分信息清楚，部分信息不清楚，即信息不完全。凡是信息不完全确知的系统都可称为灰色系统。灰色关联分析是灰色系统理论的一个分支。应用灰色关联分析方法对受多种因素影响的事物和现象从整体观念出发进行综合评价是一种被广为接受的方法。7.5 灰色关联分析法 灰色关联分析的步骤 7.5.1利用灰色关联分析进行综合评价时，一